Numa PG, o quarto termo é $20\%$ do terceiro termo. Sabendo que $a_1 = 2000$, qual o valor de $a_5$?

A razão é $0,2$.

$a_5 = 2000 \cdot 0,2^4 = 2000 \cdot 0,0016 = \fbox{$\dfrac{16}{5}$}$

Exercício: determinando uma variável para que uma sequência seja uma PG.

Determine os valores de $x$, em radianos, de modo que $\dfrac{\sin x}{2}$, $\sin x$ e $\tan x$ formem uma PG.

 

$\sin^2 x = \dfrac{\sin^2 x}{2\cos x}\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ \cos x = \dfrac{1}{2}$

$\fbox{$x = k\pi\ \vee\ x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\ \vee\ x = \dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$}$.

Exercício: soma de somas de termos de PGs.

Calcule o valor da soma:

 

$S = \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots\right) + \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \dots\right) + \left(\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9^2} + \dfrac{1}{9^3} + \dots\right) + $

$+ \dots + \left(\dfrac{1}{2^n + 1} + \dfrac{1}{(2^n + 1)^2} + \dfrac{1}{(2^n + 1)^3} + \dots\right) + \dots$.

Resolução:

$S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots + \dfrac{1}{2^n} + \dots = \fbox{$1$}$.

Três lados de um triângulo retângulo estão em PG. Qual a razão?

Seja $a$ o menor lado e $q$ a razão:

$\cancel{a^2} q^4 = \cancel{a^2} q^2 + \cancel{a^2}\ \Rightarrow\ q^4 - q^2 - 1 = 0$.

Como $q$ deve ser real e positivo, $\fbox{$q = \sqrt{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}}$}$.

Determinar o $8^{\text{0}}$ termo da progressão geométrica $(2, 6, 18, 54, \dots)$.

$a_8 = 2 \cdot 3^{8 - 1} = \fbox{$4374$}$

A sequência $\left(\dfrac{\sqrt{2} + 1}{2}, a, \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}\right)$ é uma PG. Qual o valor de $a$?

Resolução:

$a = \pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{2} + 1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}} = \pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \fbox{$\pm\dfrac{1}{2}$}$

Resolver a equação $x + \dfrac{2x}{3} + \dfrac{4x}{9} + \dots = 18$.

$x\underbrace{\left[\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^i\right]}_{(1 - 2/3)^{-1}} = 18\ \Rightarrow\ 3x = 18$

$S = \{6\}$

Soma dos termos de uma PG infinita convergente.

De $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$, com $|q| < 1$:

$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n = \fbox{$\dfrac{a_1}{1 - q}$}$.

Soma dos termos de uma PG finita.

$S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$

Se $q = 1$, $S_n = na_1$. Se não:

$qS_n = \left(\displaystyle\sum_{i=2}^n a_i\right) + qa_n$

$qS_n - S_n = \cancelto{a_1 q^n}{qa_n} - a_1$

$\fbox{$S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$}$.

Calculadora: termos de uma PG.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";" com, primeiro: um termo e sua posição, segundo: outro termo com sua posição, terceiro: o intervalo de termos a exibir. Termo e posição separados por vírgula ",", termos não nulos, intervalo de termos a exibir separado por vírgula ",".

Exemplo:

Input: "5, 1; 10, 2; 1, 3". Output: aproximadamente "5, 10, 20".




PG: