$\require{enclose}$ $\newcommand{\avsum}{\mathrel{\displaystyle\int \!\!\!\!\!\! \Delta\ }}$ $\newcommand{\bcancelto}[2]{{\enclose{southeastarrow}{#2}\,}_{\lower.75ex{#1}}}$ $\newcommand{\ordcirc}[1]{\mathrel{[\hspace{-4pt} \circ \hspace{2pt}#1 \hspace{3pt}]\hspace{-4pt}\circ}}$ $\newcommand{\avigual}{\{=\}}$ $\newcommand{\intsup}{{\LARGE \big\uparrow}\displaystyle\int}$ $\newcommand{\intinf}{{\LARGE \big\downarrow}\displaystyle\int}$
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domingo, 16 de outubro de 2022

Sejam $p$ e $q$ reais positivos, mostre a média harmônica é menor ou igual à média geométrica.

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{p}} + \dfrac{1}{\sqrt{q}}\right)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} \ge \dfrac{2}{\sqrt{pq}}\ \Rightarrow\ \underset{MH}{\underbrace{\dfrac{2}{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q}}}} \le \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$


Quod Erat Demonstrandum.

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