Meme: brinquedo Matemática.

Calculadora: Velocidade Funcional de Antonio Vandré.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda parte um número real para a velocidade de deslocamento sob o eixo Ox, a terceira a abscissa do ponto no qual se deseja conhecer a velocidade:

Exemplo:

Input: "x; 1; 1". Output: aproximadamente "sqrt(2)".




Velocidade Funcional de Antonio Vandré:

Velocidade Funcional de Antonio Vandré, $\mathcal{VF_{A}}[f(x), v] (x)$.

Seja $f$ uma função contínua e diferenciável em um intervalo $]a, b[$, a velocidade do ponto $(x, f(x))$, $x \in ]a, b[$, ao longo do seu gráfico na qual a velocidade de $x$, $x \in ]a, b[$, ao longo do eixo $Ox$ é dada $v$, é chamada Velocidade Funcional de Antonio Vandré.

$\dfrac{dC}{dt} = \dfrac{dC}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}\ \Rightarrow\ \fbox{$\mathcal{VF_{A}}[f(x), v] (x) = v\sqrt{1 + [f'(x)]^2}$}$.

Exemplo: $\mathcal{VF_{A}}[\tan x, 1] (x)$:

Sabendo que $y(0) = 0$, resolver a equação diferencial $y' = y + 1$, $y$ função de $x$, $y$ no universo das funções reais.

Se $y(b) = -1$, consideremos $x \neq b$. Assim podemos fazer:

$\dfrac{y'}{y + 1} = 1$

$\displaystyle\int_a^x \dfrac{y'}{y + 1} dx = \displaystyle\int_a^x dx$

$\left.\left(\log |y + 1|\right)\right|_a^x = x - a$

$\log |y(x) + 1| - \log |y(a) + 1| = x - a$

$\log \left|\dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}\right| = x - a$

$e^{x - a} = \dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}$

$y(x) + 1 = e^{x - a}(y(a) + 1)$

$y(x) = e^{x - a}(y(a) + 1) - 1$

$\fbox{$y(x) = e^x - 1$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^{2\pi} cos^3 x\ dx$.

 $I\ =\ \cancelto{0}{\left.[(\sin x)(\cos^2 x)]\right|_0^{2\pi}} + \cancelto{0}{2\displaystyle\int_0^{2\pi} (\sin^2 x)(\cos x)\ dx} = \fbox{$0$}$

Integral da cotangente.

Seja $u = \sin x$, $du\ =\ \cos x\ dx$.

$\displaystyle\int \cot x\ dx = \displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin x}\ dx\ = \displaystyle\int \dfrac{du}{u} = \fbox{$\log |\sin x| + c$}$

Integral da tangente.

Seja $u = \cos x$, $du\ =\ -\sin x\ dx$.

$\displaystyle\int \tan x\ dx = \displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\ dx\ =\ -\displaystyle\int \dfrac{du}{u}\ = \fbox{$-\log |\cos x| + c$}$

Trigonometria: transformação de soma em produto.

Sabemos que:

$\sin (a + b) = (\sin a)(\cos b) + (\sin b)(\cos a)$ (I)

$\sin (a - b) = (\sin a)(\cos b) - (\sin b)(\cos a)$ (II)

$\cos (a + b) = (\cos a)(\cos b) - (\sin a)(\sin b)$ (III)

$\cos (a - b) = (\cos a)(\cos b) + (\sin a)(\sin b)$ (IV)

Somando (I) e (II): $2(\sin a)(\cos b) = \sin (a + b) + \sin (a - b)$.

Subtraindo (II) de (I): $2(\sin b)(\cos a) = \sin (a + b) - \sin (a - b)$.

Somando (III) e (IV): $2(\cos a)(\cos b) = \cos (a + b) + \cos (a - b)$.

Subtraindo (IV) de (III): $-2(\sin a)(\sin b) = \cos (a + b) - \cos (a - b)$.

Fazendo $p = a + b$ e $q = a - b$, teremos que $a = \dfrac{p + q}{2}$ e $b = \dfrac{p - q}{2}$. Substituindo:

$\sin p + \sin q = 2\left(\sin \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\sin \dfrac{p - q}{2}\right)$

$\sin p - \sin q = 2\left(\cos \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\sin \dfrac{p - q}{2}\right)$

$\cos p + \cos q = 2\left(\cos \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\cos \dfrac{p - q}{2}\right)$

$\cos p - \cos q = -2\left(\sin \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\sin \dfrac{p - q}{2}\right)$

Mostrar que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é convergente.

Observemos que $\dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é contínua, positiva, e decrescente para $n \ge 1$, logo podemos utilizar o método da integral.

$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}} = \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \left.\left(\dfrac{-2}{\sqrt{n}}\right)\right|_1^b = 2$

Como a integral converge, a série também converge.

Quod Erat Demonstrandum.

Encontrar a soma da série $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{2}{5^n} - \dfrac{1}{2^n}\right)$.

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{2}{5^n} - \dfrac{1}{2^n}\right) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{2}{5^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{2^n} =$

$= \dfrac{2}{1 - \dfrac{1}{5}} - \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{5}{2} - 2 = \fbox{$\dfrac{1}{2}$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{4}\ dx$.

Seja $x = 2\tan \theta$, $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$. $dx = 2\sec^2 \theta\ d\theta$

$I\ =\ \displaystyle\int \sec^3 \theta\ d\theta\ =\ (\sec \theta)(\tan \theta) - \displaystyle\int (\sec \theta)(\tan^2 \theta)\ d\theta\ =$

$=\ (\sec \theta)(\tan \theta) - \displaystyle\int \sec^3 \theta\ d\theta + \log |\sec \theta + \tan \theta|\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ I = \dfrac{(\sec \theta)(\tan \theta) + \log |\sec \theta + \tan \theta|}{2} + c\ =\ \fbox{$\dfrac{x\sqrt{4 + x^2}}{8} + \dfrac{\log \left|\sqrt{4 + x^2} + x\right|}{2} + c$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\ dx$, $a > 0$.

$I = a\displaystyle\int_0^a \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{a}\right)^2}\ dx$

Seja $y = \dfrac{x}{a}$. $dy = \dfrac{dx}{a}$

$I = a^2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - y^2}\ dy$

Seja $y = \sin \theta$, $-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$. $dy = \cos \theta\ d\theta$.

$I = a^2\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \cos^2 \theta\ d\theta\ =\ a^2\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \dfrac{(\cos 2\theta) + 1}{2} d\theta\ =\ a^2\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \cos 2\theta\ d\theta + \dfrac{a^2\pi}{4}$

Seja $\varphi = 2\theta$. $d\varphi = 2 d\theta$.

$I = \cancelto{0}{\dfrac{a^2}{2}\displaystyle\int_0^{\pi} \cos \varphi\ d\varphi} + \dfrac{a^2\pi}{4}\ =\ \fbox{$\dfrac{a^2\pi}{4}$}$

Por meio da integração, encontrar o volume do cone de raio da base $r = 2$ e altura $h = 5$.

O cone será resultante da rotação da reta $y = \dfrac{rx}{h}$, para $x \in [0, h]$, união o círculo $y^2 + z^2 \le r^2\ \wedge\ x = h$.

Tal volume será dado por $\pi \cdot \dfrac{r^2}{h^2}\displaystyle\int_0^5 x^2\ dx = \pi \cdot \dfrac{4}{25} \cdot \left. \dfrac{x^3}{3}\right|_0^5 = \fbox{$\dfrac{20\pi}{3}$}$

Calculadora: área de um polígono convexo.

Entre com um número finito de vértices consecutivos separados por barra vertical "|", a abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "0; 0 | 0; 1 | 1; 1 | 1; 0". Output: "1".




Área:

Encontrar a área delimitada pelo eixo $Ox$ e a parábola $y = x^2 + x - 2$.

$\left|\displaystyle\int_{-2}^1 x^2 + x - 2\ dx\right| = \left| \left. \left(\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x\right)\right|_{-2}^1 \right| = \left| \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2 + \dfrac{8}{3} - 2 - 4 \right| =$

$= \left| -\dfrac{9}{2}\right| = \fbox{$\dfrac{9}{2}$}$

Determinar a soma de Riemann para $f(x) = 2 - x^2$, e $P$ a partição de $[0, 2]$ em 4 subintervalos de mesmo comprimento, escolhendo $c_i$ como sendo o extremo direito do subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$.

$S_4(f) = \displaystyle\sum_{i=1}^4 f(c_i)(x_i - x_{i-1}) = \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^4 f(x_i) =$

$= \dfrac{1}{2}\left[\left(2 - \dfrac{1}{4}\right) + (2 - 1) + \left(2 - \dfrac{9}{4}\right) + (2 - 4)\right] = \fbox{$\dfrac{1}{4}$}$

Em $\mathbb{R}$, resolver a inequação $(16 - x^2) \cdot \log^3 (x - 2) > 0$.

$[(16 - x^2) > 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) > 0]\ \vee\ [(16 - x^2) < 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) < 0]\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ 3 < x < 4$

$\fbox{$S = ]3, 4[$}$

Seja $f(x) = 2^x$. Qual o valor de $Q = \dfrac{f(x + 1) + f(x + 2) + f(x + 3)}{f(x + 4) + f(x + 5)}$?

$Q = \dfrac{2^{x + 1} + 2^{x + 2} + 2^{x + 3}}{2^{x + 4} + 2^{x + 5}} = \dfrac{\cancel{2^x} (2 + 4 + 8)}{\cancel{2^x} (16 + 32)} = \fbox{$\dfrac{7}{24}$}$

Calcular $(f \circ f)(0)$ para $f(x) = e^{-x^2}$.

$f(0) = e^{0} = 1$

$f[f(0)] = f(1) = e^{-1} = \fbox{$\dfrac{1}{e}$}$

Para $x$ real, qual o mínimo valor de $p = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x - x^2}$?

$p$ será mínimo quando ${4x - x^2}$ for máximo, ou seja, quando $x = 2$.

Logo o valor mínimo de $p$ será $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4 \cdot 2 - 2^2} = \fbox{$\dfrac{1}{16}$}$

Resolver a inequação $\log (x - \pi) > 0$.

$\log (x - \pi) > \log 1$

$e > 1\ \Rightarrow \fbox{$x > 1 + \pi$}$

Encontrar a fração geratriz de $0,666\dots$

$0,666\dots$ também pode ser escrito como $0,\overline{6}$.

Definamos $x = 0,\overline{6}$.

$10x = 6,\overline{6}$

$10x - x = 6,\overline{6} - 0,\overline{6}$

$9x = 6\ \therefore\ x = \dfrac{6}{9} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Se um atirador esportista tem como probabilidade de acertar o alvo com um disparo $20 \%$, qual a probabilidade dele acertar o alvo tendo 5 disparos à disposição?

Tal probabilidade será o complementar dele errar todos os disparos, ou seja, será:

$1 - (80 \%)^5 = 1 - \dfrac{1024}{3125} = \fbox{$\dfrac{2101}{3125}$}$.

Determinar os termos centrais do desenvolvimento de $(x^2 - a^3)^7$ segundo as potências decrescentes de $x$.

$\displaystyle{7 \choose 3}(x^2)^{7 - 3} (-a^3)^3 = \fbox{$-35x^8 a^9$}$

$\displaystyle{7 \choose 4}(x^2)^{7 - 4} (-a^3)^4 = \fbox{$35x^6 a^{12}$}$

Se $\log_{10} 2 = m$, quanto é $\log_{10} \sqrt{5}$?

$\log_{10} \sqrt{5} = \dfrac{\log_{10} 5}{2} = \dfrac{1}{2} \log_{10} \dfrac{10}{2} = \fbox{$\dfrac{1 - m}{2}$}$

Resolver a inequação $\tan \alpha > \sqrt{3}$.

$\arctan \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$

$S = \displaystyle\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}\left]\dfrac{\pi}{3} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[$

Razão entre o volume e a área total de um cilindro equilátero.

$V = \pi r^2 h = 2\pi r^3$

$A = 2\pi r^2 + 2rh = 2\pi r^2 + 4r^2$

$\dfrac{V}{A} = \dfrac{2\pi r^3}{2\pi r^2 + 4r^2} = \fbox{$\dfrac{\pi r}{\pi + 2}$}$

A elipse $x^2 + \dfrac{y^2}{2} = \dfrac{9}{4}$ e a reta $y = 2x + 1$ interceptam-se nos pontos $A$ e $B$. Qual o ponto médio de $\overline{AB}$?

$x^2 + 2x^2 + 2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{4}$

$12x^2 + 8x - 7 = 0$

$(x, y) = \left(-\dfrac{7}{6}, -\dfrac{4}{3}\right)\ \vee\ (x, y) = \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$

Seja $M$ o ponto médio de $\overline{AB}$. $\fbox{$M = \left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$}$.

Em $\mathbb{U} = \left]\dfrac{\pi}{2}, \pi\right[$, resolver $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 2(\sin 2x)(\cos x) + \sin 2x = (\sin 2x)(2\cos x + 1)$

$\sin 2x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$S = \left\{\dfrac{2\pi}{3}\right\}$

Se $\alpha$ e $\beta$ são os ângulos opostos aos catetos de um triângulo retângulo, quanto é $\delta = (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2$?

$\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}$

$\delta = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - 2(\cos \alpha)(\cos \beta) + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2(\sin \alpha)(\sin \beta)$

$\delta = 2 - 2\cos (\alpha + \beta) = \fbox{$2$}$

Meme: sin.

 

Sabendo-se que $x = 4r \cdot \cos a \cdot \sin b$, $y = 6r \cdot \sin a \cdot \sin b$ e $z = 8r \cdot \cos b$, calcular $\alpha = \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} + \dfrac{z^2}{16}$.

$\alpha = 4r^2[(\cos^2 a)(\sin^2 b) + (\sin^2 a)(\sin^2 b) + cos^2 b] = 4r^2(\sin^2 b + \cos^2 b) = \fbox{$4r^2$}$

Se $\cos 2a = \dfrac{1}{2}$, quanto é $\tan^2 a + \sec^2 a$?

$\dfrac{1}{2} = 2\cos^2 a - 1\ \Rightarrow\ \cos^2 a = \dfrac{3}{4}$

$\tan^2 a + \sec^2 a = 2\sec^2 a - 1 = \fbox{$\dfrac{5}{3}$}$

Se um arco $\theta$, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ é tal que o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado de sua tangente, qual o valor de $\cos \theta$?

$2\sin \theta = 3\tan^2 \theta$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{\sin \theta}{1 - \sin^2 \theta}$

$2 - 2\sin^2 \theta = 3\sin \theta$

$2\sin^2 \theta + 3\sin \theta - 2 = 0$

$\sin \theta = \dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$\cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$}$

Meme: Matemática: um caminho para correr infinitamente.