Em $\mathbb{U} = \left]\dfrac{\pi}{2}, \pi\right[$, resolver $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 2(\sin 2x)(\cos x) + \sin 2x = (\sin 2x)(2\cos x + 1)$

$\sin 2x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$S = \left\{\dfrac{2\pi}{3}\right\}$

Se um arco $\theta$, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ é tal que o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado de sua tangente, qual o valor de $\cos \theta$?

$2\sin \theta = 3\tan^2 \theta$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{\sin \theta}{1 - \sin^2 \theta}$

$2 - 2\sin^2 \theta = 3\sin \theta$

$2\sin^2 \theta + 3\sin \theta - 2 = 0$

$\sin \theta = \dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$\cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$}$

Exercício: número de soluções de uma equação trigonométrica.

No intervalo $[0, \pi]$, qual o número de soluções da equação $\sin (2x) + \sin x = 0$?

Resolução:

$\sin (2x) + \sin x = [2(\sin x)(\cos x)] + \sin x = (\sin x)(2\cos x + 1)$

$(\sin x)(2\cos x + 1) = 0\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \pi$

$2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ \cos x = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$\fbox{O número de soluções é $3$}$

Exercício: imagem da função seno.

Sabendo que $\alpha$ é um arco do primeiro quadrante, quais são os valores de $m$ que satisfazem a igualdade $\sin \alpha = 3 - 12m$?

Resolução:

$0 < 3 - 12m < 1$

$-3 < -12m < 1 - 3$

$-3 < -12m < -2$

$2 < 12m < 3$

$\dfrac{2}{12} < m < \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{1}{6} < m < \dfrac{1}{4}$

Exercício: equação trigonométrica.

Resolva a equação $(\sin x)(\cos x) = \dfrac{1}{2}$ em $\mathbb{U} = \mathbb{R}$.

Resolução:

$\dfrac{\sin 2x}{2} = \dfrac{1}{2}\ \therefore\ 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

$S = \{x \in \mathbb{R}\ |\ x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}$