Calculadora: produtório.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do produtório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.

Exemplo:

Input: "n; 1; 5".
Output: "120".

Input: "cos(n) + 1; 1; 4".
Output: aproximadamente "0.003".

(pode travar o sistema)

Produtório:

Calculadora: somatório.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão do somatório, deve ser em função de "n"; segundo: um número natural como índice inferior; terceiro: um número inteiro como índice superior. Quanto maior a diferença entre o índice inferior e o superior, mas lentamente o resultado será obtido, além de exigir mais computação.

Exemplos:

Input: "n; 1; 5".
Output: "15".

Input: "cos(n * pi) / fatorial(n); 0; 4".
Output: aproximadamente "0.37".

(pode travar o sistema)

Somatório:

Meme: quando o código funciona de primeira.

Calculadora: integral definida, aproximação por soma de Riemann.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o valor da integral, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: o número de elementos da partição que será utilizada no cálculo, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Exemplos:

Input: "x; 0; 5; 2".
Output: "12.5".

Input: "x + log10(x*x + 2); -pi; 2.7; 8".
Output: aproximadamente "2.37".

(pode travar o sistema)

Integral definida, aproximação por soma de Riemann:

Demonstração: $\cosh (a + b) = (\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b)$.

$(\cosh a)(\cosh b) + (\sinh a)(\sinh b) =$

$= \dfrac{(e^a + e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^a - e^{-a})(e^b - e^{-b})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} + \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} - \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} + e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} + 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} + e^{-(a + b)}}{2} = \cosh (a + b)$

Demonstração: $\sinh (a + b) = (\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a)$.

$(\sinh a)(\cosh b) + (\sinh b)(\cosh a) =$

$= \dfrac{(e^a - e^{-a})(e^b + e^{-b}) + (e^b - e^{-b})(e^a + e^{-a})}{4} =$

$= \dfrac{e^{(a + b)} + \cancel{e^{(a - b)}} - \bcancel{e^{(b - a)}} - e^{-(a + b)} + e^{(a + b)} + \bcancel{e^{(b - a)}} - \cancel{e^{(a - b)}} - e^{-(a + b)}}{4} =$

$= \dfrac{2e^{(a + b)} - 2e^{-(a + b)}}{4} = \dfrac{e^{(a + b)} - e^{-(a + b)}}{2} = \sinh (a + b)$

Demonstração: $\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1$.

$\cosh (x) = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\sinh (x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = \dfrac{\cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} + \cancel{e^{-2x}} - \cancel{e^{2x}} + 2\dfrac{e^x}{e^x} - \cancel{e^{-2x}}}{4} =$

$= \dfrac{4}{4} = 1$

Meme: vai lá, matricula-te em 7 cadeiras...

Meme: conte-me mais sobre como terminou a faculdade honestamente...

Comprimento do gráfico de uma função polinomial.

Seja o polinômio $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$, de domínio real.

Vamos encontrar o comprimento do seu gráfico no intervalo $[a, b]$. Para tal, do Cálculo, temos a fórmula, que nos dá o comprimento de uma função $f$ diferenciável, e de derivada contínua, qualquer, no intervalo $[a, b]$:

$L(\lambda)\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$

Assim:

$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (d\dfrac{\sum_{i=0}^n a_i x^i}{dx})^2}\ dx$

$\fbox{$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1)a_{i+1} x^i)^2}\ dx$}$

Exemplo:

Seja $P(x) = x^2$ e o intervalo $[0, x_0]$:

$L\ =\ \int_0^{x_0} \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx$

Seja $x = \dfrac{\tan \theta}{2},\ \theta \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$, $dx\ =\ \dfrac{\sec^2 x}{2}\ d\theta$.

$L\ =\ \int_0^{\arctan 2x_0} \dfrac{\sec^3 \theta}{2}\ d\theta\ =$

$= (\dfrac{\ln |\sec \theta + \tan \theta| + (\sec \theta)(\tan \theta)}{4})\mid_0^{\arctan 2x_0}$

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{1 + 4x_0^2} + 2x_0| + 2x_0\sqrt{1 + 4x_0^2}}{4}$

Seja, por exemplo, $x_0 = 2$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{17} + 4| + 4\sqrt{17}}{4} \approx 4,6468$

Agora, por exemplo, $x_0 = 3$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{37} + 6| + 6\sqrt{37}}{4} \approx 9,7471$

Abaixo, em uma tabela, mais pares de valores de $x_0$ e $L$ aproximado para $P(x) = x^2$:

Seja agora, como outro exemplo, $P(x) = x^2 - x$ e o intervalo $[0, x_0]$:

Com um pouco de trabalho ou utilizando uma calculadora ou software, pode-se chegar a:

$L = \dfrac{8x_0^3\sqrt{u} + 4x_0^2 \ln |2x_0 - 1 + \sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{12x_0^2\sqrt{u} - 4x_0 \ln |2x_0 - 1 +\sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} +$

$+ \dfrac{8x_0\sqrt{u} + 2 \ln |2x_0 - 1| + \sqrt{u} - 2\sqrt{u}}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{\ln (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}}{4}$

Com $u = 4x_0^2 - 4x_0 + 2$.

Construindo a tabela com auxílio de um software:

Meme: gosta mais de mim ou da Matemática?

Volume da esfera.

Para tal fim, vamos utilizar, do Cálculo, o método dos discos.

Consideremos a função $y = f(x) = \sqrt{r^2 - x^2},\ r > 0$.

Girando seu gráfico em torno do eixo $x$, teremos uma esfera de raio $r$.

Seu volume será calculado pela fórmula:

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r [f(x)]^2\ dx$

$V\ =\ \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\ dx\ =\ \pi (r^2 x - \dfrac{x^3}{3})\mid_{-r}^r\ =$

$=\ \pi(r^3 - \dfrac{r^3}{3} + r^3 - \dfrac{r^3}{3})\ =\ \fbox{$\dfrac{4\pi r^3}{3}$}$

Integral da secante.

Sendo $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$, podemos escrever:

$\int \sec x\ dx\ =\ \int \sec x \dfrac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\ dx$

Seja $u = \sec x + \tan x$,
$du\ =\ \sec^2 x + (\sec x)(\tan x)\ dx\ = \sec x (\sec x + \tan x)\ dx$.

Logo $\int \sec x\ dx\ =\ \int \dfrac{du}{u}\ =\ |u| + C$.

Assim:

$\fbox{$\int \sec x\ dx =\ |\sec x + \tan x| + C$}$

Meme: de acordo com os meus cálculos, isto não vai dar certo...

Meme: gato calculando salto.

Meme: doutor, ela me pediu um tempo e espaço; acho que quer calcular a velocidade.

Meme: amor gravitacional.

Meme: motivo para continuar estudando.

Meme: nesse carnaval eu também vou puxar meu bloco.

Meme: eficiência dos métodos anticoncepcionais.

Demonstração: todo polinômio de grau ímpar tem ao menos uma raiz.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{C}$, pelo teorema fundamental da Álgebra, a demonstração é imediata.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{R}$, observemos que a função cuja lei de formação é o polinômio é uma função contínua. Seja $f$ tal função:

$f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$.

$n = 2k - 1,\ k \in \mathbb{N}$.

Temos 2 casos a considerar:

(I) $a_n > 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = -\infty$

(II) $a_n < 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = +\infty$

Em ambos os casos, pelo TVI, existe ao menos um $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$.

Meme: calculadora, prepare-se, vou lhe usar.

Demonstração: $p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)$.

Vamos utilizar o método da indução finita.

Para $n = 1$, de imediato $p \wedge q_1\ \Leftrightarrow\ p \wedge q_1$.

Para $n = 2$, $p \wedge (q_1 \vee q_2)\ \Leftrightarrow\ (p \wedge q_1) \vee (p \wedge q_2)$.

Supondo a sentença verdadeira para $n$, vamos mostrar que vale para $n + 1$.

$p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)$

$p \wedge [(\bigvee_{i=1}^n q_i) \vee q_{n+1}]\ \Leftrightarrow\ [p \wedge (\bigvee_{i=1}^n q_i)] \vee (p \wedge q_{n+1})\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ [\bigvee_{i=1}^n (p \wedge q_i)] \vee (p \wedge q_{n+1})\ \Leftrightarrow\ \bigvee_{i=1}^{n+1} (p \wedge q_i)$

Volume do parabolóide de revolução.

Consideremos a função $f(x) = \sqrt{x}$, cujo gráfico é um trecho de parábola.

Rotacionando seu gráfico ao redor do eixo $x$ teremos um parabolóide de revolução.

Vamos calcular seu volume.

O método mais cabível à situação é o dos discos, que diz que o volume do sólido de revolução gerado pela rotação do gráfico de uma função qualquer não negativa em torno do eixo $x$, no intervalo $[a, b]$, é dado pela fórmula:

$V\ =\ \pi\int_a^b [f(x)]^2\ dx$

Procedendo, desejando conhecer o volume até uma certa altura $h$:

$V\ =\ \pi\int_0^h x\ dx\ =\ \dfrac{\pi x^2}{2}\mid_0^h\ =\ \dfrac{\pi h^2}{2}$

Generalizando o resultado para um parabolóide qualquer, partindo-se da função $g(x) = \sqrt{\alpha x}$, chega-se à fórmula:

$\fbox{$V = \dfrac{\pi \alpha h^2}{2}$}$

Demonstração: existência de um valor que satisfaz a proposição.

Mostre que existe ao menos um $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que $x_0 + 2\sin(x_0) = 1$.

Resolução:

Consideremos a função $f(x) = x + 2\sin(x) - 1$, observemos que ela é contínua; o que queremos provar é que $f$ tem ao menos uma raiz, ou seja, que existe um $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$.

Observemos que $f(0) = -1 < 0$ e que $f(\dfrac{\pi}{2}) = \dfrac{\pi}{2} + 1 > 0$, logo, pelo TVI (teorema do valor intermediário), existe um $x_0 \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$ tal que $f(x_0) = 0$.

Demonstração: $f(x)$ contínua e racional é constante.

Suponha que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua e $f(x) \in \mathbb{Q}$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Prove que $f(x)$ é constante para todo $x \in \mathbb{R}$.

Resolução:

Suponhamos que $f(x)$ não seja constante, ou seja, existem $a$ e $b$ reais tais que $f(a) \neq f(b)$. Sem perda de generalidade suponhamos que $f(a) < f(b)$.

Sendo $f$ contínua, existe um real $c$ tal que $f(a) < f(c) < f(b)$ e $f(c) \in \mathbb{Q'}$, o que é um absurdo, pois, por hipótese, $f(x) \in \mathbb{Q},\ \forall x \in \mathbb{R}$, logo $f$ é constante.

Meme: Deus criando a Física.

Exercício: esboce o gráfico de $f(x) = x - \lfloor x \rfloor$.

$g(x) = \lfloor x \rfloor$ é chamada de "função piso", retorna o maior inteiro menor que o real $x$.

$x$ pode ser escrito como $a + b$, onde $a = \lfloor x \rfloor$ e $b$, um número real não negativo tal que $0 \le b < 1$.

Definamos $h(x) = b$.

$f(x) = a + b - a = h(x)$

Estejamos atentos ao detalhe de que, quando $x$ for negativo, digamos, por exemplo, $-2,5$, $\lfloor -2,5 \rfloor = -3$, e $-2,5 = -3 + 0,5$.

Exercício: mostre que existe pelo menos um $b > 0$ tal que $\log (b) = e^{-b}$.

Observemos que, para $b = 1$, $\log (b) < e^{-b}$.

Observemos também que $\lim_{b \rightarrow +\infty} \log (b) = +\infty$ e $\lim_{b \rightarrow +\infty} e^{-b} = 0$.

Assim, como são funções contínuas, haverá ao menos uma intersecção entre seus gráficos; ou seja, $\log(b) = e^{-b}$ para algum $b$.

Demonstração: função contínua.

Suponha que $f$ é contínua em $[0, 2]$ com $f(1) = -3$ e $f(x) \neq 0$ para todo $x \in [0, 2]$. Prove que $f(x) < 0$ para todo $x \in [0, 2]$.

Resolução:

Suponhamos que exista um $x_0 \in [0, 1[$ tal que $f(x_0) > 0$; pelo teorema do valor intermediário, existe um $c$ tal que $c \in [x_0, 1[$ onde $f(c) = 0$ o que contradiz a hipótese de que $f(x) \neq 0,\ \forall x \in [0, 1[$.

Agindo de forma análoga tomando $x_0 \in ]1, 2]$, concluímos, por absurdo, que $f(x) < 0,\ \forall x \in [0, 2]$.

Meme: casa comigo.

Exercício: encontrar limite.

Encontre $\lim_{t \rightarrow -2} \dfrac{\sqrt{3t^2 - 8} + t}{2t + 4}$.

Resolução:

$\dfrac{\sqrt{3t^2 - 8} + t}{2t + 4} = \dfrac{\sqrt{3t^2 - 8} + t}{2t + 4} \cdot \dfrac{\sqrt{3t^2 - 8} - t}{\sqrt{3t^2 - 8} - t} =$

$= \dfrac{2t^2 - 8}{(2t + 4)(\sqrt{3t^2 - 8} - t)} = \dfrac{(2t - 4)(t + 2)}{2(t + 2)(\sqrt{3t^2 - 8} - t)} =$

$= \dfrac{2t - 4}{2(\sqrt{3t^2 - 8} - t)}$

Logo $\lim_{t \rightarrow -2} \dfrac{\sqrt{3t^2 - 8} + t}{2t + 4} = \lim_{t \rightarrow -2} \dfrac{t - 2}{\sqrt{3t^2 - 8} - t} =\ \fbox{$-1$}$

Volume do toro.

O toro é o sólido gerado pela rotação de uma circunferência em torno de um eixo coplanar exterior a ela.

Tomemos uma secção transversal do toro, uma circunferência $\lambda$ de raio $r$, digamos que o raio do toro, a distância do centro da circunferência transversal ao eixo de rotação, seja $R$, $R > r > 0$.

Sem perda de generalidade, consideremos o toro com $\lambda$ no plano $xOy$ com centro em $(R, 0)$ e o eixo de rotação $y$.

$\lambda:\ y = \sqrt{r^2 - (x - R)^2}\ \vee\ y = -\sqrt{r^2 - (x - R)^2}$

Pelo método das cascas cilíndricas:

$V\ =\ 4\pi \int_{R-r}^{R+r} x\sqrt{r^2 - (x - R)^2}\ dx\ =\ 4\pi r \int_{R-r}^{R+r} x\sqrt{1 - (\dfrac{x - R}{r})^2}\ dx$

Seja $\dfrac{x - R}{r} = \sin \theta$, $\theta \in [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$, $x = r\sin \theta + R$, $dx\ =\ r\cos \theta\ d\theta$.

$V = 4\pi r^3 \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\cos^2 \theta)(\sin \theta)\ d\theta\ +\ 4\pi rR \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos^2 \theta\ d\theta$

Seja $u = \cos \theta$, $du = -\sin \theta\ d\theta$.

$V\ =\ -4\pi r^3 \int_0^0 u^2\ du\ +\ 4\pi r^2R \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \dfrac{\cos (2\theta) + 1}{2}\ d\theta\ =$

$= 2\pi r^2 R [(\dfrac{\sin 2\theta}{2})|_{-\pi / 2}^{\pi / 2} + \theta|_{-\pi / 2}^{\pi / 2}] =$

$= 2\pi r^2 R \cdot \pi$

$\fbox{$V = 2\pi^2 Rr^2$}$

Encontrando $\pi$ como uma série de potências.

Consideremos a função $f(x) = \arctan x$:

$f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$

$f'(x)$ é uma série conhecida: $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$, que converge para $|x| < 1$.

Integrando $f'(x)$ afim de obter uma série para $f(x)$:

$f(x)\ =\ \int \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\ dx\ =\ [\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{x^{2n + 1}}{2n + 1}]\ +\ c$

Como $f(0) = 0$, temos que $c = 0$.

Tomemos agora um valor para $x$ respeitando a limitação de $|x| < 1$ e de tal modo que conheçamos $f(x)$, por exemplo $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ e $f(x) = \dfrac{\pi}{6}$:

$\dfrac{\pi}{6} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n + 1} (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2n + 1}$

$\fbox{$\pi = \sum_{n=0}^\infty 6 \cdot \dfrac{(-1)^n}{2n + 1} (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2n + 1}$}$

Exercício: representação de uma função em série.

Encontre a representação em série e o intervalo de convergência de $f(x) = \dfrac{1}{(1 + x)^3}$.

Resolução:

Primeiramente vamos obter uma expressão da série geométrica, com a qual sabemos trabalhar; para isto, vamos integrar $f(x)$ duas vezes:

$\int \int \dfrac{1}{(1 + x)^3}\ dx\ dx\ =\ \int (-\dfrac{1}{2(1 + x)^2} + c_1)\ dx\ =$

$=\ \dfrac{1}{2(1 + x)} + c_1x + c_2\ =\ \dfrac{1}{2}[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n]\ +\ c_1x +\ c_2$, $|x| < 1$

Como houveram duas integrações, vamos derivar duas vezes afim de obter uma expressão para $f(x)$:

$f'(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n n x^{n-1} + c_1$

$f(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=2}^\infty (-1)^n n(n - 1) x^{n-2}$

Fazendo uma reindexação:

$\fbox{$\dfrac{1}{(1 + x)^3} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n (n + 2)(n + 1) x^{n}}{2}$, $-1 < x < 1$}$