Calculadora: valor numérico de um polinômio.

Separados por vírgula ",", entre primeiramente com o polinômio, depois os valores a serem atribuídos às variáveis: a variável, depois o caractere "=", e depois o valor real:

Exemplo:

Input: "3xyz + xx - 1, x = 4, y = 5".

Output: "60z + 15".




Valor numérico do polinômio:

Calculadora: divisão de polinômios de uma variável.

Entre com uma string contendo os polinômios de coeficientes reais dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo:

Exemplo:

Input: "2xx - 3x + 5, x - 1".

Output:

Quociente: 2x - 1

Resto: 4




Divisão:

Calculadora: multiplicação de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem multiplicados:

Exemplo:

Input: "2x + 3y, 4 + z". Output: "2xz + 3yz + 8x + 12y".




Polinômio produto:

Calculadora: soma de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem somados:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5xx, 2y, -xx + 7x". Output: "4xx + 9x - y".




Polinômio soma:

Calculadora: reduzir termos semelhantes.

Entre com uma string contendo um polinômio de coeficientes reais a ter seus termos reduzidos:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5.5xx - y + 10xx". Output: "15.5xx + 2x - 4y".




Polinômio reduzido:

Calculadora: conversão para algarismos romanos.

Entre com um número natural positivo a converter em algarismos romanos:

Exemplo:

Input: "24". Output: $XXIV$.




Número em algarismos romanos:

Calculadora: nome de um número.

Entre com uma string contendo um número natural:

Exemplo:

Input: "228". Output: "Duzentos e vinte e oito.".




Nome do número:

Exercício: encontrar raízes de uma equação polinomial dadas algumas.

Sabe-se que a equação $x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10 = 0$ admite as raízes complexas $1 - i$ e $2 + i$. Quais as demais raízes dessa equação?

Resolução:

Seja $P(x) \equiv x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$.

Dividindo $P(x)$ por $x - (1 - i)$, e, em seguida, por $x - (2 + i)$, utilizando Briot-Ruffini:

$\begin{array}{c|c c c c c}1 - i & 1 & -6 & 15 & -18 & 10\\ 2 + i& 1 & -5 - i & 9 + 4i & -5 - 5i & 0\\ & 1 & -3 & 3 + i & 0 &\end{array}$

Logo as raízes procuradas serão as raízes de $x^2 - 3x + (3 + i)$.

$\Delta = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$

Para extrair as raízes quadradas de $-3 - 4i$ vamos o por em sua forma trigonométrica:

$5(\cos \arccos -\dfrac{3}{5} + i \cdot \sin \arcsin -\dfrac{4}{5})$

Seja $\theta$ o argumento de uma das raízes quadradas, a de menor argumento, (observemos que, se $2\theta$ pertence ao terceiro quadrante (seno negativo e cosseno negativo), $\theta$ será um arco do segundo quadrante):

$-\dfrac{3}{5} = 2\cos^2 \theta - 1\ \Rightarrow\ \cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = \sqrt{1 - (-\dfrac{\sqrt{5}}{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Chamando de $R_1$ e $R_2$ as raízes quadradas de $-3 - 4i$, teremos:

$R_1 = \sqrt{5}(-\dfrac{\sqrt{5}}{5} + i \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}) = -1 + 2i$

$R_2 = 1 - 2i$

Continuando a resolução de $x^2 - 3x + (3 + i) = 0$:

$x' = \dfrac{3 - 1 + 2i}{2} = 1 + i$

$x'' = \dfrac{3 + 1 - 2i}{2} = 2 - i$

Logo as raízes procuradas são $\fbox{$1 + i$}$ e $\fbox{$2 - i$}$.

Calculadora: matriz inversa.

Entre com uma string matriz de números reais onde as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4".

Output:

"
-2 1
3/2 -1/2
"




Matriz inversa:

Calculadora: multiplicação de matrizes.

Entre com uma string contendo as duas matrizes de números reais separadas pelo caractere "x"; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";", as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4 x 2, 3; 4, 5".

Output:

"
10 13
22 29
"




Produto:

Calculadora: determinante.

Entre com uma string matriz de números reais; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 0.5". Output: "-5.5".




Determinante:

Exercício: condição de um número complexo para que seja real.

Qual o valor de $a$, com $a \in \mathbb{R}$ que torna real o quociente $\dfrac{3 - 2ai}{4 - 3i}$?

Resolução:

A parte imaginária deve ser nula.

$\dfrac{3 - 2ai}{4 - 3i} = \dfrac{(3 - 2ai)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)} = \dfrac{(12 + 6a) + (9 - 8a)i}{25}$

$9 - 8a = 0\ \therefore\ \fbox{$a = \dfrac{9}{8}$}$