Encontrar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow -4} \dfrac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + 3x - 4}$.

$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow -4} \dfrac{\cancel{(x + 4)}(x + 1)}{\cancel{(x + 4)}(x - 1)} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow -4} \dfrac{x + 1}{x - 1} = \fbox{$\dfrac{3}{5}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $\log_3 x + \log_9 x = 1$.

$\log_3 x + \dfrac{\log_3 x}{2} = 1\ \Rightarrow\ \log_3 x = \dfrac{2}{3}\ \Rightarrow\ x = \sqrt[3]{9}$

 

$\fbox{$S = \left\{\sqrt[3]{9}\right\}$}$

Exercício: gráfico de uma função composta.

Sejam $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = \dfrac{5^x}{2}$ e $g(x) = \log_{10} x$, construir o gráfico de $g \circ f$.

 

$(g \circ f)(x) = \log_{10} \dfrac{5^x}{2} = \dfrac{\log_5 5^x}{\log_5 10} - \log_{10} 2 = \dfrac{x}{\log_5 10} - \log_{10} 2$

 

Basta construir a reta que contém os pontos $\left(0, - \log_{10} 2\right)$ e $\left(1, \log_{10} \dfrac{5}{2}\right)$.

Observemos que $Im_f \subset D_g$.

 

 

Meme: "Não funciona. Por quê?... Funciona. Por quê?...".

 

Calculadora: ponto simétrico.

Entre com, separados por barra vertical "|", o ponto do qual se deseja conhecer o simétrico, e o ponto de referência. Abscissas separadas das ordenadas por ponto e vírgula ";".

Exemplos:

Input: "2; 3 | 1; 1"". Output: "0, -1".

Input: "5; 4; -2 | 0; 0; 0". Output: "-5, -4, 2".




Ponto simétrico:

Calculadora: notação científica.

Entre com um número real:




Notação científica:

Encontrar $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x}$.

$L = \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}} \cdot \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sec x = \fbox{$1$}$

Exercício: redução percentual por unidade de tempo.

O volume de um líquido volátil diminui $20 \%$ por hora. Após um tempo $t$, seu volume se reduz à metade. Qual o valor de $t$?

 

$\dfrac{1}{2} = (0,8)^t\ \Rightarrow\ t = -\log_{\frac{4}{5}} 2 = \fbox{$\dfrac{-1}{2 - \log_2 5}$ horas}$

Encontrar $I = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}$.

$I = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 5x} \cdot \dfrac{15x}{15x} = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{3x} \cdot \dfrac{5x}{\sin 5x} \cdot \dfrac{3x}{5x} =$

$= \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 3x}{3x}} \cdot \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{5x}{\sin 5x}}\ \cdot \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3x}{5x} = \fbox{$\dfrac{3}{5}$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $\left(\log_x 2\right)\left(\log_{\frac{x}{16}} 2\right) = \log_{\frac{x}{64}} 2$.

$\dfrac{1}{\left(\log_2 x\right)\left(\log_2 \dfrac{x}{16}\right)} = \dfrac{1}{\log_2 \dfrac{x}{64}}\ \Rightarrow\ \left(\log_2 x\right)\left[\left(\log_2 x\right) - 4\right] = \left(\log_2 x\right) - 6\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \log_2 x = 2\ \vee\ \log_2 x = 3\ \Rightarrow\ x = 4\ \vee\ x = 8$

$\fbox{$S = \{4,\ 8\}$}$

Calcular $L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$.

$L = \displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} x + 3 = \fbox{$5$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $\dfrac{1}{\log_x 8} + \dfrac{1}{\log_{2x} 8} + \dfrac{1}{\log_{4x} 8} = 2$.

$\log_8 x + \log_8 2x + \log_8 4x = 2\ \Rightarrow\ \log_8 8x^3 = 2\ \Rightarrow\ x = 2$

$\fbox{$S = \{2\}$}$

Meme: o segredo da paz é não ter bugs para resolver.

 

Calculadora: conversão entre moedas.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", primeiro, a quantia; segundo, o código ISO de qual moeda converter; e, terceiro, o código ISO da moeda da qual se deseja conhecer a conversão.

Exemplo: entre com "1; USD; BRL".




Conversão:


Conversão rápida entre moedas populares:

Resolver em $\mathbb{R}$: $\log_{10} (x + 1) + \log_{10} (x + 3) = \log_{10} 3$.

$\log_{10} (x^2 + 4x + 3) = \log_{10} 3\ \Rightarrow\ x^2 + 4x = 0\ \Rightarrow\ \underset{\text{Não serve.}}{\underbrace{x = -4}}\ \vee\ x = 0$

$\fbox{$S = \{0\}$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \sec(x)\csc(x)\ dx$.

$I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{2}{\sin(2x)}\ dx$

 

Seja $u = 2x$, $du = 2dx$.

 

$I\ =\ \displaystyle\int \csc(u)\ du\ =\ -\log |\cot(u) + \csc(u)| + c = \fbox{$-\log |\cot(2x) + \csc(2x)| + c$}$

Meme: programadores e Matemáticos.

 

Calculadora: gráfico de linhas.

Entre com, separados por barra vertical "|" três argumentos, o primeiro: separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ","; o segundo uma string separadas em três partes por ponto e vírgula ";", cada parte um número inteiro entre "0" e "255", inclusive, o primeiro para a tonalidade vermelho, o segundo para a tonalidade verde, e o terceiro para a tonalidade azul.

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5 | 128; 255; 128".

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{4x}{\sqrt{x^2 + 1}}\ dx$.

Seja $u = x^2 + 1$, $du = 2x\ dx$.

 

$I\ =\ 2\displaystyle\int_1^4 \dfrac{du}{\sqrt{u}} = 4\left.\sqrt{u}\right|_1^4 = \fbox{$4$}$

Exercícios: combos de uma lanchonete.

Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher $4$ tipos diferentes de sanduíches, $3$ tipos de bebida e $2$ tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?

 

$4 \cdot 3 \cdot 2 = \fbox{$24$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \sin^2\left(\dfrac{x}{4}\right) \cos\left(\dfrac{x}{4}\right)\ dx$.

Seja $u = \sin\left(\dfrac{x}{4}\right)$, $du\ =\ \dfrac{\cos\left(\dfrac{x}{4}\right)}{4}\ dx$.

 

$I\ =\ 4\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}/2} u^2\ du\ = \fbox{$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \sin^2 \left(1 + \dfrac{\theta}{2}\right)\ d\theta$.

$I\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \cos^2 \left(\dfrac{\pi}{2} - 1 - \dfrac{\theta}{2}\right)\ d\theta\ =\ \displaystyle\int_0^\pi \dfrac{\cos (\pi - 2 - \theta) + 1}{2}\ d\theta$

 

Seja $u = \pi - 2 - \theta$, $du = -d\theta$.

 

$I\ =\ \displaystyle\int_{-2}^{\pi - 2} \dfrac{1 + \cos u}{2}\ du\ =\ \left.\dfrac{u}{2}\right|_{-2}^{\pi - 2} + \left.\dfrac{\sin(u)}{2}\right|_{-2}^{\pi - 2} =$

 

$= \dfrac{\pi - 2}{2} + 1 + \dfrac{\sin(\pi - 2)}{2} + \dfrac{\sin 2}{2} = \fbox{$\dfrac{\pi}{2} + \sin 2$}$

Exercício: pódio em um campeonato de xadrez.

Em uma competição de xadrez existem $8$ jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?

 

$8 \cdot 7 \cdot 6 = \fbox{$336$ formas}$

Calculadora: gráfico de radar.

Entre com, separados por barra vertical "|" dois argumentos, o primeiro: separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ","; o segundo: uma string separadas em três partes por ponto e vírgula ";", cada parte um número inteiro entre "0" e "255", inclusive, o primeiro para a tonalidade vermelho, o segundo para a tonalidade verde, e o terceiro para a tonalidade azul.

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5 | 128; 255; 128".

Log:

Calculadora: gráfico de barras.

Entre com, separados por barra vertical "|" três argumentos, o primeiro: separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ","; o segundo "v" para gráfico de barras verticais, ou "h" para gráfico de barras horizontais; o terceiro: uma string separadas em três partes por ponto e vírgula ";", cada parte um número inteiro entre "0" e "255", inclusive, o primeiro para a tonalidade vermelho, o segundo para a tonalidade verde, e o terceiro para a tonalidade azul.

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5 | v | 128; 255; 128".

Log:

Calculadora: gráfico de pizza.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os itens do gráfico; cada item é composto de, primeiro: uma string label, e, segundo, um número real para sua quantidade; label e quantidade separadas por vírgula ",".

Exemplo:

Entre com: "Brasil, 20; Canadá, 40; EUA, 5".

Log:

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_4^9 2x\sqrt{x}\ dx$.

$I = \left.\dfrac{4}{5}\sqrt{x^5}\right|_4^9 = \dfrac{972}{5} - \dfrac{128}{5} = \fbox{$\dfrac{844}{5}$}$

Exercício: escalando um time de vôlei.

Um técnico de um time de voleibol possui à sua disposição $15$ jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de $6$ jogadores?

 

$A_{15, 6} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = \fbox{$3603600$ maneiras}$

Cada um com sua posição designada.

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{3x + 1}}$.

Seja $u = 3x + 1$, $du = 3dx$.

 

$I = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_1^4 \dfrac{du}{\sqrt{u}} = \dfrac{1}{3} \cdot \left.2\sqrt{u}\right|_1^4 = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2} \left(x + \dfrac{2}{\sin^2 x}\right)\ dx$.

$I = \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_{\pi/6}^{\pi/2} - 2\left.\cot x\right|_{\pi/6}^{\pi/2} = \fbox{$\dfrac{\pi^2}{9} + 2\sqrt{3}$}$

Calcular a integral definida $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 \dfrac{y^2}{\sqrt{4 - 3y}}\ dy$.

Seja $4 - 3y = x$, $y = \dfrac{4 - x}{3}$ e $dx = -3dy$.

 

$I\ =\ -\dfrac{1}{27}\displaystyle\int_4^1 \dfrac{16 - 8x + x^2}{\sqrt{x}}\ dx\ =\ -\dfrac{1}{27}\left.\left(32\sqrt{x} - \dfrac{16}{3}\sqrt{x^3} + \dfrac{2}{5}\sqrt{x^5}\right)\right|_4^1 =$

 

$=\ -\dfrac{32 - 64 - \dfrac{16}{3} + \dfrac{128}{3} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{64}{5}}{27} = \fbox{$\dfrac{106}{405}$}$

Quantas senhas com $4$ algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ e $9$?

$9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = \fbox{$3024$}$

Ponto Futuro de Antonio Vandré.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções diferenciáveis em $(a, b)$ tais que $[a, b] \subset D_f$ e $[a, b] \subset D_g$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é aquele em que, duas partículas, deslocando-se sob os gráficos de $f$ e $g$, cada uma com sua velocidade, encontram-se.

Sejam $v_f$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $f$, $v_g$ a velocidade da partícula sob o gráfico de $g$, $x_o \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $f$ e ${x_o}_g \in [a, b]$ a abscissa de partida da partícula em $g$:

Os pontos futuros de Antonio Vandré $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right),\ x_{pfa} \in [a, b]$, se existirem, serão dados pelas soluções $\left(x_{pfa}, f(x_{pfa})\right)$ de:

$\fbox{$v_g\displaystyle\int_{{x_o}_f}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\ =\ v_f\displaystyle\int_{{x_o}_g}^{x_{pfa}} \sqrt{1 + \left[g'(x)\right]^2}\ dx\ \wedge\ f(x_{pfa}) = g(x_{pfa})$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = x$, $g(x) = 1$, $v_f = \sqrt{2}$, $v_g = 1$, ${x_o}_f = 0$ e ${x_o}_g = 0$:

$\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} \sqrt{2}\ dx = \sqrt{2}\displaystyle\int_0^{x_{pfa}} dx\ \Rightarrow\ \sqrt{2}x_{pfa} = \sqrt{2}x_{pfa}\ \Rightarrow\ x_{pfa} \in \mathbb{R}$.

Como $x = 1$ é a única solução de $f(x) = g(x)$, o Ponto Futuro de Antonio Vandré é $(1, 1)$.

Calcular a integral definida $I = \displaystyle\int_0^e \dfrac{dx}{x + e}$.

Seja $u = x + e$, $du = dx$.

 

$I = \displaystyle\int_e^{2e} \dfrac{du}{u} = \left.\log |u|\right|_e^{2e} = \log 2e - \log e = \fbox{$\log 2$}$

Resolver a equação exponencial $2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} = \dfrac{15}{2}$.

$15 \cdot 2^x = \dfrac{15}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$x = -1$}$

Calculadora: superfície de revolução gerada por gráfico em coordenadas polares.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das funções, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser funções em "teta"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: "x" para rotacionar em torno do eixo $Ox$, ou "y" para rotacionar em torno do eixo $Oy$; quinto: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log:

Calcular $I = \displaystyle\int \dfrac{9r^2\ dr}{\sqrt{1 - r^3}}$.

Seja $u = 1 - r^3,\ du\ =\ -3r^2\ dr$.

 

$I\ =\ -3\displaystyle\int \dfrac{du}{\sqrt{u}} = -6\sqrt{u} + c = \fbox{$-6\sqrt{1 - r^3} + c$}$

Determinar o valor de $x$ de modo que a expressão $2 \cdot 2^x = \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{2}$ seja verdadeira.

$2^{x + 1} = 2^{\frac{3}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}}\ \Rightarrow\ 2^{x + 1} = 2^{\frac{6 + 3 + 2}{12}}\ \Rightarrow\ 2^{x + 1} = 2^{\frac{11}{12}}\ \Rightarrow\ \fbox{$x = -\dfrac{1}{12}$}$

Calcular $f(x) = \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + t^2}\ dt$.

Pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), $\fbox{$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$}$.

Resolver em $\mathbb{R}$: $\dfrac{25^x + 125}{6} = 5^{x + 1}$.

Seja $y = 5^x$:

$y^2 - 30y + 125 = 0\ \Rightarrow\ y = 5\ \vee\ y = 25\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 1\ \vee\ x = 2$}$.

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^1 (1 - 2x)^3\ dx$.

Seja $u = 1 - 2x,\ du = -2dx$.

$I\ =\ -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^{-1} u^3\ du\ =\ -\dfrac{1}{2} \cdot \left.\dfrac{u^4}{4}\right|_1^{-1} = -\dfrac{1}{2}\left(\cancel{\dfrac{1}{4}} - \cancel{\dfrac{1}{4}}\right) = \fbox{$0$}$

Resolver em $\mathbb{R}$: $2^{x - 3} + 2^{x - 1} + 2^x = 52$.

Multiplicando ambos os membros da equação por $8$:

$2^x + 4 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^x = 416\ \Rightarrow\ 2^x = 32\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 5$}$.

Se $\log_a b = 3$ e $\log_{ab} c = 4$, quanto é $\log_a c$?

$\log_{ab} c = 4 = \dfrac{\log_a c}{\log_a ab} = \dfrac{\log_a c}{\log_a a + \log_a b} = \dfrac{\log_a c}{1 + 3}\ \Rightarrow\ \fbox{$\log_a c = 16$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int x^2 \sec(x^3)\ dx$.

Seja $u = x^3,\ du = 3x^2\ dx$.

$I\ =\ \dfrac{1}{3}\displaystyle\int \sec{u}\ du\ =\ \dfrac{\log |\sec u + \tan u|}{3} + c = \fbox{$\log \left|\sqrt[3]{\sec(x^3) + \tan(x^3)}\right| + c$}$

Sabendo que $\log_3 (7x - 1) = 3$ e que $\log_2 (y^3 + 3) = 7$, qual o valor de $\log_y (x^2 + 9)$?

$x = 4$ e $y = 5$, logo $\fbox{$\log_y (x^2 + 9) = 2$}$.

Qual o valor de $n$ que torna a sequência $(2 + 3n,\ 5n,\ 1 - 4n)$ uma progressão aritmética?

$10n = 2 + 3n + 1 - 4n\ \Rightarrow \fbox{$n = \dfrac{3}{11}$}$

Exercício: distribuição de postes em uma estrada segundo uma progressão aritmética.

(Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a $80$ metros dela, o segundo, a $100$ metros, o terceiro, a $120$ metros, e assim sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de $20$ metros entre os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de $1\ 380$ metros da praça.

Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R\$ $8\ 000$ por poste colocado, qual o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes?

$1380 = 80 + (n - 1) \cdot 20\ \Rightarrow\ n = 66\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \fbox{A despesa máxima poderá ser de R\$ $528\ 000$.}$

Calculadora: superfície ou região de revolução por gráfico de uma curva ou região por uma relação.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das relações, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser relações em $x$ e $y$; segundo: um número real como valor inferior para $x$; terceiro: um número real como valor superior para $x$; quarto: um número real como valor inferior para $y$; quinto: um número real como valor superior para $y$; sexto: "x" para rotação com relação ao eixo $Ox$, ou "y" para rotação com relação ao eixo $Oy$; sétimo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log: