Qual o valor de $n$ que torna a sequência $(2 + 3n,\ 5n,\ 1 - 4n)$ uma progressão aritmética?

$10n = 2 + 3n + 1 - 4n\ \Rightarrow \fbox{$n = \dfrac{3}{11}$}$

Exercício: distribuição de postes em uma estrada segundo uma progressão aritmética.

(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a $80$ metros dela, o segundo, a $100$ metros, o terceiro, a $120$ metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de $20$ metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de $1\ 380$ metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R\$ $8\ 000$ por poste colocado, qual o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes?

$1380 = 80 + (n - 1) \cdot 20\ \Rightarrow\ n = 66\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \fbox{A despesa máxima poderá ser de R\$ $528\ 000$.}$

Exercício: passagens vendidas em progressão aritmética.

Enem) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas $33\ 000$ passagens; em fevereiro, $34\ 500$; em março, $36\ 000$. Esse padrão de crescimento manteve-se para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

$a_7 = 33000 + 6 \cdot 1500 = \fbox{$42\ 000$ passagens}$

Exercício: total faturado com faturas em PA.

Uma empresa faturou R\$ $150\ 000$ no primeiro ano, R\$ $148\ 000$ no segundo ano, R\$ $146\ 000$ no terceiro ano, e assim sucessivamente. Durante a primeira década de existência dessa empresa, quanto ela faturou no total?

$a_{10} = 150000 + 9 \cdot (-2000) = 132000$

$S_{10} = \dfrac{(150000 + 132000) \cdot 10}{2} = \fbox{R\$ $1\ 410\ 000$}$

Exercício: quantidade de Olimpíadas em um intervalo de tempo.

No ano de $2020$, infelizmente, as Olimpíadas foram adiadas devido à pandemia de COVID-19. Sabendo que as Olimpíadas ocorrem de $4$ em $4$ anos e supondo que, em $2021$, tenhamos esse evento, e que, até $2100$, ele não passe por um novo adiamento, qual será a quantidade de Olimpíadas que terão acontecido nesse intervalo?

$2097 = 2021 + (n - 1) \cdot 4\ \Rightarrow\ \fbox{$n = 20$}$

Exercício: preparação para uma maratona em progressão aritmética.

Um atleta de alta performance tem se preparado para a disputa da Maratona do Rio, que possui atualmente um percurso de $42$ km. Para isso, ele começou percorrendo $14$ km no primeiro dia, e, a cada dia, ele acrescentou $5$ km em relação ao dia anterior. A distância total percorrida por esse atleta durante uma semana de treino é de:

$a_{7} = 14 + 6 \cdot 5 = 44$ km

$S_{7} = \dfrac{(14 + 44)7}{2} = \fbox{$203$ km}$

Exercício: número de seguidores em PA.

Cris decidiu ser uma influenciadora digital, e, para isso, ela criou uma conta nas redes sociais. Realizando a divulgação para os seus amigos mais próximos, logo no primeiro dia, ela conseguiu o marco de $40$ seguidores. Após esse marco, no segundo dia, ela conseguiu mais $14$ seguidores, no terceiro dia também, e assim sucessivamente durante toda a primeira semana. Se esse comportamento for mantido, ou seja, se ela conseguir $14$ seguidores por dia, qual será a quantidade de seguidores ao final de $30$ dias?

$a_{30} = 40 + 29 \cdot 14 = \fbox{$446$ seguidores}$

Exercício: crescimento de uma planta em PA.

A altura de uma planta, em centímetros, ao decorrer dos dias, foi anotada e organizada conforme a tabela seguinte:

$\def\arraystretch{1.2}$${\small \begin{array}{|c c c c c c c c c c|}\hline \text{Tempo (dias)} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ \hline \text{Altura (cm)} & 3,0 & 5,5 & 8,0 & 10,5 & 13,0 & 15,5 & 18,0 & 20,5 & 23,0\\ \hline\end{array}}$

Se esse comportamento de crescimento for mantido, após quantos dias essa planta terá a altura de $65,5$ cm?

$65,5 = 3 + (n - 1) \cdot 2,5\ \Rightarrow \fbox{$n = 26$ dias}$

Exercício: lucros em progressão aritmética.

Os ganhos de uma empresa, ao decorrer do ano, foram de R\$ $800\ 000$ no primeiro mês, e, a cada mês, houve um aumento de R\$ $15\ 000$ em relação ao mês anterior. Caso essa tendência seja mantida durante todos os meses, qual será o lucro mensal dessa empresa em dezembro?

$a_{12} = 800000 + 11 \cdot 15000 = \fbox{R\$ $965\ 000$}$

Resolver a equação $\log_3 x + \log_3 x^4 + \log_3 x^7 + \dots + \log_3 x^{25} = 234$.

Observemos que o primeiro membro é uma PA. Para sabermos o número de termos, resolvamos a equação:

$25 = 1 + (n - 1) \cdot 3\ \Rightarrow\ n = 9$.

Calculemos agora a soma dos termos de tal PA:

$\dfrac{(\log_3 x + 25\log_3 x) \cdot 9}{2} = 117\log_3 x$.

Logo $\log_3 x = 2\ \Rightarrow\ \fbox{$S = \{9\}$}$.

Soma dos termos de uma PA finita.

Observemos que os termos equidistantes dos extremos de uma PA finita tem soma constante:

$a_1 + a_n = a_{1 + p} + a_{n - p},\ p \in \mathbb{N},\ p < n$.

$2S_n = \displaystyle\sum_{i=0}^{n - 1} \left(a_{1 + i} + a_{n - i}\right) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n - 1} \left(a_1 + a_n\right) = n\left(a_1 + a_n\right)$

Logo, $\fbox{$S_n = \dfrac{\left(a_1 + a_n\right)n}{2}$}$.

Calculadora: termos de uma PA.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";" com, primeiro: um termo e sua posição, segundo: outro termo com sua posição, terceiro: o intervalo de termos a exibir. Termo e posição separados por vírgula ",", intervalo de termos a exibir separado por vírgula ",".

Exemplo:

Input: "5, 1; 10, 2; 1, 3". Output: "5, 10, 15".




PA:

Mostre que a soma dos $n$ primeiros inteiros positivos é $\dfrac{n^2 + n}{2}$.

Mostre que a soma dos $n$ primeiros inteiros positivos é $\dfrac{n^2 + n}{2}$.

Para $n = 1$, $\dfrac{1^2 + 1}{2} = 1$.

Vamos supor que a identidade seja verdadeira para $p$:

$S_p = \dfrac{p^2 + p}{2}$

$S_p + (p + 1) = \dfrac{p^2 + p}{2} + (p + 1)$

$S_{p + 1} = \dfrac{p^2 + p + 2p + 2}{2} = \dfrac{p^2 + 2p  + 1 + p + 1}{2} = \dfrac{(p + 1)^2 + (p + 1)}{2}$

Donde concluímos que a identidade é válida para $p + 1$. Logo, por indução finita, é válida para todo $n$.

C.Q.D.