Encontrar $x = 145^2 - 143^2$.

$x = (145 + 143)(145 - 143) = 288 \cdot 2 = 576$

De quantas formas podemos expressar $257$ como uma soma de dois números primos?

Observemos que $257$ é ímpar, e todos os números primos, com exceção do $2$, são ímpares; como a soma de dois ímpares é par, uma parcela deve ser o $2$. Assim teríamos

$257 = 2 + 255$

Mas $255$ não é primo, logo não há uma forma sequer de escrever $257$ como a soma de dois primos.

Seja $r \in \mathbb{R}$, demonstrar que $|r| = |-r|$.

Para $r = 0$ a igualdade é imediata.

Seja $r > 0$, $-r$ é negativo, logo $|-r| = -(-r) = r = |r|$.

Seja $r < 0$, $-r$ é positivo, logo $|-r| = -r = |r|$.

Quod Erat Demonstrandum.

Jogo de cartas: funções.

Muitas vezes desejamos apenas relaxar com uma atividade leve, não muito psiquicamente exigente. Pensando nisto criei um joguinho com cartas que nomeei de "funções". Explico.

Primeiramente criamos mentalmente uma função de duas variáveis; à primeira variável atribuímos valores de 1 a 13, de acordo com o número de uma carta retirada, 11 para o caso de valete, 12 para a dama e 13 para o rei; à segunda variável atribuímos os valores de 1 a 4, de acordo com o naipe, 1 se paus, 2 se ouros, 3 se copas e 4 se espadas.

De um deck embaralhado, vamos retirando uma a uma todas as cartas e calculando o valor da função para o par de variáveis.

Exemplo:

Se criarmos a função $f(x, y) = x + y$, $x$ o correspondente ao número e $y$ o correspondente ao naipe, e retirarmos uma dama de copas, a resposta correta à carta é $f(12, 3) = 12 + 3 = 15$.

MR Quiz - Estatísticas - Antonio Vandré Pedrosa Furtunato Gomes

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Dezembro

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Exercício: idades de pai e filho em proporção.

A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como $3$ está para $1$. Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de $24$ anos?

Seja $f$ a idade do filho.

$3f - f = 24\ \Rightarrow\ \fbox{$f = 12$}\ \Rightarrow\ \fbox{$3f = 36$}$

Exercício: tempo de impressão.

Uma impressora laser realiza um serviço em $7$ horas e meia, trabalhando na velocidade de $5000$ páginas por hora. Outra impressora, da mesma marca, mas de modelo diferente, trabalhando na velocidade de $3000$ páginas por hora, em quanto tempo executará o serviço?

A quantidade de páginas impressas pela primeira impressora foi $5000 \cdot 7,5 = 37500$ páginas.

A segunda impressora executará o mesmo serviço em $\dfrac{37500}{3000} = 12,5$ horas, ou $\fbox{$12 \text{ horas e } 30 \text{ minutos}$}$.

Exercício: saldos em dois bancos.

Eduardo possui duas contas bancárias: uma no Banco Alpha e outra no Banco Lótus. O saldo de sua conta no Banco Alpha possui $3$ unidades monetárias a menos do que o seu saldo no Banco Lótus. Além disso, o dobro de seu saldo no Banco Alpha mais o triplo de seu saldo no Banco Lótus é igual a $24$ unidades monetárias. Quais os saldos de Eduardo nos Bancos Alpha e Lótus?

Sejam $a$ o saldo no banco Alpha e $\ell$ o saldo no banco Lótus.

 

$\begin{array}{l c r}a = \ell - 3 & & 2a + 3\ell = 24\end{array}$

$2(\ell - 3) + 3\ell = 24\ \Rightarrow \fbox{$\ell = 6\ \wedge\ a = 3$}$

Exercício: jogo de idades.

Isaura tem o dobro da idade de Juraci, que é um ano mais velha que Benedita. Sabendo que daqui a dois anos a soma das idades de Isaura, Juraci e Benedita será igual a $77$ anos, qual a idade de Benedita daqui a $8$ anos?

Sejam $i$ a idade de Isaura, $j$ a idade de juraci, e $b$ a idade de Benedita.

$\begin{array}{l c c c r}i = 2j & & j = b + 1 & & i + j + b + 6 = 77\end{array}$

$2b + 2 + b + 1 + b = 71\ \Rightarrow\ b + 8 = \fbox{$25$}$

Exercício: razão entre homens e mulheres dadas as médias das idades.

A média aritmética das idades dos candidatos a um concurso público federal é de $36$ anos. Quando separados por sexo, essa média é de $37$ anos para o grupo do sexo masculino e $34$ para o grupo do sexo feminino. Qual a razão entre o número de homens e mulheres?

Sejam $h$ o número de homens, $H$ a soma das idades dos homens, $m$ o número de mulheres, e $M$ a soma das idades das mulheres.

$\begin{array}{l c c c r}\dfrac{H + M}{h + m} = 36 & & \dfrac{H}{h} = 37 & & \dfrac{M}{m} = 34\end{array}$

 

$\dfrac{37h + 34m}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ 34 + \dfrac{3h}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{h + m}{3h}\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{m}{3h}\ \Rightarrow\ \fbox{$\dfrac{h}{m} = 2$}$

Exercício: idade verdadeira dada uma omissão fracionária.

Carlos disse que tinha $28$ anos de idade, entretanto omitiu $\dfrac{1}{5}$ dela. Qual sua idade verdadeira?

 

Resolução:

Se omitiu $\dfrac{1}{5}$, $28$ corresponde a $\dfrac{4}{5}$ de sua idade verdadeira, logo sua idade verdadeira $I$ é tal que

$I = \dfrac{28}{4/5} = \fbox{$35$ anos.}$

Encontre os valores inteiros de $x$ e $y$, que satisfazem a igualdade $(x + 3)(y - 7) = 21$.

Os fatores podem assumir os valores $(-1, -21)$, $(-3, -7)$, $(-7, -3)$, $(-21, -1)$, $(1, 21)$, $(3, 7)$, $(7, 3)$, e $(21, 1)$.

Logo os possíveis valores para $(x, y)$ são

$\{(-4,-14),\ (-6,0),\ (-10,4),\ (-24,6),\ (-2,28),\ (0,14),\ (4,10),\ (18,8)\}$.

Exercício: pintores trabalhando em conjunto.

Um pintor X pinta $40$ paredes em $6$ dias trabalhando $8$ horas por dia. Um pintor Y pinta $30$ paredes do mesmo tipo que o pintor X em $12$ dias trabalhando $4$ horas por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de $5$ horas por dia, eles irão pintar $700$ paredes em quantos dias?

 

Resolução:

Sendo $P$ a quantidade de paredes pintadas, $d$ a quantidade de dias, e $h$ a quantidade de horas trabalhadas por dia, $P = kdh$, onde $k$ é uma constante dependente do pintor.

Para o pintor X: $40 = 48k_X\ \Rightarrow\ k_X = \dfrac{5}{6}$.

Para o pintor Y: $30 = 48k_Y\ \Rightarrow\ k_Y = \dfrac{5}{8}$.

Trabalhando em conjunto:

$700 = 5D(k_X + k_Y) = D \cdot \dfrac{175}{24}\ \Rightarrow\ D = 96$.

Os dois pintarão as $700$ paredes, ao ritmo de $5$ horas por dia, em $\fbox{$96$ dias}$.

Se $x$ é o mínimo múltiplo comum de $60$ e $80$, e $y$ é o máximo divisor comum de $48$ e $56$, qual o valor de $x - y$?

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

 

$80 = 2^4 \cdot 5$

 

$48 = 2^4 \cdot 3$

 

$56 = 2^3 \cdot 7$

 

$x = \text{mmc}(60, 80) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$

 

$y = \text{mdc}(48, 56) = 2^3 = 8$

$x - y = \fbox{$232$}$

Calcular $(\sqrt{50} - 7)^{475} \cdot (\sqrt{50} + 7)^{475}$.

$(\sqrt{50} - 7)^{475} \cdot (\sqrt{50} + 7)^{475} = [(\sqrt{50} - 7)(\sqrt{50} + 7)]^{475} =$

 

$= (50 - 49)^{475} = 1$.

Sejam $x$ um racional e $y$ um irracional, não nulos, mostre que $xy$ é irracional.

Suponhamos que $xy$ seja racional, ou seja $xy = \dfrac{p}{q}\ \Rightarrow\ \dfrac{p'}{q'} \cdot y = \dfrac{p}{q},\ p, q, p', q' \in \mathbb{Z}^*$.

$y = \dfrac{p''}{q''},\ p'' = pq',\ q'' = p'q$ o que é um absurdo pois, por hipótese, $y$ é irracional.

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: reajustando preço de um componente afim de manter preço de custo.

Em uma cantina, o sucesso de venda no verão são os sucos preparados à base de polpa de frutas. Um dos sucos mais vendidos é o de morango com acerola, que é preparado com $2/3$ de polpa de morango e $1/3$ de polpa de acerola.

 

Para o comerciante, as polpas são vendidas em embalagens de igual volume. Atualmente, a embalagem da polpa de morango custa $R\$\ 18,00$ e a de acerola, $R\$\ 14,70$. Porém, está prevista uma alta no preço da embalagem da polpa de acerola no próximo mês, passando a custar $R\$\ 15,30$.

 

Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o fornecedor uma redução no preço da embalagem da polpa de morango.

 

De quanto foi a redução no preço da embalagem da polpa de morango?

Resolução:

Para preparar uma certa quantidade de sucos, serão utilizadas $\dfrac{2}{3}$ da embalagem de morango e $\dfrac{1}{3}$ da embalagem de acerola, logo o preço de custo será $\dfrac{2}{3} \cdot 18 + \dfrac{1}{3} \cdot 14,7 = 16,9$.

 

Este preço de custo deverá se manter para os novos reajustes, logo $16,9 = \dfrac{2}{3} \cdot x + \dfrac{1}{3} \cdot 15,3\ \Rightarrow\ x = 17,7$, sendo $x$ o novo preço da embalagem de morango.

Logo a redução será de $\fbox{$R\$\ 0,30$}$.

Exercício: pondo frações em ordem crescente.

Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{8}$ e $\dfrac{5}{4}$. Por estes valores em ordem crescente.

 

Resolução:

Reescrevendo as três frações com o denominador $8$, teremos $\dfrac{4}{8}$, $\dfrac{3}{8}$ e $\dfrac{10}{8}$. Logo, dispondo em ordem crescente, teremos $\fbox{$\left(\dfrac{3}{8}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{4}\right)$}$.

Exercício: suficiente de partidas para encerrar um jogo.

Em cada partida de um jogo disputado por dois jogadores, há sempre um vencedor, ou seja, não há empates. Cada jogador começa o jogo com $100$ pontos. Quem vence uma partida soma $5$ a seus pontos, e quem perde uma partida subtrai $2$ de seus pontos. O jogo termina quando a soma dos pontos dos dois jogadores passar de $300$. Após o encerramento do jogo, quantas partidas foram realizadas?

 

A cada partida disputada, a soma dos pontos é acrescida de $5 - 2 = 3$ pontos. Como inicialmente a soma é $200$, calculemos após quantas partidas teremos um saldo de $100$ pontos.

$100 = 33 \cdot 3 + 1$

Ou seja, após o encerramento do jogo, $34$ partidas foram realizadas.

Exercício: número de alunos de um professor de educação física.

Um professor de educação física precisou escolher, dentre seus alunos, uma equipe formada por dois meninos e uma menina ou por duas meninas e um menino. Ele observou que poderia fazer essa escolha de $25$ maneiras diferentes. Quantos meninos e meninas são alunos desse professor?

Sejam $m$ o número de meninos e $n$ o número de meninas.

$\displaystyle{m \choose 2} \cdot n + \displaystyle{n \choose 2} \cdot m = 25\ \Rightarrow\ mn(m + n - 2) = 50$

Os divisores positivos de $50$ são $1$, $2$, $5$, $10$ e $25$. Como $50$ é par, um dos fatores é $2$, não pode ser $(m + n - 2)$ pois implicaria $m + n = 4$ cujas combinações não totalizariam $50$, logo, vamos supor que $m = 2$ o que implica $n = 5$.

Logo o total de alunos é $\fbox{$7$}$.