Para $x$ real, qual o mínimo valor de $p = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x - x^2}$?

$p$ será mínimo quando ${4x - x^2}$ for máximo, ou seja, quando $x = 2$.

Logo o valor mínimo de $p$ será $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4 \cdot 2 - 2^2} = \fbox{$\dfrac{1}{16}$}$

Determinar $a$ e $b$ de modo que $\displaystyle\int_a^b (x - x^2) dx$ seja máximo.

Determinar $a$ e $b$ de modo que $\displaystyle\int_a^b (x - x^2) dx$ seja máximo.

Observando o gráfico de $y = x - x^2$, podemos perceber que a área máxima, algebricamente, vai de $x = 0$ a $x = 1$.

Logo $\displaystyle\int_a^b (x - x^2) dx$ será máximo para $\fbox{$a = 0$ e $b = 1$}$.

Exercício: melhor local para se sentar no cinema.

A tela do cinema CABRALPLEX está a uma distância $K$ do chão e possui altura $L$. Um espectador vai se sentar nesta sala, que é plana, de modo que sentado em qualquer assento a distância entre seus olhos e o solo é $h$. A que distância $d$ da tela ele deve ficar sentado para que perceba a maior imagem possível da tela? Assumimos que $K > h$ e $d > 0$.

Resolução:
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{K + L - h}{d}$
 

$\tan \varphi\ =\ \dfrac{K - h}{d}$
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{(\tan \theta) + (\tan \varphi)}{1 - (\tan \theta)(\tan \varphi)}$
 

Chamemos $y\ =\ \tan \theta$ e $\alpha = K - h$.
 

$\dfrac{K + L -h}{d} = \dfrac{y + \dfrac{\alpha}{d}}{1 - \dfrac{\alpha y}{d}}$
 

$y = \dfrac{dL}{d^2 + \alpha^2 + \alpha L}$
 

$\theta$ será máximo quando $y$ for máximo.
 

Observemos que a $\lim_{d \rightarrow 0} y = 0$ e que $\lim_{d \rightarrow +\inf} y = 0$.
 

$y' = \dfrac{L(d^2 + \alpha^2 + \alpha L) - 2d^2L}{(d^2 + \alpha^2 + \alpha L)^2}$
 

$y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$d = \sqrt{(K - h)^2 + (K - h)L}$}$

Exercício: função periódica para produção de leite.

Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite na fazenda de Rui sofre variação segundo a função $L(M) = 300 - 50\sin[(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$, em que $m$ representa o mês do ano, e $L$, a quantidade de leite produzida, em litros. Nos meses em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora.

a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos?

b) Determine o período da função $L$.

Resolução:

a) $L$ é máxima quando o seno for mínimo, ou seja:

$(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi - \dfrac{3\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\dfrac{m-1}{6} = 2k, k \in \mathbb{Z}$

$m - 1 = 12k, k \in \mathbb{Z}$

$m = 1 + 12k, k \in \mathbb{Z}$

Como $1 \le M \le 12$, $m = 1$, ou seja, o mês mais produtivo é janeiro, e a produção máxima é de $300 + 50 = 350\ l$.

b) O coeficiente de $m$ é $\dfrac{\pi}{6}$, logo o período da função é $|\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}}| = 12$.

Exercício: ponto de maior ordenada.

Se $P(x, y)$ é o ponto de maior ordenada do plano tal que $x^2 + y^2 = x$, Quanto vale $x + y$?

$y$ máximo implica $y^2$ máximo, que implica $x - x^2$ máximo.

$y$ máximo implica $x = \dfrac{1}{2}$, que implica, assumindo o valor máximo, $y = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$