Integral de $\sec^3 x$.

Por se tratar de uma integral que aparece muitas vezes, quase classificada como "notável", principalmente após substituições trigonométricas, é bom já a ter previamente calculada em mente, é o que vamos fazer.

$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \int (\sec^2 x)(\sec x)\ dx\ =$

$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\tan^2 x)(\sec x)\ dx\ =$

$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int (\sec^2 x\ -\ 1)(\sec x)\ dx\ =$

$=\ (\sec x)(\tan x)\ -\ \int \sec^3 x\ dx\ +\ \int \sec x\ dx$

Logo $\fbox{$\int \sec^3 x\ dx\ =\ \dfrac{(\sec x)(\tan x)\ +\ \ln |\sec x\ +\ \tan x|}{2}\ +\ C$}$.

Demonstração do teorema de Pitágoras.

Seja $\Delta ABC$ um triângulo retângulo em $A$:

$m(\overline{BC}) = a$
$m(\overline{AC}) = b$
$m(\overline{AB}) = c$
$m(\overline{AD}) = h$
$m(\overline{DB}) = n$
$m(\overline{DC}) = m$

Pelo caso AA, $\Delta ABC \sim \Delta DAC \sim \Delta DBA \Rightarrow$

$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{h} = \dfrac{c}{n} \wedge \dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{m} = \dfrac{c}{h} \Rightarrow$

$\Rightarrow ah = bc \wedge an = c^2\text{ (I) } \wedge bn = hc \wedge am = b^2\text{ (II) } \wedge bh = cm$

Somando (I) e (II): $a(m + n) = b^2 + c^2 \Rightarrow \fbox{$a^2 = b^2 + c^2$}$

Exercício: estimativa de erro de uma série convergente.

Obtenha uma estimativa do erro (ou resto) $R_n$ para a enésima soma parcial $S_n$ da série convergente $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{1,1}}$ com relação à soma total $S$.

Resolução:

Não sabemos e não vamos deduzir aqui a expressão para $S_n$, no entanto, mesmo não conhecendo a fórmula, podemos estimar o erro para um dado $n$.

Observemos que se trata de uma p-série, em que $p = 1,1 > 1$, logo converge.

Como os termos são não negativos e decrescentes, podemos estimar o erro $R_n$ através da desigualdade:

$\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx\ \le\ R_n\ \le\ \int_n^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx$

Logo $\fbox{$\dfrac{10}{(n + 1)^{0,1}} \le R_n \le \dfrac{10}{n^{0,1}}$}$.

Exemplo: para $n = 1000000$, com auxílio de um software ou calculadora, obtemos $S_{1000000} \approx 8,07$ com a margem de erro $\dfrac{10}{1000000^{0,1}} \approx 2,51$ com relação à soma total.

Exercício: mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.

Mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.

Resolução:

Observemos que, para $n > 1$, $\dfrac{1}{n!} \le \dfrac{1}{n(n - 1)}$, tendo ambas as séries termos não negativos, assim podemos usar o teste da comparação:

Se $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.

$\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ tendo termos não negativos e não crescentes, podemos usar o teste da integral:

$\int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2 - x} = \int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{(x - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{4}}\ =\ 2\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1}$

Seja $u = 2x - 1$, $du = 2dx$:

$\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1} = \int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}$

Seja $u = \sec \theta$, $\theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}[$, $du = (\sec \theta)(\tan \theta) d\theta$:

$\int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}\ =\ \int_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}} \csc \theta\ d\theta\ =\ \ln |\csc \theta - \cot \theta||_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}\ =$

$=\ I,\ I \in \mathbb{R}$

Como a integral imprópria converge, $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, assim $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.

Uma alternativa ao $(-1)^n$ em séries.

$\sum_{n = 0}^N (-1)^n a = \sum_{n = 0}^N \cos(n\pi) a$

$a \in \mathbb{R}$, $N \in \mathbb{N}$.

Exercício: área da espiral de Arquimedes.

Determine a área delimitada pelo eixo polar e pela espiral de Arquimedes, $r = \theta$, para $0 \le \theta \le 2\pi$.

Resolução:

$A\ =\ \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} \theta^2\ d\theta\ =\ \dfrac{\theta^3}{6}|_0^{2\pi}\ = \fbox{$\dfrac{4\pi^3}{3}$}$

Meme: integrais em problemas de Matemática Elementar.

Exercício: área do elipsoide de rotação.

Encontre a área do elipsoide obtido pela rotação ao redor do eixo $x$ da elipse $2x^2 + y^2 = 1$.

Resolução:

$y = \sqrt{1 - 2x^2}$, $y' = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - 2x^2}}$

$A\ =\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - 2x^2}\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{1 - 2x^2}}\ dx\ =$

$=\ 2\pi \int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}} \sqrt{1 - x^2}\ dx$

Seja $x = \sin \theta$, $\theta \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$, $dx = \cos \theta\ d\theta$.

$A\ =\ \pi \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} \cos 2\theta\ +\ 1\ d\theta\ =\ \pi(\dfrac{\sin 2\theta}{2} + \theta)|_{-\pi / 4}^{\pi / 4} = \fbox{$\pi(1 + \dfrac{\pi}{2})$}$

Meme: eu aprendendo a integrar.

Meme: exatas quando erra: o prédio cai.

Meme: o superpoder de fazer um pouco todos os dias.

Meme: aconteça o que acontecer, continue estudando.

Meme: não sei, estou de férias.

Meme: amanhã tem mais PDF.

Meme: antes de Cálculo e depois.

Exercício: área da superfície de revolução.

Encontre a área da superfície de revolução gerada pela rotação ao redor do eixo $x$ do gráfico da função $f(x) = e^{-x}$ para $x \ge 0$.

Resolução:

$f(x) = e^{-x}$, $f'(x) = -e^{-x}$

$A\ =\ 2\pi\int_0^{+\infty}e^{-x}\sqrt{1 + e^{-2x}}\ dx$

Seja $u = e^{-x}$, $du = -e^{-x} dx$.

$A\ =\ -2\pi\int_1^0 \sqrt{1 + u^2}\ du$

Seja $u = \tan \theta$, $du = \sec^2 \theta\ d\theta$.

$A\ =\ -2\pi\int_{\pi/4}^0 \sec^3 \theta\ d\theta\ = \fbox{$\pi[\ln(\sqrt{2} + 1) + \sqrt{2}]$}$

Exercício: resolver equação diferencial ordinária.

Resolver a EDO:

$x + e^{-x}yy' = 0$, com $y(0) = 1$

Resolução:

$yy' = -xe^x$

$\int_0^x y(x)y'(x)\ dx\ =\ -\int_0^x xe^x\ dx$

Seja $u = y(x)$, $du = y'(x)dx$.

$\int_1^{y(x)} u\ du\ = -xe^x + e^x$

$\fbox{$\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{1}{2} = e^x(1 - x)$}$

Área da elipse.