Resolver em $\mathbb{R}$: $|2x + 1| - |x - 3| = 6$.

$|2x + 1| = 6 + |x - 3|$

$p:\ 2x + 1 = 6 + |x - 3|\ \vee\ q:\ 2x + 1 = -6 - |x - 3|$

$p:\ |x - 3| = 2x - 5\ \Rightarrow\ x - 3 = 2x - 5\ \vee\ 5 - 2x = x - 3\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x = 2\ \vee\ x = \dfrac{8}{3}$

$q:\ |x - 3| = -7 - 2x\ \Rightarrow\ x - 3 = -7 - 2x\ \vee\ x - 3 = 7 + 2x\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ x = -\dfrac{4}{3}\ \vee\ x = -10$

$\fbox{$S = \left\{2, \dfrac{8}{3}, -\dfrac{4}{3}, -10\right\}$}$

Exercício: equação modular $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

Resolva, no universo $\mathbb{R}$ a equação $|x| \cdot |x - 2| = 3x - 6$.

$x < 0\ \text{(I)}\ \Rightarrow\ (-x) \cdot (2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(II)}$

(I) e (II) $\Rightarrow\ S_1 = \emptyset$

$0 \le x < 2\ \text{(III)}\ \Rightarrow\ x(2 - x) = 3x - 6\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ (x = -3\ \vee\ x = 2)\ \text{(IV)}$

(III) e (IV) $\Rightarrow\ S_2 = \emptyset$

$x \ge 2\ \text{(V)}\ \Rightarrow\ x(x - 2) = 3x - 6\ \Rightarrow\ (x = 2\ \vee\ x = 3)\ \text{(VI)}$

(V) e (VI) $\Rightarrow\ S_3 = \{2, 3\}$

$\bigcup_{i = 1}^3 S_i = \{2, 3\}$

Exercício: equação modular.

Resolva a equação $|x| = 5x - 1$.

Resolução:

$x \ge 0 \Rightarrow x = 5x - 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}$

$x < 0 \Rightarrow -x = 5x - 1 \Rightarrow \nexists x$

$S = \{\dfrac{1}{4}\}$