Meme: brinquedo Matemática.

Calculadora: Velocidade Funcional de Antonio Vandré.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda parte um número real para a velocidade de deslocamento sob o eixo Ox, a terceira a abscissa do ponto no qual se deseja conhecer a velocidade:

Exemplo:

Input: "x; 1; 1". Output: aproximadamente "sqrt(2)".




Velocidade Funcional de Antonio Vandré:

Velocidade Funcional de Antonio Vandré, $\mathcal{VF_{A}}[f(x), v] (x)$.

Seja $f$ uma função contínua e diferenciável em um intervalo $]a, b[$, a velocidade do ponto $(x, f(x))$, $x \in ]a, b[$, ao longo do seu gráfico na qual a velocidade de $x$, $x \in ]a, b[$, ao longo do eixo $Ox$ é dada $v$, é chamada Velocidade Funcional de Antonio Vandré.

$\dfrac{dC}{dt} = \dfrac{dC}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}\ \Rightarrow\ \fbox{$\mathcal{VF_{A}}[f(x), v] (x) = v\sqrt{1 + [f'(x)]^2}$}$.

Exemplo: $\mathcal{VF_{A}}[\tan x, 1] (x)$:

Sabendo que $y(0) = 0$, resolver a equação diferencial $y' = y + 1$, $y$ função de $x$, $y$ no universo das funções reais.

Se $y(b) = -1$, consideremos $x \neq b$. Assim podemos fazer:

$\dfrac{y'}{y + 1} = 1$

$\displaystyle\int_a^x \dfrac{y'}{y + 1} dx = \displaystyle\int_a^x dx$

$\left.\left(\log |y + 1|\right)\right|_a^x = x - a$

$\log |y(x) + 1| - \log |y(a) + 1| = x - a$

$\log \left|\dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}\right| = x - a$

$e^{x - a} = \dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}$

$y(x) + 1 = e^{x - a}(y(a) + 1)$

$y(x) = e^{x - a}(y(a) + 1) - 1$

$\fbox{$y(x) = e^x - 1$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^{2\pi} cos^3 x\ dx$.

 $I\ =\ \cancelto{0}{\left.[(\sin x)(\cos^2 x)]\right|_0^{2\pi}} + \cancelto{0}{2\displaystyle\int_0^{2\pi} (\sin^2 x)(\cos x)\ dx} = \fbox{$0$}$

Integral da cotangente.

Seja $u = \sin x$, $du\ =\ \cos x\ dx$.

$\displaystyle\int \cot x\ dx = \displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin x}\ dx\ = \displaystyle\int \dfrac{du}{u} = \fbox{$\log |\sin x| + c$}$

Integral da tangente.

Seja $u = \cos x$, $du\ =\ -\sin x\ dx$.

$\displaystyle\int \tan x\ dx = \displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos x}\ dx\ =\ -\displaystyle\int \dfrac{du}{u}\ = \fbox{$-\log |\cos x| + c$}$

Trigonometria: transformação de soma em produto.

Sabemos que:

$\sin (a + b) = (\sin a)(\cos b) + (\sin b)(\cos a)$ (I)

$\sin (a - b) = (\sin a)(\cos b) - (\sin b)(\cos a)$ (II)

$\cos (a + b) = (\cos a)(\cos b) - (\sin a)(\sin b)$ (III)

$\cos (a - b) = (\cos a)(\cos b) + (\sin a)(\sin b)$ (IV)

Somando (I) e (II): $2(\sin a)(\cos b) = \sin (a + b) + \sin (a - b)$.

Subtraindo (II) de (I): $2(\sin b)(\cos a) = \sin (a + b) - \sin (a - b)$.

Somando (III) e (IV): $2(\cos a)(\cos b) = \cos (a + b) + \cos (a - b)$.

Subtraindo (IV) de (III): $-2(\sin a)(\sin b) = \cos (a + b) - \cos (a - b)$.

Fazendo $p = a + b$ e $q = a - b$, teremos que $a = \dfrac{p + q}{2}$ e $b = \dfrac{p - q}{2}$. Substituindo:

$\sin p + \sin q = 2\left(\sin \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\sin \dfrac{p - q}{2}\right)$

$\sin p - \sin q = 2\left(\cos \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\sin \dfrac{p - q}{2}\right)$

$\cos p + \cos q = 2\left(\cos \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\cos \dfrac{p - q}{2}\right)$

$\cos p - \cos q = -2\left(\sin \dfrac{p + q}{2}\right)\left(\sin \dfrac{p - q}{2}\right)$

Mostrar que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é convergente.

Observemos que $\dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é contínua, positiva, e decrescente para $n \ge 1$, logo podemos utilizar o método da integral.

$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}} = \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \left.\left(\dfrac{-2}{\sqrt{n}}\right)\right|_1^b = 2$

Como a integral converge, a série também converge.

Quod Erat Demonstrandum.

Encontrar a soma da série $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{2}{5^n} - \dfrac{1}{2^n}\right)$.

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{2}{5^n} - \dfrac{1}{2^n}\right) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{2}{5^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{2^n} =$

$= \dfrac{2}{1 - \dfrac{1}{5}} - \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{5}{2} - 2 = \fbox{$\dfrac{1}{2}$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{4}\ dx$.

Seja $x = 2\tan \theta$, $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$. $dx = 2\sec^2 \theta\ d\theta$

$I\ =\ \displaystyle\int \sec^3 \theta\ d\theta\ =\ (\sec \theta)(\tan \theta) - \displaystyle\int (\sec \theta)(\tan^2 \theta)\ d\theta\ =$

$=\ (\sec \theta)(\tan \theta) - \displaystyle\int \sec^3 \theta\ d\theta + \log |\sec \theta + \tan \theta|\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ I = \dfrac{(\sec \theta)(\tan \theta) + \log |\sec \theta + \tan \theta|}{2} + c\ =\ \fbox{$\dfrac{x\sqrt{4 + x^2}}{8} + \dfrac{\log \left|\sqrt{4 + x^2} + x\right|}{2} + c$}$

Calcular $I\ =\ \displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}\ dx$, $a > 0$.

$I = a\displaystyle\int_0^a \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{a}\right)^2}\ dx$

Seja $y = \dfrac{x}{a}$. $dy = \dfrac{dx}{a}$

$I = a^2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - y^2}\ dy$

Seja $y = \sin \theta$, $-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$. $dy = \cos \theta\ d\theta$.

$I = a^2\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \cos^2 \theta\ d\theta\ =\ a^2\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \dfrac{(\cos 2\theta) + 1}{2} d\theta\ =\ a^2\displaystyle\int_0^{\pi / 2} \cos 2\theta\ d\theta + \dfrac{a^2\pi}{4}$

Seja $\varphi = 2\theta$. $d\varphi = 2 d\theta$.

$I = \cancelto{0}{\dfrac{a^2}{2}\displaystyle\int_0^{\pi} \cos \varphi\ d\varphi} + \dfrac{a^2\pi}{4}\ =\ \fbox{$\dfrac{a^2\pi}{4}$}$

Por meio da integração, encontrar o volume do cone de raio da base $r = 2$ e altura $h = 5$.

O cone será resultante da rotação da reta $y = \dfrac{rx}{h}$, para $x \in [0, h]$, união o círculo $y^2 + z^2 \le r^2\ \wedge\ x = h$.

Tal volume será dado por $\pi \cdot \dfrac{r^2}{h^2}\displaystyle\int_0^5 x^2\ dx = \pi \cdot \dfrac{4}{25} \cdot \left. \dfrac{x^3}{3}\right|_0^5 = \fbox{$\dfrac{20\pi}{3}$}$

Calculadora: área de um polígono convexo.

Entre com um número finito de vértices consecutivos separados por barra vertical "|", a abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";":

Exemplo:

Input: "0; 0 | 0; 1 | 1; 1 | 1; 0". Output: "1".




Área:

Encontrar a área delimitada pelo eixo $Ox$ e a parábola $y = x^2 + x - 2$.

$\left|\displaystyle\int_{-2}^1 x^2 + x - 2\ dx\right| = \left| \left. \left(\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^2}{2} - 2x\right)\right|_{-2}^1 \right| = \left| \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2 + \dfrac{8}{3} - 2 - 4 \right| =$

$= \left| -\dfrac{9}{2}\right| = \fbox{$\dfrac{9}{2}$}$

Determinar a soma de Riemann para $f(x) = 2 - x^2$, e $P$ a partição de $[0, 2]$ em 4 subintervalos de mesmo comprimento, escolhendo $c_i$ como sendo o extremo direito do subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$.

$S_4(f) = \displaystyle\sum_{i=1}^4 f(c_i)(x_i - x_{i-1}) = \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^4 f(x_i) =$

$= \dfrac{1}{2}\left[\left(2 - \dfrac{1}{4}\right) + (2 - 1) + \left(2 - \dfrac{9}{4}\right) + (2 - 4)\right] = \fbox{$\dfrac{1}{4}$}$

Em $\mathbb{R}$, resolver a inequação $(16 - x^2) \cdot \log^3 (x - 2) > 0$.

$[(16 - x^2) > 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) > 0]\ \vee\ [(16 - x^2) < 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) < 0]\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ 3 < x < 4$

$\fbox{$S = ]3, 4[$}$

Seja $f(x) = 2^x$. Qual o valor de $Q = \dfrac{f(x + 1) + f(x + 2) + f(x + 3)}{f(x + 4) + f(x + 5)}$?

$Q = \dfrac{2^{x + 1} + 2^{x + 2} + 2^{x + 3}}{2^{x + 4} + 2^{x + 5}} = \dfrac{\cancel{2^x} (2 + 4 + 8)}{\cancel{2^x} (16 + 32)} = \fbox{$\dfrac{7}{24}$}$

Calcular $(f \circ f)(0)$ para $f(x) = e^{-x^2}$.

$f(0) = e^{0} = 1$

$f[f(0)] = f(1) = e^{-1} = \fbox{$\dfrac{1}{e}$}$

Para $x$ real, qual o mínimo valor de $p = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x - x^2}$?

$p$ será mínimo quando ${4x - x^2}$ for máximo, ou seja, quando $x = 2$.

Logo o valor mínimo de $p$ será $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4 \cdot 2 - 2^2} = \fbox{$\dfrac{1}{16}$}$

Resolver a inequação $\log (x - \pi) > 0$.

$\log (x - \pi) > \log 1$

$e > 1\ \Rightarrow \fbox{$x > 1 + \pi$}$

Encontrar a fração geratriz de $0,666\dots$

$0,666\dots$ também pode ser escrito como $0,\overline{6}$.

Definamos $x = 0,\overline{6}$.

$10x = 6,\overline{6}$

$10x - x = 6,\overline{6} - 0,\overline{6}$

$9x = 6\ \therefore\ x = \dfrac{6}{9} = \fbox{$\dfrac{2}{3}$}$

Se um atirador esportista tem como probabilidade de acertar o alvo com um disparo $20 \%$, qual a probabilidade dele acertar o alvo tendo 5 disparos à disposição?

Tal probabilidade será o complementar dele errar todos os disparos, ou seja, será:

$1 - (80 \%)^5 = 1 - \dfrac{1024}{3125} = \fbox{$\dfrac{2101}{3125}$}$.

Determinar os termos centrais do desenvolvimento de $(x^2 - a^3)^7$ segundo as potências decrescentes de $x$.

$\displaystyle{7 \choose 3}(x^2)^{7 - 3} (-a^3)^3 = \fbox{$-35x^8 a^9$}$

$\displaystyle{7 \choose 4}(x^2)^{7 - 4} (-a^3)^4 = \fbox{$35x^6 a^{12}$}$

Se $\log_{10} 2 = m$, quanto é $\log_{10} \sqrt{5}$?

$\log_{10} \sqrt{5} = \dfrac{\log_{10} 5}{2} = \dfrac{1}{2} \log_{10} \dfrac{10}{2} = \fbox{$\dfrac{1 - m}{2}$}$

Resolver a inequação $\tan \alpha > \sqrt{3}$.

$\arctan \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$

$S = \displaystyle\bigcup_{k \in \mathbb{Z}}\left]\dfrac{\pi}{3} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[$

Razão entre o volume e a área total de um cilindro equilátero.

$V = \pi r^2 h = 2\pi r^3$

$A = 2\pi r^2 + 2rh = 2\pi r^2 + 4r^2$

$\dfrac{V}{A} = \dfrac{2\pi r^3}{2\pi r^2 + 4r^2} = \fbox{$\dfrac{\pi r}{\pi + 2}$}$

A elipse $x^2 + \dfrac{y^2}{2} = \dfrac{9}{4}$ e a reta $y = 2x + 1$ interceptam-se nos pontos $A$ e $B$. Qual o ponto médio de $\overline{AB}$?

$x^2 + 2x^2 + 2x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{4}$

$12x^2 + 8x - 7 = 0$

$(x, y) = \left(-\dfrac{7}{6}, -\dfrac{4}{3}\right)\ \vee\ (x, y) = \left(\dfrac{1}{2}, 2\right)$

Seja $M$ o ponto médio de $\overline{AB}$. $\fbox{$M = \left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$}$.

Em $\mathbb{U} = \left]\dfrac{\pi}{2}, \pi\right[$, resolver $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$.

$\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 2(\sin 2x)(\cos x) + \sin 2x = (\sin 2x)(2\cos x + 1)$

$\sin 2x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$S = \left\{\dfrac{2\pi}{3}\right\}$

Se $\alpha$ e $\beta$ são os ângulos opostos aos catetos de um triângulo retângulo, quanto é $\delta = (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2$?

$\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}$

$\delta = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - 2(\cos \alpha)(\cos \beta) + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + 2(\sin \alpha)(\sin \beta)$

$\delta = 2 - 2\cos (\alpha + \beta) = \fbox{$2$}$

Meme: sin.

 

Sabendo-se que $x = 4r \cdot \cos a \cdot \sin b$, $y = 6r \cdot \sin a \cdot \sin b$ e $z = 8r \cdot \cos b$, calcular $\alpha = \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} + \dfrac{z^2}{16}$.

$\alpha = 4r^2[(\cos^2 a)(\sin^2 b) + (\sin^2 a)(\sin^2 b) + cos^2 b] = 4r^2(\sin^2 b + \cos^2 b) = \fbox{$4r^2$}$

Se $\cos 2a = \dfrac{1}{2}$, quanto é $\tan^2 a + \sec^2 a$?

$\dfrac{1}{2} = 2\cos^2 a - 1\ \Rightarrow\ \cos^2 a = \dfrac{3}{4}$

$\tan^2 a + \sec^2 a = 2\sec^2 a - 1 = \fbox{$\dfrac{5}{3}$}$

Se um arco $\theta$, $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ é tal que o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado de sua tangente, qual o valor de $\cos \theta$?

$2\sin \theta = 3\tan^2 \theta$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{\sin \theta}{1 - \sin^2 \theta}$

$2 - 2\sin^2 \theta = 3\sin \theta$

$2\sin^2 \theta + 3\sin \theta - 2 = 0$

$\sin \theta = \dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$\cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$}$

Meme: Matemática: um caminho para correr infinitamente.

 

Seja $u = (u_j)_1^n$ uma solução do sistema linear $AX = B$, seja $\displaystyle\sum_{i=1}^m c_i \left(\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^m c_i b_i$ uma combinação linear de equações de $AX = B$, $u$ é solução da combinação linear.

$\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} u_j = b_i\ \Rightarrow\ \displaystyle\sum_{i=1}^m c_i \left(\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} u_j\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^m c_i b_i$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja o sistema homogêneo $AX = O$ em que $A_{ij} = 0$ para $j = k$, o sistema tem mais de uma solução.

Por ser homogêno, o sistema é consistente.

Sejam $X = (x_i)_0^n$ e $X' = (x'_i)_0^n$ vetores-coluna tais que $x'_j = x_j$ para $j \neq k$ e $x'_j = a,\ a \neq x_j$ para $j = k$, $AX' = O$.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $u$ uma solução do sistema linear $AX = B$ (*), e $w$ uma solução do sistema homogêneo associado $AX = O$ (**). Se $U$ é o conjunto solução de (*) e $W$ é o conjunto solução de (**), $U = u + W = \{u + w,\ w \in W\}$.

$A(u + w) = Au + \cancelto{O}{Aw} = B$. Logo $u + w \in U\ \Rightarrow\ u + W \subset\ U.\ \large{(I)}$

Seja $v$ uma solução de (*), $v = u + (v - u)$.

$A(v - u) = Av - Au = B - B = O$. Logo $v - u \in W\ \Rightarrow\ v \in u + W\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ U \subset\ u + W\ \large{(II)}$

$\large{(I)}\ \wedge\ \large{(II)}\ \Rightarrow\ U = u + W$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $a$ um complexo, $a = (\sqrt[n]{a})^n,\ n \in \mathbb{N^*}$.

Seja $a\ =\ \rho(\cos \theta\ +\ i\sin \theta),\ \rho \in \mathbb{R},\ \rho \ge 0,\ \theta \in [0, 2\pi[$,

$\sqrt[n]{a}\ =\ \sqrt[n]{\rho}\left[\cos \left(\dfrac{\theta}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}\right)\ +\ i\sin \left(\dfrac{\theta}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}\right)\right],\ k \in \mathbb{Z}$

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\ =\ \left(\sqrt[n]{\rho}\right)^n \left[\cos \left(\dfrac{n\theta}{n} + \dfrac{2nk\pi}{n}\right)\ +\ i\sin \left(\dfrac{n\theta}{n} + \dfrac{2nk\pi}{n}\right)\right] = a$.

Quod Erat Demonstrandum.

Calculadora: completar quadrado.

Entre com uma string contendo um polinômio do segundo grau, em "x", de coeficientes reais, a completar:

Exemplo:

Input: "4xx - 8x + 3". Output: $(2x - 2)^2 - 1$.




Quadrado completado:

Lugar geométrico simétrico em relação a uma reta.

Seja a reta $y = mx + n$.

Se a reta é vertical $x = a$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(2a - x_o, y_o)$.

Se a reta é horizontal $y = n$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(x_o, 2n - y_o)$.

Se a reta tem coeficiente angular $m = 1$, $(x_i, y_i) = (y_o - n, x_o + n)$.

Se a reta tem coeficiente angular $m = -1$, $(x_i, y_i) = (-y_o + n, -x_o + n)$.

Se a reta não é vertical, nem horizontal, e se $|m| \neq 1$, $y = \dfrac{-1}{m}(x - x_o) + y_o$ é a reta perpendicular passando por $(x_o, y_o)$.

A intersecção entre as duas retas é $\left(\dfrac{(y_o - n) m}{m^2 + 1}, \dfrac{(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + n\right)$, e o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ com relação à reta é dado por:

$\fbox{$(x_i, y_i) = \left(\dfrac{2(y_o - n)m}{m^2 + 1} - x_o, \dfrac{2(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + 2n - y_o\right)$}$.

Ou, isolando $x_o$ e $y_o$,

$\fbox{$(x_o, y_o) = \left(\dfrac{\dfrac{2my_i - 4mn}{m^2 - 1} - (m^2 + 1)x_i - mn}{m^2 + 1}, \dfrac{y_i - 2n}{m^2 - 1}\right)$}$.

Exemplo:

Seja a região $y \ge x^2$, o lugar geométrico simétrico com relação à reta $y = \dfrac{x}{2} - 1$ é

$\dfrac{-y - 2}{3/4} \ge \left(\dfrac{\dfrac{-y - 2}{3/4} - \dfrac{5x}{4} + \dfrac{1}{2}}{5/4}\right)^2$.

Lugar geométrico simétrico em relação a um ponto.

Seja $(x_o, y_o)$ um ponto de uma curva ou região, e $(x_i, y_i)$ o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$ com relação ao ponto $(a, b)$:

$(x_i, y_i) = (2a - x_o, 2b - y_o)$.

Exemplo:

Seja a circunferência $x^2 + y^2 = 1$, a curva simétrica de tal circunferência em relação a $(2, 2)$ é $(4 - x)^2 + (4 - y)^2 = 1$.

Uma série para $e$.

A constante $e$ é a base dos logaritmos naturais, é definida por $e = \displaystyle\lim_{x\ \rightarrow \ +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$.

Utilizando a Fórmula de Taylor, sabendo que $\dfrac{d^{(n)}}{dx^{(n)}} e^x = e^x$, tomando $a = 0$,

$\fbox{$e = \displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \dfrac{1}{i!}$}$.

Calculadora: Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda parte um número real para a velocidade de deslocamento sob o gráfico da função, a terceira a abscissa do ponto de referência, a quarta a ordenada do ponto de referência, e a quinta o valor para "x":

Exemplo:

Input: "3; -1; 0; 1; -1". Output: aproximadamente "0.5".




Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$ (aproximada):

Calculadora: Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda a abscissa do ponto de referência, a terceira a ordenada do ponto de referência, e a quarta o valor para "x":

Exemplo:

Input: "2; 0; 1; -1". Output: aproximadamente "1".




Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$ (aproximado):

Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré.

Afim de simplificar os cálculos, consideremos $g$ constante igual a $0$.

Seja $v_o$ a velocidade de deslocamento de um ponto sobre o gráfico de $f$, $\dfrac{dx_o}{dt} = \dfrac{v_o}{\sqrt{1 + [f^{'}(x_o)]^2}}$.

 

Isolando $x_i$ em $g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$ e derivando com relação a $t$, chamando de $v_i$ a velocidade da imagem:

$\fbox{$v_i = \dfrac{v_o}{\sqrt{1 + [f^{'}(x_o)]^2}} \cdot \dfrac{[af^{'}(x_o) - b][f(x_o) - b] - f^{'}(x_o) [af(x_o) - bx_o]}{[f(x_o) - b]^2}$}$.

 

Ponto cego no eixo $Ox$, $x_0 \neq a$, $f(x_o) \cdot b > 0\ \wedge\ |f(x_o)| > |b|$.

Ponto Cego de Antonio Vandré.

Sejam os gráficos de duas funções $f(x)$ e $g(x)$, e um ponto $(a, b)$ entre um ponto de $f$ e um ponto de $g$, definimos "Ponto Cego de Antonio Vandré" um ponto de $g$ pertencente à reta definida por um ponto de $f$ e $(a, b)$.

Chamemos de $x_o$ ($x_o \neq a$) a abscissa do ponto objeto, um ponto de $f$, a reta definida por $(a, b)$ e este ponto é $y = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$.

Chamemos $x_i$ a abscissa do ponto imagem, um ponto de $g$ pertencente à reta.

Se $x_o = a$ e $g$ estiver definida em $x_o$, $x_i = x_o$. Caso contrário:

$\fbox{$g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a,\ min(x_o, x_i) < a < max(x_o, x_i)$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = 0$, $g(x) = 2$ e $(a, b) = (0, 1)$, para $x_o = 1$:

$2 = -x_i + 1 + 1 \cdot 0\ \Rightarrow\ x_i = -1$.

Calculadora: comprimento do gráfico de uma função.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o comprimento, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "x; 0; 5; 20". Output: aproximadamente "7.071067811865478".

(pode travar o sistema)

Comprimento do gráfico da função no intervalo (aproximado):

Calculadora: estatísticas de um polígono regular.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte o número de lados do polígono; na segunda parte entre com o valor do lado do polígono.

Exemplo:

Input: "4; 2".

Output: aproximadamente

"
Quadrado.

Perímetro: 8.

Apótema: 1.

Raio da circunferência circunscrita: 1.414213562373095.

Área: 4.

Medida dos ângulos internos: 90 graus.

Medida dos ângulos externos: 90 graus.

Área do círculo inscrito: 3.141592653589793.

Área do círculo circunscrito: 6.2831853071795845.

Razão entre as áreas do polígono e do círculo inscrito: 1.2732395447351628.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do polígono 1.5707963267948961.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do círculo inscrito 2.

".




Estatísticas do polígono regular, aproximadas:

Calculadora: equação da reta tangente.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte a expressão da função, deve ser uma função em "x"; na segunda parte entre com um valor do domínio de tal função.

Exemplo:

Input: "sen(x); pi".
Output: aproximadamente "y = -x + 3.141592653589793".




Equação da reta tangente (aproximada):

Calculadora: máximo ou mínimo de uma função.

Entre com uma string separada em quatro partes por barra vertical "|", a primeira com uma função em "x", a segunda com o intervalo de pesquisa, o inferior e o superior separados por ponto e vírgula ";", a terceira "m" se deseja o mínimo ou "M" se deseja o máximo, a quarta a precisão, um inteiro positivo, de busca.

Exemplo:

Input: "x*x | -2; 2 | m | 20".

Output: dentre outros possíveis valores aproximados, "0".

(pode travar o sistema)

Máximo ou mínimo (dependendo do que foi pedido):

Calculadora: gráfico de uma superfície ou região tridimensional por uma relação.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das relações, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser relações em $x$, $y$ e $z$; segundo: um número real como valor inferior para $x$; terceiro: um número real como valor superior para $x$; quarto: um número real como valor inferior para $y$; quinto: um número real como valor superior para $y$; sexto: um número real como valor inferior para $z$; sétimo: um número real como valor superior para $z$; oitavo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

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