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Seja um ponto $P(x, y)$ pertencente a um dos quadrantes ou o ponto $O(0, 0)$, sobre o gráfico da função $f(x) = ax^3$; o par $(a, d)$, em que $d$ é a distância de $O$ a $P$ sobre o gráfico de $f$ é chamado coordenadas cúbica de Antonio Vandré de $P$.
$d\ =\ \displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + 9a^2 k^4}\ dk$
Exemplo:
Quando dizemos que $f(x) = g(y)$, $f$ e $g$ são funções, ou seja, podem retornar um único valor. Devido a isto, a relação de igualdade é transitiva, ou seja, $a = b\ \wedge\ b = c\ \Rightarrow\ a = c$.
A propriedade transitiva não pode se manter se $f$ ou $g$ não são funções. Logo devemos utilizar uma outra relação para dizer que uma expressão pode retornar um valor ou outro, a expressão relacionada a estes valores. Tal relação é a "igualdade conjunta de Antonio Vandré", "$\avigual$".
Se $R$ pode ser tanto $a$ quanto $b$, escrevemos $R \avigual a$ ou $R \avigual b$.
Em particular, $R = a\ \Rightarrow\ R \avigual a$.
Seja o plano cartesiano. Seja um observador localizado em $(0, 0)$. Seja $V$ a velocidade de transmissão das informações no plano. Seja $P$ um ponto sobre o gráfico de $f$, uma função diferenciável em $x$, que se desloca a uma velocidade $v(t)$ sobre o gráfico de $f$. $t$ é o tempo.
Seja $(x_r, y_r)$ a posição real de $P$ quando este é observado em $(x_P, y_P)$.
$\begin{cases}x_r \avigual \intsup_{x_P}^{{\scriptsize \displaystyle\int_0^{\dfrac{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}{V}} v(t)\ dt}} \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}\ dx\\ \\ y_r = f(x_r)\end{cases}$
Seja $f$ uma função descontínua em um conjunto finito de pontos. Sejam $a$ e $b$ elementos de seu domínio.
$\intsup_a^S f(x)\ dx\ \avigual\ b\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$
$\intinf_S^b f(x)\ dx\ \avigual\ a\ \Leftrightarrow\ S = \displaystyle\int_a^b f(x)\ dx$
Observemos que os limites não são únicos, por exemplo $\intsup_{\pi/2}^0 \sin x\ dx$ pode ser $\dfrac{3\pi}{2}$ ou $\dfrac{7\pi}{2}$, razão de não ser utilizada a igualdade "$=$", mas a igualdade conjunta de Antonio Vandré $\{=\}$.
Observemos que a função $y = \arctan x$ "condensa" todos os reais no intervalo $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, ou seja, reduz o "tamanho" mantendo uma bijeção.
Chamam-se coordenadas condensadas circulares de Antonio Vandré o par $(x_{cc}, y_{cc})$ tal que $(x_{cc}, y_{cc}) = (0, 0)$ se e somente se $x = 0$ e $y = 0$ ou
$\begin{cases}x_{cc} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\\ y_{cc} = \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{2\arctan \sqrt{x^2 + y^2}}{\pi}\end{cases}$.
Seguindo o caminho inverso:
$\begin{cases}x = \dfrac{x_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\\ y = \dfrac{y_{cc}}{\sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}} \cdot \tan \dfrac{\pi \sqrt{x_{cc}^2 + y_{cc}^2}}{2}\end{cases}$.
Observemos que a função $y = \arctan x$ "condensa" todos os reais no intervalo $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, ou seja, reduz o "tamanho" mantendo uma bijeção.
Chamam-se coordenadas condensadas retangulares de Antonio Vandré o par $(x_c, y_c)$ tal que
$\begin{cases}x_c = \dfrac{2\arctan x}{\pi}\\ y_c = \dfrac{2\arctan y}{\pi}\end{cases}$.
Seguindo o caminho inverso:
$\begin{cases}x = \tan \dfrac{\pi x_c}{2}\\ y = \tan \dfrac{\pi y_c}{2}\end{cases}$.
Seja uma função diferenciável $f(x)$ em um intervalo, o ponto reflexo de Antonio Vandré é o ponto imagem de um ponto $P = (x_P, y_P)$, $P'$, resultante da reflexão de $P$ na curva $y = f(x)$ em um ponto $x_r$ no intervalo.
$P'$ será o simétrico de $P$ com relação à reta perpendicular a $y = f(x)$ em $x_r$, ou seja:
${\small P' = \left(2 \cdot \dfrac{f'(x_r)[f(x_r) - y_P] + x_r + [f'(x_r)]^2 x_P}{[f'(x_r)]^2 + 1} - x_P, 2 \cdot \dfrac{y_P + f'(x_r)x_r - f'(x_r)x_P + f(x_r)[f'(x_r)]^2}{[f'(x_r)]^2 + 1} - y_P\right)}$.
Seja a elipse $\dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$ e um ponto $(x_P, y_P)$ do plano cartesiano.
Chamam-se coordenadas elipticas de Antonio Vandré o par $(\theta_e, \rho_e)$ em que $\theta_e$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa), do ponto $(a, 0)$ ao ponto $(x_e, y_e)$ pertencente à elipse, intersecção da reta que passa por $(0, 0)$ e $(x_P, y_P)$, ao longo da elipse, ou seja,
${\tiny \theta_e\ =\ \displaystyle\int_0^{\theta_P} \sqrt{\left\{\dfrac{a(\cos u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}} + \dfrac{a\sin u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}}\right\}^2 + \left\{\dfrac{2\cos u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}} - \dfrac{a(\sin u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}}\right\}^2}\ du}$,
com $\sin \theta_P = \dfrac{y_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$ e $\cos \theta_P = \dfrac{x_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$, e $\rho_e = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}$.
Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, $|x| \ge 1$, tais que $y = b\sqrt{x^2 - 1},\ b \neq 0$.
Chamam-se coordenadas hipérbolicas de Antonio Vandré o par $(b, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $x < -1$), do ponto $(x, y)$ ao ponto $\left(\dfrac{x}{|x|}, 0\right)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_{x/|x|}^x \sqrt{1 + \dfrac{b^2 u^2}{u^2 - 1}}\ du$.
Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, do primeiro ou quarto quadrantes ou o ponto $(1, 0)$, tais que $y = \log_a x,\ a > 0\ \wedge\ a \neq 1$.
Chamam-se coordenadas logarítmicas de Antonio Vandré o par $(a, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $x < 1$), do ponto $(x, y)$ ao ponto $(1, 0)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_1^x \sqrt{1 + \dfrac{1}{u^2 \log^2 a}}\ du$.
Seja um ponto de coordenadas cartesianas $(x, y)$, do primeiro ou segundo quadrantes ou o ponto $(0, 1)$, tais que $y = a^x,\ a > 0\ \wedge\ a \neq 1$.
Chamam-se coordenadas exponenciais de Antonio Vandré o par $(a, d)$ em que $d$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa caso $(x, y)$ esteja no segundo quadrante), do ponto $(x, y)$ ao ponto $(0, 1)$, ou seja, $d\ =\ \displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + a^{2u} \log^2 a}\ du$.
No plano cartesiano, as coordenadas de distância de Antonio Vandré para os pontos $P$, $Q$ e $R$ é o conjunto ordenado das distâncias deles ao ponto $(x, y)$.
Chamam-se as coordenadas canônicas de distância de Antonio Vandré as coordenadas de distância de Antonio Vandré quando $P \equiv (0, 0)$, $Q \equiv (1,0)$ e $R \equiv (0, 1)$.
No semiplano $y \ge 0$, coordenadas 2P de distância de Antonio Vandré $(d_0, d_1)$ são definidas como as distâncias de um ponto $(x, y)$ aos pontos $(0, 0)$ e $(1, 0)$ respectivamente.
$\begin{cases}d_0 = \sqrt{x^2 + y^2}\\ d_1 = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}\end{cases}$
$\begin{cases}x = \dfrac{d_0^2 - d_1^2 + 1}{2}\\ y = \dfrac{\sqrt{-d_0^4 + (2d_1^2 + 2)d_0^2 - d_1^4 + 2d_1^2 - 1}}{2}\end{cases},\ -d_0^4 + (2d_1^2 + 2)d_0^2 - d_1^4 + 2d_1^2 - 1 \ge 0$
