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Se $|z - 5 - 4i| = 2$, os possíveis afixos de $z$ pertencem à circunferência de centro $(5, 4)$ e raio $2$ no plano de Argand-Gauss.
Assim o maior valor de $|z + 7 + i| = r_{max}$ será a maior distância possível do ponto $(-7, -1)$ à tal circunferência:
$r_{max} = 2 + \sqrt{144 + 25} = 2 + 13 = \fbox{$15$}$.
Sejam $z = a + bi$ e $w = c + di$.
$|zw|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 - \cancel{2abcd} + a^2d^2 + b^2c^2 + \cancel{2abcd} =$
$= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (|z||w|)^2$
Como o módulo de um número complexo é um real não negativo, $|zw| = |z||w|$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $a\ =\ \rho(\cos \theta\ +\ i\sin \theta),\ \rho \in \mathbb{R},\ \rho \ge 0,\ \theta \in [0, 2\pi[$,
$\sqrt[n]{a}\ =\ \sqrt[n]{\rho}\left[\cos \left(\dfrac{\theta}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}\right)\ +\ i\sin \left(\dfrac{\theta}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}\right)\right],\ k \in \mathbb{Z}$
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\ =\ \left(\sqrt[n]{\rho}\right)^n \left[\cos \left(\dfrac{n\theta}{n} + \dfrac{2nk\pi}{n}\right)\ +\ i\sin \left(\dfrac{n\theta}{n} + \dfrac{2nk\pi}{n}\right)\right] = a$.
Quod Erat Demonstrandum.
$\langle u, zv\rangle = \overline{\langle zv, u\rangle} = \overline{z\langle v, u\rangle} = \overline{z}\overline{\langle v, u\rangle} = \overline{z}\langle u, v\rangle$
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $u = (a_j + b_j i)_{j=1}^n$ e $v = (a_j´ + b_j´ i)_{j=1}^n$,
$\langle u, v\rangle = \displaystyle\sum_{j=1}^n [(a_j a_j´ - b_j b_j´) - (a_j b_j´ - b_j a_j´)i] =$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^n [(a_j´ a_j - b_j´ b_j) + (a_j´ b_j - b_j´ a_j)i] = \overline{\langle v, u\rangle}$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $p \in \mathbb{R}[x]$ e $\alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$. Mostre que
$\bullet$ $p(\overline{\alpha}) = \overline{p(\alpha)}$;
$\bullet$ $p(\alpha) = 0\ \Leftrightarrow\ p(\overline{\alpha}) = 0$;
$\bullet$ Se $\alpha$ é raiz de $p$, e $p = x^2 + bx + c$, $p = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})$.
Resolução:
Primeira sentença:
$p(\overline{\alpha}) = \displaystyle\sum_{i=0}^n a_i (\overline{\alpha})^i = \displaystyle\sum_{i=0}^n \overline{a_i}(\overline{\alpha})^i = \displaystyle\sum_{i=0}^n \overline{a_i \alpha^i} = \overline{p(\alpha)}$ ${\Large (I)}$
Segunda sentença:
$p(\alpha) = 0\ \Leftrightarrow\ \underset{\text{Por (I).}}{\underbrace{\overline{p(\alpha)} = p(\overline{\alpha})}} = 0$ ${\Large (II)}$
Terceira sentença:
Por D'Alembert, $p$ é divisível por $(x - \alpha)$; por (II), $p$ também é divisível por $(x - \overline{\alpha})$, logo $x^2 + bx + c = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})q(x)$; comparando os termos em $x^2$, $q(x) = 1$.
Quod Erat Demonstrandum.
No universo complexo, a raiz enésima de um número pode assumir $n$ valores distintos, logo, em alguns problemas, é conveniente especificar qual delas se deseja, tendo assim uma função.
Definamos $(\sqrt[n]{z})_j$ como a $(j+1)$-ésima raiz, definida da seguinte forma:
Se $z = \rho[\cos (\theta_0 + 2k\pi) + i\sin (\theta_0 + 2k\pi)]$, $k \in \mathbb{Z}$,
$(\sqrt[n]{z})_j = \sqrt[n]{\rho}[\cos (\dfrac{\theta_0}{n} + \dfrac{2j\pi}{n}) + i\sin (\dfrac{\theta_0}{n} + \dfrac{2j\pi}{n})]$, $j \in \mathbb{Z}$, $0 \le j < n$.
Exemplo:
Encontrar $(\sqrt{4})_1$.
Resolução:
$\sqrt{4} = 2(\cos k\pi + i\sin k\pi)$, $k = 0\ \vee\ k = 1$ $\Rightarrow$ $\underset{k = 0}{\underbrace{\sqrt{4} = 2}}\ \vee\ \underset{k = 1}{\underbrace{\sqrt{4} = -2}}$
Logo $(\sqrt{4})_1 = -2$.
