Exercício: previdência privada: probabilidade de um cônjuge estar vivo.

Um casal, ambos com $30$ anos de idade, pretende fazer um plano de previdência privada. A seguradora pesquisada, para definir o valor do recolhimento mensal, estima a probabilidade de que pelo menos um deles esteja vivo daqui a $50$ anos, tomando por base dados da população, que indicam que $20\%$ dos homens e $30\%$ das mulheres de hoje alcançarão a idade de $80$ anos.

 

Qual é essa probabilidade?

Resolução:

A probabilidade de que a mulher esteja viva e o homem não é $0.3 \cdot 0.8 = 0.24$.

A probabilidade de que o homem esteja vivo e a mulher não é $0.2 \cdot 0.7 = 0.14$.

Somando, teremos que a probabilidade de que exatamente um deles esteja vivo é $\fbox{$38\%$}$.

Exercício: probabilidade de itens defeituosos.

O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de $0,2\ \%$. Se uma loja acaba de vender $4$ aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

 

$P = 0,002 \cdot 0,002 \cdot 0,998 \cdot 0,998 \cdot \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \fbox{$6 \cdot (0,002)^2 \cdot (0,998)^2$}$

Exercício: soma mais provável.

Os números naturais de $1$ a $10$ foram escritos, um a um, sem repetição, em dez bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, qual o valor mais provável da soma dos números sorteados?

$2$: $(1, 1)$

$3$: $(1, 2)$, $(2, 1)$

$4$: $(1, 3)$, $(2, 2)$, $(3, 1)$

$5$: $(1, 4)$, $(2, 3)$, $(3, 2)$, $(4, 1)$

$6$: $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$, $(5, 1)$

$7$: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(5, 2)$, $(6, 1)$

$8$: $(1, 7)$, $(2, 6)$, $(3, 5)$, $(4, 4)$, $(5, 3)$, $(6, 2)$, $(7, 1)$

$9$: $(1, 8)$, $(2, 7)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 3)$, $(7, 2)$, $(8, 1)$

$10$: $(1, 9)$, $(2, 8)$, $(3, 7)$, $(4, 6)$, $(5, 5)$, $(6, 4)$, $(7, 3)$, $(8, 2)$, $(9, 1)$

$11$: $(1, 10)$, $(2, 9)$, $(3, 8)$, $(4, 7)$, $(5, 6)$, $(6, 5)$, $(7, 4)$, $(8, 3)$, $(9, 2)$, $(10, 1)$

$12$: $(2, 10)$, $(3, 9)$, $(4, 8)$, $(5, 7)$, $(6, 6)$, $(7, 5)$, $(8, 4)$, $(9, 3)$, $(10, 2)$

$13$: $(3, 10)$, $(4, 9)$, $(5, 8)$, $(6, 7)$, $(7, 6)$, $(8, 5)$, $(9, 4)$, $(10, 3)$

$14$: $(4, 10)$, $(5, 9)$, $(6, 8)$, $(7, 7)$, $(8, 6)$, $(9, 5)$, $(10, 4)$

$15$: $(5, 10)$, $(6, 9)$, $(7, 8)$, $(8, 7)$, $(9, 6)$, $(10, 5)$

$16$: $(6, 10)$, $(7, 9)$, $(8, 8)$, $(9, 7)$, $(10, 63)$

$17$: $(7, 10)$, $(8, 9)$, $(9, 8)$, $(10, 7)$

$18$: $(8, 10)$, $(9, 9)$, $(10, 8)$

$19$: $(9, 10)$, $(10, 9)$

$20$: $(10, 10)$

Logo a soma mais provável é $11$.

Os bilhetes de uma rifa são numerados de $1$ a $100$. Qual a probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que $40$ ou número par?

Seja $A$ o evento procurado, $n(A) = 60 + 20 = 80$.

Logo $P(A) = \dfrac{80}{100} = \fbox{$80 \%$}$.

Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo.

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$

$A = \{2, 3, 5\}$

$P(A) = \dfrac{\cancelto{1}{3}}{\bcancelto{4}{12}} = \fbox{$25 \%$}$

No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?

Os resultados do evento são $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$ e $(5, 1)$. Logo, chamando tal evento de $A$, $n(A) = 5$.

Logo $\fbox{$P(A) = \dfrac{5}{36}$}$.

Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Imaginemos todos os conjuntos em que cada elemento é uma ordem em que o $5$ surgirá. Serão em número de $\displaystyle{7 \choose 3} = 35$.

O número de elementos do evento do qual desejamos saber a probabilidade será $5^4 \cdot 35$.

Logo a probabilidade procurada será $P = \dfrac{5^4 \cdot 35}{6^7} \approx \fbox{$7,8 \%$}$.

Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

Calculemos o número de elementos do evento $A$: permutações de $5$ elementos em que um se repete $2$ vezes e o outro $3$ vezes.

$n(A) = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$

Logo a probabilidade do evento $A$ é $P(A) = \dfrac{10}{2^5} = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} = \fbox{$31,25 \%$}$.

Probabilidade de, em um hexágono, escolher um triângulo equilátero.

Aleatoriamente escolhem-se $3$ dos $6$ vértices de um hexágono regular. Qual a probabilidade dos vértices escolhidos formarem um triângulo equilátero?

$n(U) = \displaystyle{6 \choose 3} = 20$

Seja $A$ o evento dos vértices formarem um triângulo equilátero.

$n(A) = 2$

$P(A) = \dfrac{2}{20} = 10\%$

Em um exame, há um total de $50$ questões com $5$ alternativas cada, sendo apenas $1$ correta. Marcando as questões aleatoriamente, qual a probabilidade de um concursando acertar $60 \%$ da prova?

Trata-se um experimento binomial.

$P = \displaystyle{50 \choose 30} \left(\dfrac{1}{5}\right)^{30}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{20} \approx 00000000,6 \%$

Se um atirador esportista tem como probabilidade de acertar o alvo com um disparo $20 \%$, qual a probabilidade dele acertar o alvo tendo 5 disparos à disposição?

Tal probabilidade será o complementar dele errar todos os disparos, ou seja, será:

$1 - (80 \%)^5 = 1 - \dfrac{1024}{3125} = \fbox{$\dfrac{2101}{3125}$}$.

Calculadora: probabilidades dos itens nos resultados de uma loteria.

Envie um arquivo com os resultados da loteria. O conteúdo deve consistir dos resultados em cada linha, e os itens de cada resultado separados por vírgula ",".

Upload dos resultados (se muitos, pode travar o sistema):

Probabilidades:

Calculadora: torneio de pontos corridos: probabilidade de, segundo Antonio Vandré, classificar-se entre os n primeiros ou entre os n últimos.

Entre com uma string contendo, separada por ponto e vírgula ";", primeiro; os times com os respectivos pontos separados por vírgula ",", os times e os pontos já conquistados separados por dois pontos ":"; segundo, os confrontos a seguir separados por vírgula ",", um confrontante separado de outro confrontante por dois pontos ":"; terceiro: a resposta que se deseja: separados por vírgula ",", o time, n, e "p" para mostrar a probabilidade de estar entre os n primeiros, ou "u", para mostrar a probabilidade de estar entre os n últimos; quarto: o número de pontos ganhos em caso de derrota; quinto: o número de pontos ganhos em caso de empate; sexto: o número de pontos ganhos em caso de vitória.

Exemplo:

Input: "Palmeiras: 8, Santa Cruz: 9, Vasco: 13; Vasco : Santa Cruz, Santa Cruz : Vasco; Santa Cruz, 1, p; 0; 1; 3".

Output: Aproximadamente "13.33 %".




Probabilidade:

Probabilidade de aniversariantes em um mesmo dia.

Em uma sala com $30$ pessoas, qual a probabilidade de ao menos duas terem aniversário no mesmo dia?

Resolução:

Consideremos a $30$-upla de pessoas em que cada elemento pode assumir um valor inteiro de $1$ a $365$:

$(p_1, p_2, ..., p_{30})$.

O número total de $30$-uplas será $365^{30}$.

O evento de termos ao menos duas pessoas com o mesmo valor será o complementar de todas assumirem valores distintos. Tal evento terá $\dfrac{365!}{335!}$ elementos.

Logo a probabilidade procurada será $1 - \dfrac{365!}{335!} \cdot \dfrac{1}{365^{30}}$ que, utilizando uma calculadora, chegamos a aproximadamente $\fbox{$71\%$}$.

Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.

Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?

Resolução:

Considerando a ordem de chegada dos filhos:

$n(U) = 2^6 = 64$

$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$