Sejam $z, w \in \mathbb{C}$, mostre que $|zw| = |z||w|$.

Sejam $z = a + bi$ e $w = c + di$.

$|zw|^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 - \cancel{2abcd} + a^2d^2 + b^2c^2 + \cancel{2abcd} =$

 

$= a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (|z||w|)^2$

Como o módulo de um número complexo é um real não negativo, $|zw| = |z||w|$.

Quod Erat Demonstrandum.