Exercício: volume de um cone.

Se o raio da base de um cone equilátero mede $3\ cm$, então qual a medida do seu volume em $cm^3$?

Por ser um cone equilátero, sua geratriz mede $g = 2r = 6$

Sua altura pela fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $g$:

$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{9\pi \cdot \cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \fbox{$9\pi\sqrt{3}$}$

Exercício: soma dos volumes de dois cilindros.

O raio da base de um cilindro é $r$ e sua altura, $2r$. Um outro cilindro tem altura $r$ e raio da base $2r$. Nessas condições, qual a soma de seus volumes?

$S = 2\pi r^3 + 4\pi r^3 = \fbox{$6\pi r^3$}$

Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.

Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?

Resolução:

Considerando a ordem de chegada dos filhos:

$n(U) = 2^6 = 64$

$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$

Exercício: número de soluções de uma equação trigonométrica.

No intervalo $[0, \pi]$, qual o número de soluções da equação $\sin (2x) + \sin x = 0$?

Resolução:

$\sin (2x) + \sin x = [2(\sin x)(\cos x)] + \sin x = (\sin x)(2\cos x + 1)$

$(\sin x)(2\cos x + 1) = 0\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \pi$

$2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ \cos x = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$\fbox{O número de soluções é $3$}$

Exercício: determinar os coeficientes de um sistema linear sabendo que é possível e indeterminado.

Seja $a$ um parâmetro real não nulo. Se o sistema $\begin{cases}ax + a^2y = 0\\ a^2x + a^4y = 0\end{cases}$ tem uma infinidade de soluções, qual o valor de $a$?

O determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo para que um sistema linear seja impossível ou indeterminado, como o enunciado diz que ele é possível, logo é indeterminado.

$\begin{vmatrix} a & a^2\\ a^2 & a^4\end{vmatrix} = 0\ \Rightarrow a^5 - a^4 = 0\ \therefore\ a = 0\ \vee\ a = 1$

Como $a$ é real não nulo, $\fbox{$a = 1$}$.

Exercício: determinando a máxima velocidade em uma curva sem derrapar.

Considere uma pista contida num plano horizontal. A máxima velocidade com que um carro pode fazer uma curva de raio $80$ metros sem derrapar é de $20\ m/s$. Determine a máxima velocidade que esse carro pode ter, ao fazer uma curva de $20$ metros.

Resolução:

Horizontalmente, a força resultante é a centrípeta, e é composta apenas da força de atrito, logo são iguais.

Considerando constante o coeficiente de atrito $\mu$, na iminência de derrapar: $\cancel{m}g\mu = \cancel{m}\dfrac{v^2}{R}\ \Rightarrow\ \mu = \dfrac{v^2}{gR}$

$\mu = \dfrac{20^2}{80g} = \dfrac{5}{g}$

Fazendo a curva de raio $20$ metros:

$\cancel{m}\cancel{g}\dfrac{5}{\cancel{g}} = \cancel{m}\dfrac{v^2}{20}\ \therefore\ \fbox{$v = 10\ m/s$}$

Exercício: área e volume de um paralelepípedo cujas dimensões são raízes de uma equação polinomial.

As dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo são as raízes da equação do $3^{\underline{o}}$ grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Calcule a área total e o volume desse paralelepípedo.

Pelas relações de Girard:

$ A = 2(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) = \fbox{$\dfrac{2c}{a}$}$

$ V = r_1 r_2 r_3 = \fbox{$-\dfrac{d}{a}$}$

Exercício: determinando raízes de um polinômio conhecidas algumas de suas propriedades.

Resolva em $\mathbb{C}$ a equação $x^5 - 6x^4 + 64x^2 - 144x + 96 = 0$ sabendo que três de suas raízes são iguais e as outras duas são opostas entre si.

Resolução:

Chamemos as iguais de $r_1$ e as opostas de $r_2$ e $-r_2$.

Por uma das relações de Girard:

$6 = r_1 + r_1 + r_1 + \cancel{r_2} - \cancel{r_2} = 3r_1\ \therefore\ r_1 = 2$

Por outra das relações de Girard:

$-96 = -r_1^3 r_2^2= -2^3 r_2^2 = -8 r_2^2$

$r_2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$\fbox{$S = \{2, 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}\}$}$

Exercício: determinando uma raiz de uma equação polinomial conhecidas as demais.

Os números $-1$ e $1$ são raízes de $P(x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c$. Qual a terceira raiz?

Utilizando uma das relações de Girard:

$(-1) \cdot 1 \cdot r = -\dfrac{2\cancel{c}}{\cancel{c}}\ \therefore\ \fbox{$r = 2$}$

Exercício: encontrando coeficientes de um polinômio por meio das relações de Girard.

Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da equação $3x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ sabendo que as raízes são $5i$, $-5i$ e $2$.

Utilizando as relações de Girard:

$\cancel{5i} - \cancel{5i} + 2 = - \dfrac{a}{3}\ \therefore\ \fbox{$a = -6$}$

$5i \cdot (-5i) + \cancel{5i \cdot 2} + \cancel{2 \cdot (-5i)} = \dfrac{b}{3}\ \therefore\ \fbox{$b = 75$}$

$5i \cdot (-5i) \cdot 2 = - \dfrac{c}{3}\ \therefore\ \fbox{$c = -150$}$

Exercício: aplicando as relações de Girard.

Sendo $r_1$, $r_2$ e $r_3$ as raízes da equação $2x^3 - 4x^2 + 3x + 1 = 0$, calcular $\dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$.

Chamemos $R = \dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$

$R = \dfrac{(r_1 r_2)^2 + (r_1 r_3)^2 + (r_2 r_3)^2}{(r_1 r_2 r_3)^2} = \dfrac{(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)^2 - 2 r_1 r_2 r_3 (r_1 + r_2 + r_3)}{(r_1 r_2 r_3)^2}$

Pelas relações de Girard:

$R = \dfrac{(\dfrac{3}{2})^2 - 2 \cdot (-\dfrac{1}{2}) \cdot 2}{(-\dfrac{1}{2})^2} = \fbox{$17$}$

Exercício: determinando operação entre coeficientes de uma equação polinomial.

Sabendo que $1$ é raiz da equação $x^3 + ax^2 - 2x + b = 0$, calcule o valor de $a+b$.

Substituindo $x$ por $1$ e, como $1$ é raiz, igualando a $0$:

$1 + a - 2 + b = 0\ \therefore\ \fbox{$a + b = 1$}$

Exercício: determinando um polinômio e uma imagem sua.

Um polinômio $P(x) \equiv x^3 + ax^2 + bx + c$ satisfaz as seguintes condições: $P(1) = 0$; $P(-x) + P(x) = 0$, qualquer que seja $x$ real. Qual o valor de $P(2)$?

$P(1) = 0\ \Rightarrow\ 1 + a + b + c = 0$

$P(-1) + P(1) = 0\ \Rightarrow\ P(-1) = 0\ \Rightarrow\ -1 + a - b + c = 0$

$P(0) + P(0) = 0\ \Rightarrow\ 2c = 0\ \Rightarrow\ c = 0$

$\begin{cases}a + b = -1\\ a - b = 1\end{cases}\ \Rightarrow\ a = 0\ \wedge\ b = -1$

$P(x) = x^3 - x$

$P(2) = 2^3 - 2 = \fbox{$6$}$

Exercício: raízes comuns a dois polinômios.

Determine as raízes comuns aos polinômios $P(x) \equiv 2x^6 - x^2 + 1$ e $Q(x) \equiv x^6 + 4x^4 - 3$.

Resolução:

Se $x$ é raíz de $P(x)$ e também de $Q(x)$, então $P(x) = 0$ e $Q(x) = 0$, logo, afim de cancelar os termos em $x^6$, podemos tranquilamente escrever:

$2Q(x) - P(x) = 0$

$8x^4 + x^2 - 7 = 0$

$x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{16}$

$x^2 = \dfrac{-1 + 15}{16}\ \vee\ x^2 = \dfrac{-1 - 15}{16}$

$x^2 = \dfrac{7}{8}\ \vee\ x^2 = -1$

$x \in \{\sqrt{\dfrac{7}{8}}, -\sqrt{\dfrac{7}{8}}, i, -i\}$

Fazendo uma verificação, destes valores apenas $i$ e $-i$ são raízes de ambos.

Simétricos de $z$ no plano de Argand-Gauss.

Seja $z$ um número complexo no plano de Argand-Gauss, há uma bijeção entre os pontos do plano de $\mathbb{C}$, de tal forma que um ponto do plano chama-se afixo de um elemento $z$ de $\mathbb{C}$.

O plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo, é semelhante a um plano cartesiano, com dois eixos, no caso, o horizontal é chamado de eixo real e, o vertical, de eixo imaginário.

Eis os simétricos de um número complexo genérico $z$:

Simétrico em relação à origem: $-z$.

Simétrico em relação ao eixo real: $\overline{z}$.

Simétrico em relação ao eixo imaginário: $-\overline{z}$

Gráficos: funções $\rho (z)$ e $\theta (z)$.

Um número complexo, em sua forma trigonométrica, possui dois parâmetros: $\rho$ que é seu módulo, e $theta$ que é seu argumento.

Eis aqui dois gráficos, um para $\rho$ e outro para $\theta$ no plano de Argand-Gauss:

Demonstração: lançamento oblíquo a ângulos complementares.

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Exercício: determinando imagens de números complexos.

Determine no plano de Argand-Gauss as imagens dos complexos $z$ tais que $z\overline{z} = |z|$.

Resolução:

Seja $z = a + bi$.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, ou seja, é o quadrado do seu módulo.

$|z|$ é o seu módulo.

Chamemos o módulo de $z$ de $\rho$, assim, a equação acima pode ser interpretada como encontrar os complexos de módulo $\rho$, tais que $\rho^2 = \rho$.

$\rho^2 - \rho = 0\ \Rightarrow\ \rho = 0\ \vee\ \rho = 1$

Assim, no plano de Argand-Gauss, os únicos complexos que satisfazem a sentença são o centro $(0, 0)$ e a circunferência de raio $1$.

$\fbox{$S = \{z \in \mathbb{C}\ :\ z = 0\ \vee\ |z| = 1\}$}$

Exercício: volume e razão de semelhança.

Se uma aresta de um poliedro mede $3 u$, e o mesmo tem volume $100 u^3$, $u$ unidade arbitrária de comprimento, qual será seu volume em uma outra unidade arbitrária $v$ tal que a mesma aresta tem comprimento $5 v$?

Resolução:

A razão de semelhança linear é $\dfrac{5}{3}$, logo a razão de semelhança cúbica ou volumétrica será $(\dfrac{5}{3})^3$.

$V\ =\ (\dfrac{5}{3})^3 \cdot 100\ v^3$

$V\ =\ \dfrac{12500}{27}\ v^3\ \approx\ \fbox{$463\ v^3$}$

Exercício: equação matricial.

$A$ é matriz inversível, resolva a equação $A \cdot X = B$.

Resolução:

$A \cdot X = B\ \Rightarrow \ A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ (A^{-1}A)X = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ \fbox{$X = A^{-1} \cdot B$}$

Exercício: simétrico de um ponto com relação a outro ponto.

Determinar o simétrico do ponto $A(3, 5)$ em relação ao ponto $Q(9, 6)$.

Resolução:

O simétrico de $A$ em relação a $Q$ é o ponto $A'(x_{A'}, y_{A'})$ tal que $Q$ é o ponto médio do segmento $\overline{AA'}$.

$9 = \dfrac{3 + x_{A'}}{2} \Rightarrow x_{A'} = 15$

$6 = \dfrac{5 + y_{A'}}{2} \Rightarrow y_{A'} = 7$

$A'(15, 7)$

Exercício: ponto médio.

Dados $A(5, 1)$ e $B(7, -9)$, determinar o ponto médio $M(x_M, y_M)$ do segmento $\overline{AB}$.

Resolução:

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$

$y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{1 + (-9)}{2} = -4$

$M(6, -4)$

Exercício: rotação dos eixos cartesianos.

Encontre a imagem $P'$ de $P(1, \sqrt{3})$ sabendo que os eixos foram rotacionados em $\dfrac{\pi}{6}\ rad$ no sentido anti-horário.

Resolução:

No plano de Argand-Gauss:

$(1, \sqrt{3})\ \equiv\ 2(\cos \dfrac{\pi}{3},\ \sin \dfrac{\pi}{3})$

$P'$, depois da rotação, é afixo de um complexo igual ao cujo afixo é $(1, \sqrt{3})$ menos $\dfrac{\pi}{6}$, antes da rotação.

Operando números complexos na forma trigonométrica:

$P'\ \equiv\ 2[\cos (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6}),\ \sin (\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6})]$

$P'\ \equiv\ 2(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1}{2})\ \equiv\ (\sqrt{3},\ 2)$

Exercício: tempo de queda dada a distância percorrida em uma unidade de tempo.

Um corpo cai, em queda livre, de uma altura tal que durante o último segundo de queda ele percorre $1/4$ da altura total. Calcular o tempo de queda, supondo nula a velocidade inicial do corpo.

Resolução:

De $S = S_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ :

$S = \dfrac{at^2}{2}$

Se no último segundo o corpo percorre $\dfrac{1}{4}$  da altura, antes do último segundo terá percorrido $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ da altura.

$\dfrac{3}{4}S = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{at^2}{2} = \dfrac{a(t-1)^2}{2}$

$4t^2 - 8t + 4 = 3t^2$

$t^2 - 8t + 4 = 0\ , \mathbb{U} = (1, +\infty)$

$t = (4 + 2\sqrt{3})\ s$

Exercício: produto de matrizes.

Seja $A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}$. Encontre $A^2$.

Resolução:

$A^2 = AA = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 4 & -3\end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3)\\ 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 & 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4\\ -8 & 17\end{bmatrix}$

Exercício: determinar base de numeração.

Determine a base de numeração $n$ para que a sentença $103 - 21 = 30 - 2$ seja verdadeira.

Resolução:

$(1 \cdot n^2 + 0 \cdot n + 3) - (2 \cdot n + 1) = (3 \cdot n + 0) - (2)$

$n^2 - 5n + 4 = 0$

$n = 4$

Exercício: instante de encontro de dois móveis.

Na figura, estão representados os gráficos das velocidades de dois móveis em função do tempo. Esses móveis partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea. Em que instante eles se encontram?

Resolução:

Chamemos de $a_1$ a aceleração de um móvel, e de $a_2$ a aceleração do outro.

De $v = v_0 + at$:

$4a_1 = (4-3)a_2\ \therefore\ a_2 = 4a_1$

De $s = s_0 + v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{a_1 t^2}{2} = \dfrac{4a_1 (t-3)^2}{2}$

$t^2 - 8t + 12 = 0$

$t = 6\ s$ ($t$ deve ser maior que $3\ s$).

Exercício: circunferência degenerada em um ponto.

Obtenha os valores reais de $k$ para que a equação $(x+3)^2 + y^2 = 1-2k$ represente um ponto.

Resolução:


Para um $k$ genérico, a equação acima trata-se de uma circunferência, assim, no segundo membro temos o quadrado de seu raio.


Para que a circunferência degenere em um único ponto, que será o seu centro $(-3, 0)$, o raio deve ser nulo, $0$:

$1-2k = 0\ \therefore \ k = \dfrac{1}{2}$

Exercício: equação modular $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

Resolva, no universo $\mathbb{R}$ a equação $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

$x < 0\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ (-x) \cdot (2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(II)}$

(I) e (II) $\Rightarrow\ S_1 = \emptyset$

$0 \le x < 2\ \text{(III)}\ \Rightarrow\ x(2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ (x = -3\ \vee\ x = 2)\ \text{(IV)}$

(III) e (IV) $\Rightarrow\ S_2 = \emptyset$

$x \ge 2\ \text{(V)}\ \Rightarrow\ x(x - 2) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(VI)}$

(V) e (VI) $\Rightarrow\ S_3 = \{2, 3\}$

$\bigcup_{i = 1}^3 S_i = \{2, 3\}$

Exercício: determinando imagem de uma função quadrática, dado um domínio.

Sendo $A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ge 2\}$, determine o conjunto imagem da função $f:\ A\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$

Para valores de $x$ maiores que $1$ a função é crescente.

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = -8$, logo $Im_f\ =\ [-8,\ +\infty[$

Exercício: inequação modular.

No universo real, resolva a inequação $|3x|>|5 - 2x|$.

$x < 0$ (I) $\Rightarrow\ -3x > 5 - 2x\ \Rightarrow\ x < -5$ (II)

(I) e (II): $x < -5$ (III)

$0 \le x \le \dfrac{5}{2}$ (IV) $\Rightarrow\ 3x > 5 - 2x\ \Rightarrow\ x > 1$ (V)

(IV) e (V): $1 < x \le \dfrac{5}{2}$ (VI)

$x > \dfrac{5}{2}$ (VII) $\Rightarrow\ 3x > 2x - 5\ \Rightarrow\ x > -5$ (VIII)

(VII) e (VIII): $x > \dfrac{5}{2}$ (IX)

(III) ou (VI) ou (IX): $x < -5\ \vee\ x > 1$

$S\ =\ ]-\infty, -5[\ \cup\ ]1, +\infty[$

Exercício: determinando parâmetro e imagem de uma função quadrática.

O gráfico da função quadrática definida por $y = x^2 - mx + (m - 1)$, onde $m \in \mathbb{R}$, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Qual o valor de $y$ que essa função associa a $x = 2$?

$\Delta = m^2 - 4m + 4 = 0\ \Rightarrow\ m = 2\ \Rightarrow\ y = x^2 - 2x + 1$

$x = 2\ \Rightarrow\ y = 1$

Exercício: soma de quadrados nula.

Sabendo que $x$, $y$ e $z$ são números reais e $(2x + y - z)^2 + (x - y)^2 + (z - 3)^2 = 0$, calcule $x + y + z$.

Como temos uma soma de quadrados, ela só será nula se todos os termos também forem nulos, logo:

$z - 3 = 0\ \Rightarrow\ z = 3$ (I)

$x - y = 0\ \Rightarrow\ x = y$ (II)

$2x + y - z = 0\ \wedge\ $(I) $\wedge$ (II) $\Rightarrow\ x = y = 1$ (III)

(I) $\wedge$ (III) $\Rightarrow\ x + y + z = 5$

Exercício: equação da reta paralela que passa por um ponto.

Obtenha uma equação da reta $r$ que passa pelo ponto $P(-2, 3)$ e é paralela à reta $s$ de equação $2x + 4y - 1 = 0$.

$2(-2) + 4\cdot 3 + k = 0\ \therefore\ k = -8$

$r:\ 2x + 4y - 8 = 0$

Exercício: tempo de queda livre.

Um corpo cai em queda livre, percorrendo a primeira metade de sua trajetória em $1\ s$. A trajetória inteira será percorrida em quantos segundos?

Resolução:


Da função horária $S(t) = S_0 +  v_0t + \dfrac{at^2}{2}$:

$\dfrac{S}{2} = \dfrac{a}{2}$

$S = a = \dfrac{2a}{2} = \dfrac{a(\sqrt{2})^2}{2}$

Portanto percorrerá toda a trajetória em $\sqrt{2}\ s$.

Exercício: resolvendo uma equação no sistema de numeração de base $2$.

Resolva a equação $10x - 11 = 101$ no sistema de numeração de base $2$.

Resolução:

$10x = 11 + 101$

$10x = 1000$

$x = 100$

Exercício: determinar parâmetro para que uma função tenha inversa.

Determine $k$ para que $f = \{(a, 2k - 1), (c, k)\}$ tenha inversa.

$f$ deve ser injetiva.

$2k - 1 \neq k\ \therefore\ k \neq 1$

$k$ pode assumir qualquer valor, menos o $1$.

Exercício: velocidade de lançamento e uma determinada altura.

Em uma experiência de laboratório, verificou-se que a velocidade de lançamento de um corpo para que este atingisse uma certa altura é $v$, quando lançado verticalmente. Um aluno repete a experiência, porém imprime ao corpo a velocidade $2v$. Qual será a velocidade do corpo ao atingir a altura do primeiro ensaio?

Resolução:



Por Torricelli:

$0 = v^2 + 2a\Delta S$

$3v^2 = 4v^2 + 2a\Delta S$

$(\sqrt{3}v)^2 = (2v)^2 + 2a\Delta S$

Portanto a velocidade será $v\sqrt{3}$.

Exercício: determinar equação de uma corda de uma circunferência.

Sabendo que o ponto $(2, 1)$ é ponto médio de uma corda $\overline{AB}$ da circunferência $(x-1)^2 + y^2 = 4$, qual a equação da reta que contém $\overline{AB}$?

Resolução:

$\overleftrightarrow{AB}$ será perpendicular à reta determinada por $(2, 1)$ e pelo centro da circunferência $(1, 0)$.

$-\dfrac{1}{m} = \dfrac{1-0}{2-1} \Rightarrow m = -1$

$\overleftrightarrow{AB}: y-1 = -(x-2)$

$\overleftrightarrow{AB}: x + y - 3 = 0$

Exercício: função periódica para produção de leite.

Devido principalmente às variações na quantidade de chuva no decorrer dos meses do ano, a produção de leite na fazenda de Rui sofre variação segundo a função $L(M) = 300 - 50\sin[(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$, em que $m$ representa o mês do ano, e $L$, a quantidade de leite produzida, em litros. Nos meses em que a quantidade de chuva é maior, a produção também aumenta, pois a qualidade das pastagens melhora.

a) Em qual mês ocorreu a maior produção de leite? Quantos litros foram produzidos?

b) Determine o período da função $L$.

Resolução:

a) $L$ é máxima quando o seno for mínimo, ou seja:

$(\dfrac{m-1}{6})\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi - \dfrac{3\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$(\dfrac{m-1}{6})\pi = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\dfrac{m-1}{6} = 2k, k \in \mathbb{Z}$

$m - 1 = 12k, k \in \mathbb{Z}$

$m = 1 + 12k, k \in \mathbb{Z}$

Como $1 \le M \le 12$, $m = 1$, ou seja, o mês mais produtivo é janeiro, e a produção máxima é de $300 + 50 = 350\ l$.

b) O coeficiente de $m$ é $\dfrac{\pi}{6}$, logo o período da função é $|\dfrac{2\pi}{\dfrac{\pi}{6}}| = 12$.

Exercício: determinar parâmetro em circunferência.

Para que valor real de $k$ a equação $(x-1)^2 + (y-2)^2 = k-1$ representa uma circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano?

Resolução:

$(0, 0)$ satisfaz.

$(0-1)^2 + (0-2)^2 = k-1 \Rightarrow k = 6$

Exercício: defasagem entre os ponteiros de um relógio.

Um relógio de ponteiros ficou parado por 2h45m. Em relação ao ponteiro que indica as horas, de quantos graus é a diferença entre sua posição no momento em que o relógio parou e no horário correto?

Resolução:

A cada hora, o ponteiro das horas deslocar-se-á $30$ graus, logo, no total, deslocar-se-á $30 \cdot (2 + \dfrac{3}{4}) = 82,5$ graus, ou $82$ graus é $30$ minutos de grau.

Exercício: diâmetro de um pneu dada sua rotação e a velocidade do veículo.

O pneu de um automóvel a $105,5 km/h$ gira a uma velocidade de $700$ rotações por minuto. Qual é o diâmetro desse pneu?

Resolução:

O pneu percorrerá $\dfrac{105,5}{60} \cdot 1000 \approx 1758$ metros em um minuto.

$1758 = 700 \cdot \pi \cdot d$

$d \approx 0,8$

$d \approx 80 cm$

Exercício: imagem de uma função trigonométrica.

Qual o conjunto imagem da função $f(x) = 2^{2\cos x}$?

Resolução:

$Im_f = [2^{2 \cdot (-1)}, 2^{2 \cdot 1}] = [\dfrac{1}{4}, 4]$

Exercício: uma aplicação do princípio fundamental da contagem.

Num salão há $16$ portas. Calcule o número de formas distintas de se entrar no salão e dele sair por uma porta diferente.

Resolução:

$16 \cdot 15 = 240$

Exercício: perímetro de um triângulo por razão de semelhança no plano cartesiano.

Os pontos $M(2, 3)$, $N(-1, -1)$ e $P(11, 4)$ são pontos médios dos lados $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$, respectivamente, de um triângulo $ABC$. Calcule o perímetro do triângulo $ABC$.

Resolução:

A razão de semelhança entre os triângulos $MNP$ e $ABC$ é $\dfrac{1}{2}$, logo basta calcular o perímetro de $MNP$ e multiplicar por $2$.

$P = 2(\sqrt{(2+1)^2 + (3+1)^2} + \sqrt{(2-11)^2 + (3-4)^2} +$

$+ \sqrt{(-1-11)^2 + (-1-4)^2}) = 36 + 2\sqrt{82}$

Exercício: coordenadas do baricentro de um triângulo.

O segmento $\overline{AM}$, com $A(2, 7)$ e $M(11, 1)$, é mediana de um triângulo $ABC$. Determine o baricentro $G$ desse triângulo.

Resolução:


O baricentro pertence à mediana e dista $\dfrac{2}{3}$ do comprimento desta a partir do vértice $A$.

$G[2 + (11 - 2) \cdot \dfrac{2}{3}, 7 + (1 - 7) \cdot \dfrac{2}{3}] \Rightarrow G(8, 3)$

Exercício: inversa de uma função.

Seja $f = \{(a, b), (c, d)\}$. Encontre $f^{-1}$.

Resolução:

$f^{-1} = \{(b, a), (d, c)\}$

Exercício: coordenadas de um vértice de um triângulo.

Os pontos $A(2, 2)$, $B(x, 1)$ e $C(-1, 3)$ são vértices de um triângulo retângulo em $B$. Determine $x$.

Resolução:


$d_{AC}^2 = d_{AB}^2 + d_{BC}^2$

$(\sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - 2)^2})^2 = (\sqrt{(x - 2)^2 + (1 - 2)^2})^2 +$

$+ (\sqrt{(-1 - x)^2 + (3 - 1)^2})^2$

$ 10 = (x - 2)^2 + 1 + (x + 1)^2 + 4$

$10 = x^2 - 4x + 4 + 1 + x^2 + 2x + 1 + 4 \Rightarrow 2x^2 - 2x = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow x = 0 \vee x = 1$

Exercício: imagem da função seno.

Sabendo que $\alpha$ é um arco do primeiro quadrante, quais são os valores de $m$ que satisfazem a igualdade $\sin \alpha = 3 - 12m$?

Resolução:

$0 < 3 - 12m < 1$

$-3 < -12m < 1 - 3$

$-3 < -12m < -2$

$2 < 12m < 3$

$\dfrac{2}{12} < m < \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{1}{6} < m < \dfrac{1}{4}$

Exercício: raízes de um número complexo.

Em $\mathbb{U} = \mathbb{C}$, calcule $\sqrt[4]{16}$.

Resolução:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{16}[\cos (\dfrac{2k\pi}{4}) + \sin (\dfrac{2k\pi}{4})],\ k \in \mathbb{Z}$

$z = \sqrt[4]{16}$

$z = 2\ \vee\ z = 2i\ \vee\ z = -2\ \vee\ z = -2i$

Exercício: potência de $i$.

Simplifique $i^{288}$.

Resolução:

$i^{288} = i^{4\cdot 72} = 1$

Exercício: divisão de números complexos.

Sejam $z_1 = 1 + 2i$ e $z_2 = 1 - i$. Efetuar $z_1 : z_2$.

$\dfrac{1 + 2i}{1 - i} = \dfrac{(1 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{-1 + 3i}{2}$

$z_1 : z_2 = \dfrac{-1}{2} + \dfrac{3}{2}i$

Exercício: conjugado de um número complexo.

Determine o número complexo $z$ tal que $4\overline{z} - z = 6 - 9i$.

Resolução:

$z = a + bi,\ \{a,\ b\}\ \subset\ \mathbb{R}$

$4a - a = 6\ \wedge\ -4b - b = -9$

$z = 2 + \dfrac{9i}{5}$

Exercício: resolver equação polinomial pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolva a equação $x^3 + 3x + 1 = 0$ pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolução:

$uv = 1$

$(u - v)^3 + 3(u - v) + 1 = 0$

$u^3 - 3u^2v + 3uv^2 - v^3 + 3u - 3v + 1 = 0$

 $u^3 - 3u^2 \cdot \dfrac{1}{u} + 3u \cdot \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - 3u + \dfrac{3}{u} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - \dfrac{1}{u^3} + 1 = 0$

$u^6 + u^3 - 1= 0$

Tomando $U = u^3$:

$U^2 + U - 1 = 0$

$U = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$U' = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$U'' = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u'' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v'' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$x' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 + \sqrt{5}}}$

$x'' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 - \sqrt{5}}}$

Exercício: cologaritmo.

Calcule $colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81})$.

Resolução:

$colog_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -\log_{\sqrt{3}}(\dfrac{1}{81}) = -2\log_3(\dfrac{1}{81}) =$

$= 2\log_3(81) = 2 \cdot 4 = 8$

Exercício: superposição dos ponteiros de um relógio.

Num relógio comum, o ponteiro dos minutos se superpõe ao ponteiro das horas às $3$ horas, $16$ minutos e $x$ segundos. Qual é o valor aproximado de $x$?

Resolução:

$t \cdot \dfrac{\pi}{21600} = t \cdot \dfrac{\pi}{1800} - 2k\pi,\ k = 3$

$x = t - 3600 \cdot 3 - 960$

$x \approx 22$

Exercício: comprimento de uma circunferência.

Calcule o comprimento da circunferência de diâmetro $AB$, sendo $A(2, 1)$ e $B(10, 7)$.

Resolução:

$d_{AB} = \sqrt{(10-2)^2 + (7-1)^2} = 10$

Logo o comprimento é $10\pi$.

Exercício: equação trigonométrica.

Resolva a equação $(\sin x)(\cos x) = \dfrac{1}{2}$ em $\mathbb{U} = \mathbb{R}$.

Resolução:

$\dfrac{\sin 2x}{2} = \dfrac{1}{2}\ \therefore\ 2x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$

$S = \{x \in \mathbb{R}\ |\ x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}$

Exercício: período de uma roda girando.

Qual o período de uma roda que gira a $600\ rpm$?

Resolução:

$600\ rpm\ =\ 10\ Hz$

$T = \dfrac{1}{10} = 0,1\ s$

Exercício: potência de um número complexo.

Sendo $z = 3(\cos \dfrac{\pi}{4} + i\sin \dfrac{\pi}{4})$, calcule $z^4$.

Resolução:

$z^4 = 3^4(\cos \dfrac{4\pi}{4} + i\sin \dfrac{4\pi}{4}) = -81$

Exercício: ângulos internos de um paralelogramo.

A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é $28^o$. Determine os dois ângulos.

Resolução:

Dois ângulos consecutivos de um paralelogramo, ou são congruentes, ou suplementares; como são diferentes, chamando o maior deles de $\theta$, $\theta + \theta - 28 = 180\ \therefore\ \theta = 104\ \wedge\ \theta - 28 = 76$.

Exercício: ângulo externo e ângulo central de um polígono.

Calcule a medida de um ângulo externo e de um ângulo central de um polígono regular de $n$ lados.

Resolução:

Chamando de $c$ um ângulo central, $c = \dfrac{360^o}{n}$.

Chamando de $i$ um ângulo interno, $i = \dfrac{(n - 2)\cdot 180^o}{n}$.

Chamando de $e$ um ângulo externo, $e = 180 - i = \dfrac{360}{n}$.

Demonstração: $n^2 - 3n$ é par.

Sendo $n$ inteiro, demonstre que $n^2 - 3n$ é par.

Resolução:

$n^2 - 3n = n(n - 3)$

Se $n$ é ímpar, $n - 3$ é par. Se $n - 3$ é ímpar, $n$ é par. $n(n - 3)$ o produto de um ímpar e um par é par.

Exercício: ângulos internos de um polígono.

Dois ângulos internos de um polígono convexo medem $140^o$ cada um e os demais ângulos internos medem $128^o$ cada um. Qual o número de lados do polígono?

Resolução:

O resto da divisão de $280 + 128(n - 2)$ por $180$ deve ser nulo para um $n$ mínimo, o que ocorre para $n = 7$.

Exercício: número de diagonais de polígonos.

Um polígono de $2n$ lados tem $18$ diagonais a mais que um polígono de $n$ lados. Quais os números de diagonais desses polígonos?

Resolução:

$4n^2 - 6n - n^2 + 3n - 36 = 0\ \Rightarrow\ n^2 - n - 12 = 0\ \therefore\ n = 4$

As diagonais são em número de $20$ e $2$.

Exercício: número de lados e diagonais de um polígono.

O número de diagonais de um polígono convexo de $x$ lados é dado por $d = \dfrac{x^2 - 3x}{2}$. Se o polígono possui $9$ diagonais, qual o número de lados?

Resolução:

$x^2 - 3x - 18 = 0\ \therefore\ x = 6$

Exercício: perímetro de um triângulo retângulo.

No triângulo retângulo $ABC$, abaixo, tem-se que: $M$ é ponto médio de $\overline{BC}$, $m(M\hat{A}C) = 30^o$ e $AB = 3\ cm$. Calcule o perímetro do triângulo $ABM$.

Resolução:

$\overline{AB} = \overline{BM}\ \wedge\ m(M\hat{A}B) = 60^o\ \Rightarrow\ \Delta ABM$ equilátero $\Rightarrow\ 2p = 9\ cm$.

Exercício: mediana em um triângulo retângulo.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede $26\ cm$ e a mediana relativa à hipotenusa tem $21\ cm$ a menos que a soma das medidas dos catetos. Calcule o perímetro desse triângulo.

Resolução:

$13 = b + c - 21$

$a + b + c = 26 + 34 = 60$

Exercício: afixo de um número complexo.

Seja $L$ o afixo do número complexo $a = \sqrt{8} + i$ em um sistema de coordenadas cartesianas $xOy$. Determine o número complexo $b$, de módulo igual a $1$, cujo afixo $M$ pertence ao quarto quadrante e é tal que $L\hat{O}M$ é reto.



Resolução:

$a = 3(\cos \arccos \dfrac{\sqrt{8}}{3} + i \cdot \sin \arcsin \dfrac{1}{3})$

$b = \dfrac{1}{3} - i \cdot \dfrac{\sqrt{8}}{3}$

Exercício: velocidade angular e linear.

Uma partícula está em movimento circular, de raio igual a $10\ cm$, com a velocidade angular de $0,20\ rad/s$. Determine a velocidade linear, em $km/h$.

$v = 0,10\ \cdot\ 0,20\ \cdot\ 3,6\ =\ 7,2\ \cdot\ 10^{-2}\ km/h$

Exercício: ponto de maior ordenada.

Se $P(x, y)$ é o ponto de maior ordenada do plano tal que $x^2 + y^2 = x$, Quanto vale $x + y$?

$y$ máximo implica $y^2$ máximo, que implica $x - x^2$ máximo.

$y$ máximo implica $x = \dfrac{1}{2}$, que implica, assumindo o valor máximo, $y = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

Exercício: período e frequência de um relógio.

Quais são o período e a frequência do ponteiro dos segundos de um relógio?

$T = 60\ s$, $f = \dfrac{1}{60}\ Hz$

Exercício: lugar geométrico.

Encontre uma equação do L.G. dos pontos equidistantes das retas $r: 3x - y + 2 = 0$ e $s: 3x + y - 1 = 0$.

Resolução:

$\dfrac{|3x - y + 2|}{\sqrt{10}} = \dfrac{|3x + y - 1|}{\sqrt{10}}$

$2y - 3 = 0\ \vee \ 6x + 1 =0$

Exercício: equação modular.

Resolva a equação $|x| = 5x - 1$.

Resolução:

$x \ge 0 \Rightarrow x = 5x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}$

$x < 0 \Rightarrow -x = 5x - 1 \Rightarrow \nexists x$

$S = \{\dfrac{1}{4}\}$

Exercício: ondulatória - harmônicos coincidentes.

Texto para as duas questões.

Uma pessoa cuja capacidade de audição vai de $20\ Hz$ a $20\ kHz$, ouve os sons produzidos simultaneamente por dois tubos sonoros: um aberto, de comprimento $42\ cm$, soprado com ar, e outro fechado, de comprimento $100\ cm$, soprado com hidrogênio. A pessoa verifica que algumas frequências podem ser produzidas simultaneamente pelos dois tubos. A velocidade do som no ar é $v_{ar}\ =\ 336\ m / s$ e a velocidade do som no hidrogênio é $v_H\ =\ 1280\ m / s$.

(FEI-SP) A menor frequência comum aos dois tubos que a pessoa ouve é:

a) $20\ Hz$
b) $400\ Hz$
c) $800\ Hz$
d) $1600\ Hz$
e) n.d.a.

(FEI-SP) O som mais agudo, produzido simultaneamente pelos dois tubos, que pode ser ouvido pela pessoa, tem frequência:

a) $1600\ Hz$
b) $3200\ Hz$
c) $17600\ Hz$
d) $19200\ Hz$
e) n.d.a.

Resolução:

Como ambos os tubos produzirão a mesma frequência, teremos a equação:

$n_1\ \cdot\ \dfrac{v_{ar}}{2 \ell_{ar}}\ =\ n_2\ \cdot\ \dfrac{v_H}{4 \ell_H}$     [1]

Onde $\ell_{ar}$ é o comprimento do tubo preenchido com ar, $\ell_H$ é o comprimento do tubo preenchido com hidrogênio, $n_1$ é a ordem do harmônico do primeiro tubo e $n_2$ é a ordem do harmônico do segundo tubo.

Substituindo os valores em [1]:

$n_1\ \cdot\ 400\ =\ n_2\ \cdot\ 320$     [2]

Cada membro da equação acima nos dá a frequência comum procurada. Para encontrá-la precisamos um inteiro qualquer $n_1$ e um inteiro ímpar $n_2$ que a satisfaça.

De [2] podemos concluir:

$n_1\ =\ 0,8\ \cdot\ n_2$     [3]

Assim temos que encontrar o menor ímpar $n_2$ que multiplicado por $0,8$ dê um inteiro. Tal número é $5$.

De [2], concluímos que a menor frequência procurada será:

$f_m\ =\ 5\ \cdot\ 320\ =\ 1600\ Hz$

Logo, para a primeira questão, a alternativa correta é a D.

...

Como a maior frequência audível é $20000\ Hz$, o $n_2$ deve ser tal que:

$n_2\ \le\ \dfrac{20000}{320}\ =\ 62,5$

Assim, por tentativas, devemos encontrar o máximo inteiro ímpar $n_2\ \le\ 61$ que, pela expressão [3], nos forceça um $n_1$ inteiro:

Para $n_2\ =\ 61$ teremos $n_1\ =\ 48,8$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 59$ teremos $n_1\ =\ 47,2$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 57$ teremos $n_1\ =\ 45,6$. Não serve.

Para $n_2\ =\ 55$ teremos $n_1\ =\ 44$. Encontramos.

Assim, a máxima frequência comum será no quadragésimo-quarto harmônico do primeiro tubo:

$f_M\ =\ 44\ \cdot 400\ =\ 17600\ Hz$

Logo, para a segunda questão, a alternativa correta é a C.

Exercício: ondulatória - frequências em harmônicos.

(ITA-SP) Uma corda vibrante, de comprimento $\ell_1$, fixa nos extremos, tem como menor frequência de ressonância $100\ Hz$. A segunda frequência de ressonância de uma outra corda, do mesmo diâmetro e mesmo material, submetida à mesma tensão, mas de comprimento $\ell_2$ diferente de $\ell_1$, é também igual a $100\ Hz$. A relação $\ell_2 / \ell_1$ é igual a:

a) $2$
b) $\sqrt{3}$
c) $1/2$
d) $\sqrt{2}$
e) $4$

Resolução:

A expressão de Lagrange para harmônicos é:

$f_n\ =\ n\ \cdot\ \dfrac{1}{2\ell} \sqrt{\dfrac{F}{d\ \cdot\ A}}$

Para as duas cordas $F$, $d$, $A$ e $f_n$ serão constantes, logo o quociente $n / \ell$ será constante para ambas. Então teremos:

$\dfrac{1}{\ell_1}\ =\ \dfrac{2}{\ell_2}\ \Rightarrow\ \dfrac{\ell_2}{\ell_1}\ =\ 2$

Logo a alternativa correta é a A.

Exercício: ondulatória - emissão do som por dois meios distintos.

(UF-CE) Uma martelada é dada na extremidade de um trilho. Na outra extremidade encontra-se um indivíduo que ouve dois sons, com uma diferença de tempo de $0,18\ s$. O primeiro se propaga através do trilho, com velocidade de $3400\ m/s$, e o segundo, através do ar, com velocidade de $340\ m/s$. Determine, em metros, o comprimento do trilho.

Resolução:

Como a constante da questão é o comprimento do trilho, chamando de $v_t$ a velocidade do som no trilho, $v_a$ a velocidade do som no ar, $t_t$ o tempo de percurso do som no trilho e $t_a$ o tempo de percurso do som no ar, teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ t_a$     [1]

Mas:

$t_a\ =\ t_t\ +\ 0,18$     [2]

Substituindo [2] em [1], teremos:

$v_t\ \cdot\ t_t\ =\ v_a\ \cdot\ (t_t + 0,18)\ \Rightarrow\ t_t\ =\ \dfrac{v_a\ \cdot\ 0,18}{v_t - v_a}$

Substituindo, teremos:

$t_t\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{3400 - 340}\ =\ \dfrac{340\ \cdot\ 0,18}{9\ \cdot\ 340}\ =\ 0,02\ s$

Chamando de $c$ o comprimento do trilho, teremos:

$c\ =\ v_t\ \cdot\ 0,02\ =\ 3400\ \cdot\ 0,02\ =\ 68\ m$

Exercício: ondulatória - Doppler.

A frequência ouvida por uma pessoa parada para o som emitido por uma fonte sonora em movimento é $1200\ Hz$, quando a fonte se aproxima, e $800\ Hz$, quando a fonte se afasta. Sendo $320\ m/s$ a velocidade do som no ar nas condições da questão, determine:

A) A velocidade da fonte sonora;
B) A frequência emitida pela fonte.

Resolução:

Chamando de $f$ a frequência da fonte, $f_p$ a frequência aparente de aproximação, $f_a$ a frequência aparente de afastamento, e $v_F$ a velocidade da fonte, as equações para os efeitos Doppler descritos no problema são:

$f_p\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - v_F}$     [1]

$f_a\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 + v_F}$     [2]

Dividindo [1] por [2], membro a membro, teremos:

$\dfrac{f_p}{f_a}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Substituindo os valores, teremos:

$\dfrac{1200}{800}\ =\ \dfrac{320 + v_F}{320 - v_F}$

Resolvendo:

$v_F\ =\ 64\ m/s$

Substituindo $v_F$ em [1]:

$1200\ =\ f\ \cdot \dfrac{320}{320 - 64}\ \Rightarrow\ f\ =\ 960\ Hz$

Exercício: ondulatória - determinando interferência.

Ondas produzidas pela fonte F refletem-se na superfície S, com inversão de fase e superpõem-se com as ondas diretas no ponto P, conforme a figura. Considerando que as ondas em questão tem comprimento de onda igual a $4,0\ m$, o ponto P é um mínimo ou um máximo de interferência?

Resolução:

Duas frentes de onda percorrerão dois caminhos distintos, interferindo-se no ponto P: uma ao longo do segmento $\overline{FP}$, e outra refletindo-se na superfície S.

O primeiro percorrerá $8\ m$, o segundo percorrerá $2\ \cdot\ \sqrt{3^2 + (\dfrac{8}{2})^2}\ =\ 10\ m$, de tal forma que a diferença será de $\Delta d\ =\ 2\ m$.

A metade do comprimento de onda é de $2\ m$, que é um múltiplo ímpar de $\Delta d$, e como a segunda frente de onda sofre inversão de fase, a interferência será construtiva.

Exercício: ondulatória - caminhante em um túnel.

(U Mackenzie-SP) Um túnel possui uma extremidade fechada e outra aberta. Na extremidade aberta existe uma fonte sonora que emite um som de $200\ Hz$. Uma pessoa que caminha no interior do túnel com velocidade constante ouve a cada $1,7\ s$ o som com intensidade mínima. Sendo a velocidade do som no ar de $340\ m \cdot s^{-1}$, a velocidade da pessoa é:

a) $200\ m \cdot s^{-1}$
b) $20\ m \cdot s^{-1}$
c) $1,7\ m \cdot s^{-1}$
d) $1\ m \cdot s^{-1}$
e) $0,5\ m \cdot s^{-1}$

Resolução:

Primeiramente devemos determinar o comprimento de onda da onda estacionária:

$\lambda\ =\ \dfrac{340}{200}\ =\ 1,7\ m$

Isso quer dizer que a distância entre dois nodos será de $\dfrac{1,7}{2}\ m$.

Como o caminhante percorreu uma distância nodal em $1,7\ s$, sua velocidade será:

$v\ =\ \dfrac{\dfrac{1,7}{2}}{1,7}\ =\ 0,5\ m \cdot s^{-1}$

Logo a alternativa correta é a E.

Exercício: expressão para interferência construtiva.

(FCM Santa Casa-SP) Duas fontes sonoras, $F_1 $ e $F_2 $, estão defasadas de $180^\circ $. Um ponto P dista $x_1 $ de $F_1 $ e $x_2 $ de $F_2 $.

Sendo $k$ um número inteiro e $\lambda $ o comprimento de onda dos sons emitidos por $F_1 $ e $F_2 $, a condição para que o ponto P sofra interferência construtiva é que a diferença de percurso $\Delta x\ =\ x_2 - x_1 $ seja dada pela expressão:

a) $k \lambda $
b) $(k - \dfrac{1}{2}) \lambda $
c) $2k \lambda $
d) $(2k - 1) \lambda $

Resolução:

Como as fontes estão defasadas em $\pi\ rad $, estão com fases invertidas, logo $\Delta x $ deve ser um múltiplo ímpar de $\dfrac{\lambda}{2} $ para que em P tenhamos um máximo de amplitude.

Mas todo número ímpar é da forma $2k - 1 $ com $k \in \mathbb{Z} $.

Assim, vamos ter:

$\Delta x\ =\ (2k - 1) \dfrac{\lambda}{2}\ =\ (k - \dfrac{1}{2}) \lambda $

Logo a alternativa correta é a B.

Altura e área de um triângulo equilátero.

$h = \dfrac{\ell \sqrt{3}}{2}$

$A = \dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$

Inversa de uma matriz 2x2.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$

Exercício: razão entre os comprimentos de onda.

(FUVEST-SP) Considere uma onda de rádio de $2\ MHz$ de frequência, que se propaga em um meio material, homogêneo e isotrópico, com $80\%$ da velocidade com que se propagaria no vácuo. Qual a razão $\lambda_0 / \lambda$ entre os comprimentos de onda no vácuo ($\lambda_0$) e no meio material ($\lambda$)?


Resolução:

A razão $\dfrac{\lambda_0}{\lambda}$, por a onda manter a mesma frequência, tem o mesmo valor da razão entre as velocidades $\dfrac{v_0}{v}$ entre a velocidade no vácuo e a velocidade no meio.

Como sabemos que $v\ =\ 80\%\ \cdot\ v_0$, teremos:

$\dfrac{\lambda_0}{\lambda}\ =\ \dfrac{v_0}{80\%\ \cdot\ v_0}\ =\ 1,25$