Observemos que a função $y = \arctan x$ "condensa" todos os reais no intervalo $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, ou seja, reduz o "tamanho" mantendo uma bijeção.
Chamam-se coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré o par $(x_{cc}, y_{cc})$ tal que $(x_{cc}, y_{cc}) = (0, 0)$ se e somente se $x = 0$ e $y = 0$ ou
$\begin{cases}x_{cc} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\\ y_{cc} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\end{cases}$.
Seguindo o caminho inverso:
$\begin{cases}x = \dfrac{x_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\\ y = \dfrac{y_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\end{cases}$.
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