Calcular as três primeiras derivadas de $f(x)=\log -x$.

$f'(x) = -\dfrac{1}{x}$

$f''(x) = \dfrac{1}{x^2}$

$f'''(x) = -\dfrac{2}{x^3}$

Dada a função custo $C(x) = 50x + 10000$, obtenha o custo marginal e interprete o resultado.

$C_{mg}(x) = 50$, que é, aproximadamente, a variação do custo na produção da $(x + 1)$-ésima unidade.

Obter a derivada de $f(x) = e^x + 3^x$.

$f(x) = e^x + e^{x\log 3}$

$f'(x) = e^x + e^{x\log 3} \cdot \log 3 = \fbox{$e^x + 3^x \log 3$}$

Demonstração da regra do quociente para derivadas.

Pela regra do produto, $(f \cdot h)'(x) = f(x)h'(x) + h(x)f'(x)$.

Pela regra da cadeia, tomando $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$, $g(x) \neq 0$, $h'(x) = -\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$, logo

$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'(x) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \fbox{$\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$}$.

 

Quod Erat Demonstrandum.

Demonstração da regra do produto para derivadas.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis,

$(f \cdot g)'(x) = \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{(f \cdot g)(x + a) - (f \cdot g)(x)}{a} =$

 

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a) \cdot g(x + a) - f(x) \cdot g(x) + f(x + a) \cdot g(x) - f(x + a) \cdot g(x)}{a} =$

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a)[g(x + a) - g(x)]}{a} + \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{g(x)[f(x + a) - f(x)]}{a} = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Demonstração da regra da cadeia.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáreis,

$f'(u) = \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} =  \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{\Delta f(u)}{\Delta u}$;

$g'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x}$.

Observemos que $\Delta g(x) \rightarrow 0\ \Leftrightarrow\ \Delta x \rightarrow 0$.

 

$(f \circ g)'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \left[\dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta x} \cdot \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta g(x)}\right] =$

$= \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} \cdot \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = f'[g(x)] \cdot g'(x)$

Quod Erat Demonstrandum.

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ no ponto $x_0 = 5$.

$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\ \Rightarrow\ \fbox{$f'(5) = -\dfrac{1}{25}$}$

Obter a derivada de $f(x) = \log (x^2 - 3x + 6)$.

Utilizando a regra da cadeia, $\fbox{$f'(x) = \dfrac{2x - 3}{x^2 - 3x + 6}$}$.

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{1}{(x^2 - 3x - 2)^5}$.

Utilizando a regra do quociente, $\left[\dfrac{g(x)}{h(x)}\right]' = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$,

$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{5(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 2)^6}$}$.

Obter a derivada de $f(x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$}$

Obter a derivada de $f(x) = x \sin x$.

Utilizando a regra do produto: $[g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$,

$\fbox{$f'(x) = \sin x\ +\ x\cos x$}$.

Calcular a segunda derivada de $f(x) = \log_a x$.

$f'(x) = \dfrac{1}{x\log a}$

$\fbox{$f''(x) = -\dfrac{1}{x^2 \log a}$}$

Qual a derivada de $f(x) = \sqrt[3]{\sin x}$?

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}$}$

Exercício: velocidade de refrigeração.

Uma peça de carne foi colocada num freezes no instante $t = 0$. Após $t$ horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por:

 

$T(t) = 30 - 5t + \dfrac{4}{t + 1},\ 0 \le t \le 5$.

Qual a velocidade de redução de sua temperatura após $2$ horas?

$T'(2) = -5 - \dfrac{1}{(2 + 1)^2} = \fbox{$-\dfrac{46}{9}$}$

Seja $f(x) = \dfrac{1}{x}$, mostrar, pela definição de derivada, que $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$.

Seja $f$ contínua em $x$:

$\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{1}{x + h} - \dfrac{1}{x}}{h} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{x - x - h}{xh(x + h)} = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-1}{x^2 + xh} = -\dfrac{1}{x^2}$.

Quod Erat Demonstrandum.

Obter a derivada de $f(x) = \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^3$.

$\fbox{$f'(x) = 3\left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x} + 1\right)^2\left(-\dfrac{2}{x^3} - \dfrac{1}{x^2}\right)$}$

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{2}{x^3} + \dfrac{5}{x^2}$.

$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{6}{x^4} - \dfrac{10}{x^3}$}$

Obter a reta tangente ao gráfico de $f(x) = e^{-x^2}$ em $x_0 = 1$.

$f(x_0) = \dfrac{1}{e}$

$f'(x_0) = -2x_0 \cdot e^{-x_0^2} = \dfrac{-2}{e}$

Logo a reta procurada é $y - \dfrac{1}{e} = -\dfrac{2}{e}(x - 1)\ \equiv\ \fbox{$2x + ey - 3 = 0$}$.

 

 

Obter a derivada de $f(x) = x^2 \log x$.

$\fbox{$f'(x) = x + 2x\log x$}$

Obter a derivada de $f(x) = 3\sqrt{x} + 5\sqrt[3]{x} + 10$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{x}} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}$}$