Calculadora: distância de um ponto a uma função.

Entre com uma string com os argumentos separados por barra vertical "|", primeiro a função em "x", segundo o ponto onde a abscissa é separada da ordenada por ponto e vírgula ";", terceiro o intervalo de pesquisa com limites separados por ponto e vírgula ";", e quarto um inteiro positivo como a resolução da varredura:

Exemplos:

Input: "0 | 1; 1 | -2; 2 | 5". Output: aproximadamente "1".
Input: "x | 2*cos(3*pi/4); 2*sen(3*pi/4) | -3; 1 | 10". Output: aproximadamente "2".

(pode travar o sistema)

Distância do ponto à função (aproximada):

Meme: Usando calculadora.

 

Cosseno da soma de arcos.

$\cos (a + b) = (\cos a)(\cos b) - (\sin a)(\sin b)$

No primeiro quadrante, tomemos $a = m(D\hat{A}B)$ e $b = m(B\hat{A}C)$.

$m(\overline{AH}) = \dfrac{\cos (a + b)}{\cos a}$

$m(\overline{HG}) = (\cos b) - m(\overline{AH}) = (\cos b) - \dfrac{\cos (a + b)}{\cos a}$

$(\sin a)(\sin b) = (\cos a)(\cos b) - \cos (a + b)$

Se, como um caso particular, $a$ está no segundo quadrante, podemos fazer a redução ao primeiro quadrante:

$\cos (a + b) = \cos (\pi - a´ + b) = [(\cos (\pi - a´)](\cos b) - [(\sin (\pi - a´)](\sin b) =$

$= - (\cos a´)(\cos b) - (\sin a´)(\sin b) = (\cos a)(\cos b) - (\sin a)(\sin b)$.

Analogamente, para $a$ ou $b$ em quaisquer dos quadrantes, verificando também quando $a$ ou $b$ pertencem aos eixos, teremos que a fórmula é válida para todos os valores.

Quod Erat Demonstrandum.

Pensamento: O matemático amadurece com problemas...

 

Meme: Pensando como resolver aquele problema de Matemática.

 

Sejam $u$ e $v$ vetores do $\mathbb{C}^n$ e $z$ um complexo, $\langle u, zv\rangle = \overline{z}\langle u, v\rangle$.

$\langle u, zv\rangle = \overline{\langle zv, u\rangle} = \overline{z\langle v, u\rangle} = \overline{z}\overline{\langle v, u\rangle} = \overline{z}\langle u, v\rangle$

Quod Erat Demonstrandum.

Em um circuito elétrico, em uma associação em paralelo, a resistência equivalente é menor que qualquer uma da associação.

Consideremos apenas um resistor ou uma resistência equivalente $R_o$:

$\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{R_o}$.

Adicionemos outro resistor:

$\dfrac{1}{R_{eq}´} = \dfrac{1}{R_o} + \dfrac{1}{R_o´}$.

$\dfrac{1}{R_o} < \dfrac{1}{R_o} + \dfrac{1}{R_o´}\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{R_{eq}} < \dfrac{1}{R_{eq}´}\ \Rightarrow\ R_{eq} > R_{eq}´\ \Rightarrow\ R_o > R_{eq}´$ (I)

Alternando a ordem de acréscimo na associação:

$R_o´ > R_{eq}´$ (II)

(I) e (II) são suficientes para a conclusão.

Quod Erat Demonstrandum.

Mostre que a projeção $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n-1}$ dada por $F(x_1, ..., x_n) \mapsto (x_1, ..., x_{n-1})$, $n > 1$ é uma aplicação linear.

Sejam $u = (u_1, ..., u_n)$, $v = (v_1, ..., v_n)$ e um escalar $k$,

$\bullet\ F(u + v) = F(u_1 + v_1, ..., u_n + v_n) = (u_1 + v_1, ..., u_{n-1} + v_{n-1}) =$

 

$= (u_1, ..., u_{n-1}) + (v_1, ..., v_{n-1}) = F(u) + F(v)$;

$\bullet\ F(ku) = (ku_1, ..., ku_{n-1}) = k(u_1, ..., u_{n-1}) = kF(u)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Sejam $u$ e $v$ vetores do $\mathbb{C}^n$, $\langle u, v\rangle = \overline{\langle v, u\rangle}$.

Seja $u = (a_j + b_j i)_{j=1}^n$ e $v = (a_j´ + b_j´ i)_{j=1}^n$,

$\langle u, v\rangle = \displaystyle\sum_{j=1}^n [(a_j a_j´ - b_j b_j´) - (a_j b_j´ - b_j a_j´)i] =$

$= \displaystyle\sum_{j=1}^n [(a_j´ a_j - b_j´ b_j) + (a_j´ b_j - b_j´ a_j)i] = \overline{\langle v, u\rangle}$.

Quod Erat Demonstrandum.

Pensamento: Mais que ciência, algo para amar e dar vida...

 

Seja $F: V \rightarrow W$ uma transformação linear de um espaço vetorial $V$ em outro $W$, se $w_1, ..., w_n$ são vetores linearmente independentes de $W$ tais que $F(v_i) = w_i,\ i = 1, ..., n$, $v_i,\ i = 1, ..., n$ elementos de $V$, mostrar que $v_1, ..., v_n$ são linearmente independentes.

Sejam $x_1, ..., x_n$ escalares, $x_1w_1 + ... + x_nw_n = O\ \Leftrightarrow\ x_i = 0,\ i = 1, ..., n$.

$x_1F(v_1) + ... + x_nF(v_n) = O\ \Leftrightarrow\ x_i = 0,\ i = 1, ..., n$.

$F(x_1v_1) + ... + F(x_nv_n) = O\ \Leftrightarrow\ x_i = 0,\ i = 1, ..., n$.

$F(x_1v_1 + ... + x_nv_n) = O\ \Leftrightarrow\ x_i = 0,\ i = 1, ..., n$.

$x_1v_1 + ... + x_nv_n = O\ \Leftrightarrow\ x_i = 0,\ i = 1, ..., n$.

Quod Erat Demonstrandum.

Meme: Quod Erat Demonstrandum 3.

 

Desigualdade de Minkowski ou Desigualdade Triangular.

Sejam $u$ e $v$ vetores do $\mathbb{R}^n$, $||u + v|| \le ||u|| + ||v||$.

Como $||u + v||$ e $(||u|| + ||v||)$ são não negativos, basta mostrar que $||u + v||^2 \le (||u|| + ||v||)^2$.

$||u + v||^2 = \langle u, u\rangle + \langle v, v\rangle + 2\langle u, v\rangle$

$(||u|| + ||v||)^2 = \langle u, u\rangle + \langle v, v\rangle + 2||u||||v||$

Pela Desigualdade de Cauchy-Schwarz, $\langle u, v\rangle \le ||u||||v||$.

Quod Erat Demonstrandum.

Fórmula de Bhaskara.

Seja a equação $ax^2 + bx + c = 0$, com $a \neq 0$.

$x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{a} = 0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x = \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4a^2c}}{2a} - \dfrac{b}{2a}$

$\fbox{$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$}$

Sejam $A$, $B$ e $C$ pontos distintos do $\mathbb{R}^n$, se $B - A$ e $C - A$ são linearmente independentes, mostrar que $A$, $B$ e $C$ não são colineares.

Sejam $A$, $B$ e $C$ pontos distintos do $\mathbb{R}^n$, se $B - A$ e $C - A$ são linearmente independentes, mostrar que $A$, $B$ e $C$ não são colineares.

$a(B - A) + b(C - A) = O\ \Leftrightarrow\ a = b = 0$, $a$ e $b$ escalares.

Transladando o sistema de modo a $A$ coincidir com $O$:

$aB + bC = A\ \Leftrightarrow\ a = b = 0$

Logo tomando um escalar $k$ de modo que $a = \dfrac{1}{k}$ com $k \neq 0$ e $k \neq 1$, e $b = 0$:

$\dfrac{B}{k} \neq A\ \Rightarrow B \neq kA$    (I)

Procedendo de modo análogo para com $C$, com $k´ \neq 0$ e $k´ \neq 1$:

$\dfrac{C}{k´} \neq A\ \Rightarrow C \neq k´ A$    (II)

Tomando agora $a = 1$ e $b = \dfrac{-1}{k"}$, com $k" \neq 0$:

$C \neq k" (B - A)$    (III)

Por (I), (II) e (III), $A$, $B$ e $C$ não são colineares.

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício. Conjunto convexo.

Seja uma aplicação linear $L: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$. Seja $S$ o conjunto de todos os elementos $s$ de $\mathbb{R}^n$ tais que $L(s) \ge 0$. Mostrar que $S$ é convexo.

Basta mostrar que $L (tA + (1 - t)B) \ge 0$, com $A$ e $B$ pertencentes a $S$, e $t$ real com $0 \le t \le 1$.

$L(A) \ge 0\ \wedge\ L(B) \ge 0\ \Rightarrow\ tL(A) \ge 0\ \wedge\ (1-t)L(B) \ge 0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ tL(A) + (1 - t)L(B) \ge 0\ \Rightarrow\ L(tA + (1 - t)B) \ge 0$.

Quod Erat Demonstrandum.

Imagem de um quadrado por uma aplicação linear.

Seja $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ uma transformação linear. Seja $F(E_1) = (1, 1)$ e $F(E_2) = (-1, 2)$. Mostrar que a imagem, por $F$, do quadrado de vértices $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ e $(0, 1)$ é um paralelogramo.

$F(0, 0) = (0, 0)$    (I)

$F(1, 0) = (1, 1)$    (II)

$F(1, 1) = F(E_1 + E_2) = F(E_1) + F(E_2) = (1, 1) + (-1, 2) = (0, 3)$    (III)

$F(0, 1) = (-1, 2)$    (IV)

Por (I) e (II): $\dfrac{1 - 0}{1 - 0} = 1$.

Por (III) e (IV): $\dfrac{2 - 3}{-1 - 0} = 1$.

Por (I) e (IV): $\dfrac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$.

Por (II) e (III): $\dfrac{3 - 1}{0 - 1} = -2$.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $V$ um espaço vetorial sobre $K$, e $F: V \rightarrow W$ uma aplicação linear. Seja $U$ o subconjunto de $V$ dos elementos $u$ tais que $F(u) = O$. Mostrar que $U$ é espaço vetorial.

Seja $V$ um espaço vetorial sobre $K$, e $F: V \rightarrow W$ uma aplicação linear. Seja $U$ o subconjunto de $V$ dos elementos $u$ tais que $F(u) = O$. Mostrar que $U$ é espaço vetorial.

Basta mostrar que $U$ é subespaço de $V$. Para tanto basta mostrar que:

$\bullet$ $O$ pertence a $U$. De fato, se $F$ é linear, $F(O) = O$.

$\bullet$ Seja $k$ um escalar e $u$ um elemento de $U$, $F(ku) = kF(u) = kO = O$.

$\bullet$ Sejam $u$ e $u´$ elementos de $U$, $F(u + u´) = F(u) + F(u´) = O$.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{R}$, e sejam $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ e $g: V \rightarrow \mathbb{R}$ duas aplicações lineares. Mostre que $F: V \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $F(v) \mapsto (f(v), g(v))$ é linear.

Seja um espaço vetorial $V$ sobre $\mathbb{R}$, e sejam $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ e $g: V \rightarrow \mathbb{R}$ duas aplicações lineares. Mostre que $F: V \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $F(v) \mapsto (f(v), g(v))$ é linear.

Seja um escalar $k$. $F(kv) = F(f(kv), g(kv)) = (kf(v), kg(v)) = k(f(v), g(v)) = kF(v)$.

Sejam $v$ e $v´$ elementos de $V$.

$ F(v + v´) = (f(v + v´), g(v + v´)) = (f(v) + f(v´), g(v) + g(v´)) =$

 

$= (f(v), g(v)) + (f(v´), g(v´)) = F(v) + F(v´)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Aplicação linear. $T(O)$.

Seja uma aplicação linear $T: V \rightarrow W$ de um espaço vetorial num outro. Mostrar que $T(O) = O$.

Resolução:

Seja um elemento $v$ de $V$:

$T(O) = T(v - v) = T(v) - T(v) = O$.

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: composição de aplicações.

Sejam $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ definida por $F(t) \mapsto (t, t^2)$, e $G: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por$G(x, y) \mapsto xy$ duas aplicações. Encontre $(G \circ F)(z)$.

Resolução:

$(G \circ F)(z) = G(z, z^2) = z \cdot z^2 = z^3$.

Aplicação. Imagem de uma circunferência.

Seja a aplicação $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ dada por $F(x, y) \mapsto (2x, 3y)$. Encontre a imagem, por $F$, da circunferência $\lambda,\ x^2 + y^2 = 1$.

Sejam $u = 2x$ e $v = 3y$, $x = \dfrac{u}{2}$ e $y = \dfrac{v}{3}$.

$\left(\dfrac{u}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{v}{3}\right)^2 = 1\ \Rightarrow\ \dfrac{u^2}{4} + \dfrac{v^2}{9} = 1$

Logo a imagem, por $F$,  da circunferência $\lambda$ é a elipse $\xi,\ \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Desigualdade de Schwarz. Demonstração alternativa.

Sejam $u$ e $v$ vetores do $\mathbb{R}^n$.

$\langle u, v\rangle \le ||u|| ||v||$.

Demonstraremos outra afirmação:

Sejam $u = (u_i)_1^n$ e $v = (v_i)_1^n$,

$\langle u, v\rangle \le \displaystyle\sum_{i=1}^n |u_i v_i| \le ||u|| ||v||$. (I)

Se $u = O$ ou $v = O$, a demonstração é imediata. Se não, tomemos $||u|| ||v|| \neq 0$.

$\langle u, v\rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i v_i \le \left|\displaystyle\sum_{i=1}^n u_i v_i\right| \le \displaystyle\sum_{i=1}^n |u_i v_i|$. (II)

Sejam $x$ e $y$ números reais, $0 \le (x - y)^2\ \Rightarrow\ 2xy \le x^2 + y^2$.

Tomando $x = \dfrac{|u_i|}{||u||}$ e $y = \dfrac{|v_i|}{||v||}$:

$2\dfrac{|u_i v_i|}{||u|| ||v||} \le \dfrac{|u_i|^2}{||u||^2} + \dfrac{|v_i|^2}{||v||^2}\ \Rightarrow 2\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{|u_i v_i|}{||u|| ||v||} \le \displaystyle\sum_{i=1}^n \left(\dfrac{u_i^2}{||u||^2} + \dfrac{v_i^2}{||v||^2}\right) =$

$= \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{u_i^2}{||u||^2} + \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{v_i^2}{||v||^2} = \dfrac{||u||^2}{||u||^2} + \dfrac{||v||^2}{||v||^2} = 2\ \Rightarrow\ \displaystyle\sum_{i=1}^n |u_i v_i| \le ||u|| ||v||$. (III)

Por (II) e (III) obtermos (I).

Quod Erat Demonstrandum.

Meme: Já estudou hoje?

 

Meme: Obrigado por escalonar a matriz.

 

Meme: Cadê os números?