Exercício: melhor local para se sentar no cinema.

A tela do cinema CABRALPLEX está a uma distância $K$ do chão e possui altura $L$. Um espectador vai se sentar nesta sala, que é plana, de modo que sentado em qualquer assento a distância entre seus olhos e o solo é $h$. A que distância $d$ da tela ele deve ficar sentado para que perceba a maior imagem possível da tela? Assumimos que $K > h$ e $d > 0$.

Resolução:
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{K + L - h}{d}$
 

$\tan \varphi\ =\ \dfrac{K - h}{d}$
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{(\tan \theta) + (\tan \varphi)}{1 - (\tan \theta)(\tan \varphi)}$
 

Chamemos $y\ =\ \tan \theta$ e $\alpha = K - h$.
 

$\dfrac{K + L -h}{d} = \dfrac{y + \dfrac{\alpha}{d}}{1 - \dfrac{\alpha y}{d}}$
 

$y = \dfrac{dL}{d^2 + \alpha^2 + \alpha L}$
 

$\theta$ será máximo quando $y$ for máximo.
 

Observemos que a $\lim_{d \rightarrow 0} y = 0$ e que $\lim_{d \rightarrow +\inf} y = 0$.
 

$y' = \dfrac{L(d^2 + \alpha^2 + \alpha L) - 2d^2L}{(d^2 + \alpha^2 + \alpha L)^2}$
 

$y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$d = \sqrt{(K - h)^2 + (K - h)L}$}$

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}$

Seja $\alpha\ \in\ \mathbb{N}$.

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}\ =\ \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)\sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i}{(x-1)}\ =$

$=\ \lim_{x \rightarrow 1} \sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i\ = \fbox{$\alpha$}$

Pensamento: Matemática é ciência, linguagem, arte, e jogo.

 

Meme: Newton no Gênesis.

 

Determine a reta tangente a $x + y = \sin (xy)$ em $(0, 0)$.

Determine a reta tangente a $x + y = \sin (xy)$ em $(0, 0)$.

Resolução:

Derivando implicitamente com relação a $x$:

$1 + y' = (y + xy')\cos (xy)$

Substituindo $(0, 0)$:

$1 + y' = 0\ \Rightarrow\ y' = -1$

Logo a reta tangente será:

$y - 0 = -(x - 0)\ \equiv\ \fbox{$y = -x$}$

Meme: eu, você, e a Matemática.

 

Meme: pensando em Matemática.

 

Meme: eu sei programar.

 

Meme: sem bugs.

 

Meme: organização.

 

Meme: estresse e café.

 

Meme: calm down matemáticos.

 

Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.

Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.

Resolução:

Seja $P_1$ o polinômio de Taylor até a primeira derivada, e tomemos $a = 64$:

$P_1 (65)\ =\ \sqrt{64} + \dfrac{(\sqrt{64})'}{1!}(65 - 64)\ =$

$=\ 8 + \dfrac{1}{16}\ = \fbox{$8,0625$}$

Utilizando uma calculadora, obtemos $\sqrt{65}\ \approx\ 8,0623$.

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}$

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}\ ,\ a,b \in \mathbb{R}_+$.

$\bullet$ Primeiro caso: $a = b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{0}{x}\ = \fbox{$0$}$

$\bullet$ Segundo caso: $a \neq 0\ \wedge\ b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{a^x}{x}\ = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{a^x}{x}\ = -\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Terceiro caso: $a = 0\ \wedge\ b \neq 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{-b^x}{x}\ = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{-b^x}{x}\ = +\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Quarto caso: $a \neq 0\ \wedge\ b \neq 0$:

Aplicando L'Hospital:

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} [(a^x \log a) - (b^x \log b)]\ = \fbox{$\log \dfrac{a}{b}$}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}\ =\ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =$

$=\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{e^x + 3}{e^x + 3x}}\ =\ \fbox{$e^4$}$

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Resolução:

$f'(x)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i - x^n}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^{(i-1)}\ =\ \fbox{$nx^{n-1}$}$

Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Consideremos a função $f(\theta) = \dfrac{\cos \theta + i\sin \theta}{e^{i\theta}}$.

$f'(\theta) = \frac{e^{i\theta}(-\sin \theta) + e^{i\theta}\sin \theta}{e^{2i\theta}} = 0$

Pela derivada ser nula, $f$ é constante.

Tomemos $\theta = 0$, $f(0) = 1$, logo $\cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$.

Seja $\theta = \pi$: $-1 = e^{i\pi}$, logo:

$\fbox{$e^{i\pi} + 1 = 0$}$

Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.

Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.

Resolução:

Definamos $u = \dfrac{1}{x}$.

Definamos $y(u) = (1 + u)^{\dfrac{4}{u}}$.

$\ln \lim_{u \rightarrow 0} y(u)\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \ln y(u)\ =$

$=\ \lim_{u \rightarrow 0} 4\dfrac{\ln (u + 1)}{u}$

Utilizando L'Hospital:

$\lim_{u \rightarrow 0} 4(\dfrac{\ln (u + 1)}{u})\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{4}{u + 1}\ =\ 4$

Logo $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x} =\ \fbox{$e^4$}$.

Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

Resolução:
 

Primeiramente demonstrarmos que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h}$:
 

Tomando $k = -h$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h} = \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a + k)}{-k}\ =$
 

$=\ \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a + k) - f(a)}{k}\ =\ f'(a)$.
 

Agora a demonstração principal:
 

$\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}\ =$
 

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a) + f(a) - f(a - h)}{2h}\ =$
 

$=\ \dfrac{1}{2}(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h})\ =$
 

$=\ \dfrac{2f'(a)}{2}\ =\ \fbox{$f'(a)$}$
 

Q.E.D.

Calculadora: módulo e argumento principal de um número complexo.

Entre com uma string contendo um número complexo não nulo. Número complexo na forma "a, b", com "a" e "b" números reais.

Exemplo:

Input: "0, 2".

Output:

"
Módulo: aproximadamente "2".
Argumento principal: aproximadamente "pi/2".
"




Módulo e argumento principal:

Calculadora: produto de números complexos.

Entre com uma string contendo números complexos separados por ponto e vírgula ";". Número complexo na forma ", b", com "a" e "b" números reais.

Exemplo:

Input: "2, 5.5; -4, 7; 0, 1". Output: "8, -46.5".




Produto:

Calculadora: soma de números complexos.

Entre com uma string contendo números complexos separados por ponto e vírgula ";". Número complexo na forma "a, b", com "a" e "b" números reais.

Exemplo:

Input: "2, 5.5; -4, 7; 0, 1". Output: "-2, 13.5".




Soma:

Suponha que $|f(x)| \le |x|^k$, com $k > 1$. Calcule, por definição, $f'(0)$.

Observemos inicialmente que $|f(0)| \le |0|^k = 0$, logo $f(0) = 0$.

$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$

Como $0 \le |f(x)| \le |x|^k$:

(I): $\lim_{h \rightarrow 0 ^+} \dfrac{0}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|h|^k}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.

(II): $\lim_{h \rightarrow 0 ^-} \dfrac{|h|^k}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{0}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.

Por (I) e (II), e pelo teorema do confronto, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = 0$.

Se $f(h) \ge 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.

Se $f(h) < 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-f(h)}{h} = -\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.

Em ambos os casos, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h} = 0$, logo $\fbox{$f'(0) = 0$}$.

Derivada do $\arcsin x$.

Seja $f$ bijetiva, logo existe $f^{-1}$.

Se $f^{-1}$ é diferenciável em seu domínio e $f'(x) \neq 0$, $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}$.

Seja $(-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2})$ o domínio de $\sin x$:

$\arcsin' x = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}$

$\fbox{$\arcsin' x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$}$

Exercício: unicidade de uma função dada sua derivada e um ponto.

Exercício: mostre que existe uma única função $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $h'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $h(0) = 1$.

Resolução:

Seja $g$ uma função real tal que $g'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $g(0) = 1$, definamos $f(x) = g(x) - h(x)$.

$f'(x) = g'(x) - h'(x) = 0$, logo, pelo TVI, $f$ é constante.

$f(0) = g(0) - h(0) = 1 - 1 = 0$

Sendo $f(x) = 0$, $g(x) = h(x)$.

Meme: meditação e estudos para ir ao céu.

Exercício: seja $b^2 \ge 4ac$ e $b > 0$, encontre $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Resolução:

$\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \dfrac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} =$

$= \dfrac{b^2 - 4ac - b^2}{(2a)(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} = \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}$

Logo $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} =$

$= \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2c}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \fbox{$-\dfrac{c}{b}$}$

Meme: derivada mais atraente.

Meme: diferentes bases dos logaritmos.

Meme: Matemática necessária para a Física.

Meme: o mundo em guerra e eu estudando.

Meme: happy hour estudando.

Meme: reação força do Facebook com Matemática.

Meme: funções recursivas.

Meme: você pretende ser um matemático?

Meme: autodidatismo.

Meme: o café nos estudos.

Exercício: encontre a derivada de $f(x) = x^x$, $x > 0$.

$x^x = (e^{\log x})^x = e^{x\log x}$

Logo $f'(x) = e^{x\log x}(\dfrac{x}{x} + \log x) = \fbox{$x^x(1 + \log x)$}$

cloudHQ: um agradecimento por quão útil foi e me é.

Uso a internet há muitos anos, e ela tem me ajudado em muitos e muitos aspectos, desde o desenvolvimento intrapessoal, ao profissional.

Tudo começou como entretenimento e fontes de estudo, mas depois a coisa foi ficando mais séria: comecei a criar sites e softwares, e manter cópias de backup de arquivos tornou-se uma necessidade fundamental, imaginemos, por exemplo, uma empresa que precisa manter os dados dos seus valiosos e preciosos clientes...

Muitas ferramentas e softwares me foram úteis, e, hoje, vim agradecer a um em especial, o cloudHQ.

Trata-se de um serviço que faz, dentre outras coisas, a sincronização de arquivos entre vários outros serviços de nuvem, como, dentre outros, Dropbox, Google Drive, Microsoft Onedrive, Box, e o russo Yandex, estes que utilizo.

Como tenho muitos registros a guardar, em especial deste blog de Matemática, ele foi e é de sumária importância para mim.

Costumo assim o utilizar: depois de uma quantidade substancial de arquivos produzidos, para sentir-me seguro quanto a os manter seguros através de ter várias cópias, basta acionar a sincronização que o cloudHQ faz o trabalho para mim.

Atualmente tenho 122 pares de sincronização, pares de diretórios, onde, dependendo das opções customizáveis, os arquivos são copiados de um para outro.

Dentre as opções de sincronização, posso citar, por exemplo, dentre muitas outras, deixar, no diretório de destino, apenas os arquivos criados pelo cloudHQ mantendo cópias fieis do diretório de origem mesmo que terceiros adicionem arquivos ao diretório de destino.

Nas poucas vezes que precisei consultar o suporte, ele foi rápido em responder e resolver.

O serviço, em sua versão gratuita, sincroniza arquivos até o tamanho máximo de 150 Mb, o que não é um fator limitante para pequenos empreendimentos.

Repetindo, ele me é útil tanto pessoalmente quanto profissionalmente, deixa-me tranquilo quanto à segurança dos arquivos que me são importantes, recomendo.

Link: "https://www.cloudhq.net".

Calculadora: encontrar fração geratriz.

Entre com o número real a ser encontrada a fração geratriz.

Exemplo:

Input: "1.274".
Output: "637 / 500".




Fração geratriz:

Calculadora: derivada de uma função em um ponto.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a função, deve ser na variável "x"; segundo: um número real, ponto do domínio da função; terceiro: "0", "1" ou "2", caso deseje se encontrar a derivada 0, 1, ou 2, respectivamente.

Exemplos:

Input: "x * x * x; 4; 2".
Output: aproximadamente "24".

Input: "cos(x + ln(x)); pi; 1".
Output: aproximadamente "1.5".




Derivada no ponto (trata-se de uma aproximação):

Calculadora: produtório.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do produtório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.

Exemplo:

Input: "n; 1; 5".
Output: "120".

Input: "cos(n) + 1; 1; 4".
Output: aproximadamente "0.003".

(pode travar o sistema)

Produtório:

Calculadora: somatório.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do somatório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.

Exemplos:

Input: "n; 1; 5".
Output: "15".

Input: "cos(n * pi) / fatorial(n); 0; 4".
Output: aproximadamente "0.37".

(pode travar o sistema)

Somatório:

Meme: quando o código funciona de primeira.

Calculadora: integral definida, aproximação por soma de Riemann.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o valor da integral, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: o número de elementos da partição que será utilizada no cálculo, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Exemplos:

Input: "x; 0; 5; 2".
Output: "12.5".

Input: "x + log10(x*x + 2); -pi; 2.7; 8".
Output: aproximadamente "2.37".

(pode travar o sistema)

Integral definida, aproximação por soma de Riemann:

Demonstração: $\cosh (a + b) = (\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b)$.

$(\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b) =$

$= \dfrac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a - e^{-a})(e^b - e^{-b})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} + \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} - \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} + 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} + e^{-(a + b)}}{2} = \cosh (a + b)$

Demonstração: $\sinh (a + b) = (\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a)$.

$(\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a) =$

$= \dfrac{(e^a - e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^b - e^{-b})(e^a + e^{-a})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} - e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} + \bcancel{e^{(b - a)}} - \cancel{e^{(a - b)}} - e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} - 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} - e^{-(a + b)}}{2} = \sinh (a + b)$