Calculadora: função quadrática dados 3 pontos.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os 3 pontos não colineares de abscissas diferentes; as abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".




Função quadrática:

A função aparecerá aqui...

Em $\mathbb{R}$, resolver a inequação $(16 - x^2) \cdot \log^3 (x - 2) > 0$.

$[(16 - x^2) > 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) > 0]\ \vee\ [(16 - x^2) < 0\ \wedge\ \log^3 (x - 2) < 0]\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ 3 < x < 4$

$\fbox{$S = ]3, 4[$}$

Área sob uma parábola com concavidade para baixo dadas as intersecções com $Ox$ e a ordenada do vértice.

Sejam $P(x)$ a parábola em questão, $a$ e $b$, $b > a$ as intersecções com $Ox$, e $y_V$ a ordenada do vértice de $[-x^2 + (a+b)x - ab]$, e $h$ a ordenada do vértice de $P(x)$, $h > 0$.

$P(x) = \dfrac{h}{y_V}[-x^2 + (a+b)x - ab]$, é a equação cartesiana de tal parábola.

$y_V = \dfrac{\Delta}{4} = \dfrac{(a+b)^2 - 4ab}{4}$

Logo $P(x) = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-x^2 + (a+b)x - ab]$.

Logo a área $A$ será $A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \displaystyle\int_a^b -x^2 + (a+b)x - ab\ dx = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \left. [-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{(a+b)x^2}{2} - abx] \right|_a^b$.

$\fbox{$A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-\dfrac{b^3}{3} + \dfrac{(a+b)b^2}{2} - ab^2 + \dfrac{a^3}{3} - \dfrac{(a+b)a^2}{2} + a^2b]$}$

Exemplo:

Sejam $a = 0$, $b = 1$, e $h = 1$:

$A = 4(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}$.

Determine as retas tangentes à parábola $y = x^2$ que passam pelo ponto $(1, 0)$.

Uma reta e a parábola terão em comum o ponto $(x_0,y_0)$. Em tal ponto a reta terá coeficiente angular $2x_0$.

$x_0^2 = 2x_0(x_0 - 1)\ \Rightarrow\ x_0 = 0\ \vee\ x_0 = 2$

Logo as retas são $\fbox{$y = 0$}$ e $\fbox{$y - 4 = 4(x - 2)$}$.

Resolva a equação $x^2 - 5x + 6 = 0$ sem utilizar Bhaskara.

$x^2 - 5x + 6 = 0\ \Rightarrow\ x^2 - 5x + \dfrac{25}{4} - \dfrac{1}{4} = 0\ \Rightarrow\ (x - \dfrac{5}{2})^2 = \dfrac{1}{4}\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x - \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{2}\ \vee\ x - \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow \fbox{$x = 3\ \vee\ x = 2$}$

Exercício: seja $b^2 \ge 4ac$ e $b > 0$, encontre $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Resolução:

$\dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \dfrac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} =$

$= \dfrac{b^2 - 4ac - b^2}{(2a)(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} = \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}$

Logo $\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2ac}{a(b + \sqrt{b^2 - 4ac})} =$

$= \lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-2c}{b + \sqrt{b^2 - 4ac}} = \fbox{$-\dfrac{c}{b}$}$

Exercício: determinando imagem de uma função quadrática, dado um domínio.

Sendo $A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ge 2\}$, determine o conjunto imagem da função $f:\ A\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$

Para valores de $x$ maiores que $1$ a função é crescente.

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = -8$, logo $Im_f\ =\ [-8,\ +\infty[$

Exercício: determinando parâmetro e imagem de uma função quadrática.

O gráfico da função quadrática definida por $y = x^2 - mx + (m - 1)$, onde $m \in \mathbb{R}$, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Qual o valor de $y$ que essa função associa a $x = 2$?

$\Delta = m^2 - 4m + 4 = 0\ \Rightarrow\ m = 2\ \Rightarrow\ y = x^2 - 2x + 1$

$x = 2\ \Rightarrow\ y = 1$

Exercício: equação do 2º grau: operações entre raízes.

Sendo $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $x^2 - 9x + 6 = 0$, determine os valores de:

a) $r_1 + r_2$.	c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$.	e) ${r_1}^3 + {r_2}^3$.
b) $r_1 \cdot r_2$.	d) ${r_1}^2 + {r_2}^2$.	f) $r_1 - r_2$.

Resolução:

De imediato:

a) $r_1 + r_2 = 9$.

b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.

Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:

c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.

d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.

e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.

f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.

Exercício: equação polinomial do 2º grau.

Sendo $\alpha$ e $\beta$ as raízes da equação $x^2\ -5x\ -\ 84\ =\ 0$, obtenha uma equação do 2º grau cujas raízes sejam $(\alpha\ +\ 1)$ e $(\beta\ +\ 1)$.

Resolução:

Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.

Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$

Substituindo os valores, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$

Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:

$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$