Determine os extremos absolutos, caso existam, da função $f(t) = t + \cot \left(\dfrac{t}{2}\right)$ no intervalo $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]$.

$1 = \dfrac{2\tan \left(\dfrac{\pi}{8}\right)}{1 - \tan^2 \left(\dfrac{\pi}{8}\right)}\ \Rightarrow\ \tan \left(\dfrac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} - 1\ \wedge\ \tan \left(\dfrac{7\pi}{8}\right) = 1 - \sqrt{2}$

$f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1}$

$f\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) = \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2}}$

$f'(t) = 1 - \dfrac{1}{2} \cdot \csc^2 \left(\dfrac{t}{2}\right)$

$\mathbb{U} = \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]\ \wedge\ f'(t) = 0\ \Rightarrow\ t = \dfrac{\pi}{2}\ \vee\ t = \dfrac{3\pi}{2}$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 1$

$f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{3\pi}{2} - 1$

$\dfrac{3\pi}{2} - 1 > \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} > \dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{2}} > \dfrac{\pi}{2} + 1$

Logo os pontos de extremos absolutos são $t = \dfrac{3\pi}{2} - 1$ e $t = \dfrac{\pi}{2} + 1$.

$\displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx$.

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$

$I\ =\ \displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx = \displaystyle\int (\tan x)(\sec x)(\sec^2 x - 1)^3(\sec^4 x)\ dx$

Seja $u = \sec x$, $du = (\tan x)(\sec x) dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int (u^2 - 1)^3 \cdot u^4\ du\ =\ \dfrac{u^{11}}{11} - \dfrac{u^9}{3} + \dfrac{3u^7}{7} - \dfrac{u^5}{5} + c$

$\fbox{$\displaystyle\int (\tan^7 x)(\sec^5 x)\ dx\ =\ \dfrac{\sec^{11} x}{11} - \dfrac{\sec^9 x}{3} + \dfrac{3\sec^7 x}{7} - \dfrac{\sec^5 x}{5} + c$}$

Exercício: modelos distintos de um brinquedo caminhão-cegonha.

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

 

 

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo de brinquedo.

 

Com base nessas informações, quantos são os modelos distindos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

Resolução:

Se ao menos um carrinho com todas as cores são necessários, fixemos os quatro primeiros carrinhos, cada um com uma cor distinta, tendo os demais quaisquer combinações.

Assim, teremos ao total, pelo principío fundamental da contagem, $\fbox{$4^6$}$ modelos distintos.

Sejam $x$ um racional e $y$ um irracional, não nulos, mostre que $xy$ é irracional.

Suponhamos que $xy$ seja racional, ou seja $xy = \dfrac{p}{q}\ \Rightarrow\ \dfrac{p'}{q'} \cdot y = \dfrac{p}{q},\ p, q, p', q' \in \mathbb{Z}^*$.

$y = \dfrac{p''}{q''},\ p'' = pq',\ q'' = p'q$ o que é um absurdo pois, por hipótese, $y$ é irracional.

Quod Erat Demonstrandum.