Seja a reta $y = mx + n$.
Se a reta é vertical $x = a$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(2a - x_o, y_o)$.
Se a reta é horizontal $y = n$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(x_o, 2n - y_o)$.
Se a reta tem coeficiente angular $m = 1$, $(x_i, y_i) = (y_o - n, x_o + n)$.
Se a reta tem coeficiente angular $m = -1$, $(x_i, y_i) = (-y_o + n, -x_o + n)$.
Se a reta não é vertical, nem horizontal, e se $|m| \neq 1$, $y = \dfrac{-1}{m}(x - x_o) + y_o$ é a reta perpendicular passando por $(x_o, y_o)$.
A intersecção entre as duas retas é $\left(\dfrac{(y_o - n) m}{m^2 + 1}, \dfrac{(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + n\right)$, e o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ com relação à reta é dado por:
$\fbox{$(x_i, y_i) = \left(\dfrac{2(y_o - n)m}{m^2 + 1} - x_o, \dfrac{2(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + 2n - y_o\right)$}$.
Ou, isolando $x_o$ e $y_o$,
$\fbox{$(x_o, y_o) = \left(\dfrac{\dfrac{2my_i - 4mn}{m^2 - 1} - (m^2 + 1)x_i - mn}{m^2 + 1}, \dfrac{y_i - 2n}{m^2 - 1}\right)$}$.
Exemplo:
Seja a região $y \ge x^2$, o lugar geométrico simétrico com relação à reta $y = \dfrac{x}{2} - 1$ é
$\dfrac{-y - 2}{3/4} \ge \left(\dfrac{\dfrac{-y - 2}{3/4} - \dfrac{5x}{4} + \dfrac{1}{2}}{5/4}\right)^2$.
