Suponha que $|f(x)| \le |x|^k$, com $k > 1$. Calcule, por definição, $f'(0)$.

Observemos inicialmente que $|f(0)| \le |0|^k = 0$, logo $f(0) = 0$.

$f'(0) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$

Como $0 \le |f(x)| \le |x|^k$:

(I): $\lim_{h \rightarrow 0 ^+} \dfrac{0}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|h|^k}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^+} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.

(II): $\lim_{h \rightarrow 0 ^-} \dfrac{|h|^k}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{0}{h}\ \Rightarrow\ 0 \le \lim_{h \rightarrow 0^-} \dfrac{|f(h)|}{h} \le 0$.

Por (I) e (II), e pelo teorema do confronto, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = 0$.

Se $f(h) \ge 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.

Se $f(h) < 0$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{|f(h)|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-f(h)}{h} = -\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h}$.

Em ambos os casos, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{h} = 0$, logo $\fbox{$f'(0) = 0$}$.

Derivada do $\arcsin x$.

Seja $f$ bijetiva, logo existe $f^{-1}$.

Se $f^{-1}$ é diferenciável em seu domínio e $f'(x) \neq 0$, $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'[f^{-1}(x)]}$.

Seja $(-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{2})$ o domínio de $\sin x$:

$\arcsin' x = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}$

$\fbox{$\arcsin' x = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$}$

Exercício: unicidade de uma função dada sua derivada e um ponto.

Exercício: mostre que existe uma única função $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $h'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $h(0) = 1$.

Resolução:

Seja $g$ uma função real tal que $g'(x) = \cos (x^2 - x)$ e $g(0) = 1$, definamos $f(x) = g(x) - h(x)$.

$f'(x) = g'(x) - h'(x) = 0$, logo, pelo TVI, $f$ é constante.

$f(0) = g(0) - h(0) = 1 - 1 = 0$

Sendo $f(x) = 0$, $g(x) = h(x)$.

Meme: meditação e estudos para ir ao céu.

Exercício: seja $b^2 \ge 4ac$ e $b > 0$, encontre $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Resolução:

$\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \dfrac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} =$

$= \dfrac{b^2 - 4ac - b^2}{(2a)(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} = \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}$

Logo $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} =$

$= \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2c}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \fbox{$-\dfrac{c}{b}$}$

Meme: derivada mais atraente.

Meme: diferentes bases dos logaritmos.

Meme: Matemática necessária para a Física.

Meme: o mundo em guerra e eu estudando.

Meme: happy hour estudando.

Meme: reação força do Facebook com Matemática.

Meme: funções recursivas.

Meme: você pretende ser um matemático?

Meme: autodidatismo.

Meme: o café nos estudos.

Exercício: encontre a derivada de $f(x) = x^x$, $x > 0$.

$x^x = (e^{\log x})^x = e^{x\log x}$

Logo $f'(x) = e^{x\log x}(\dfrac{x}{x} + \log x) = \fbox{$x^x(1 + \log x)$}$