Calculadora: equação cartesiana de uma elipse dados os focos e a distância constante.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: a abscissa do primeiro foco; segundo: a ordenada do primeiro foco; terceiro: a abscissa do segundo foco; quarto: a ordenada do segundo foco; e quinto: a distância soma constante de um ponto da elipse aos focos.




Equação cartesiana da elipse:

Número de galinhas e coelhos em um quintal.

Num quintal há galinhas e coelhos. Se o total de cabeças é $32$ e o total de pés é $102$, determine o número de galinhas.

 

Sejam $g$ o número de galinhas e $c$ o número de coelhos.

$\begin{cases}g + c = 32\\ 2g + 4c = 102\end{cases}\ \Rightarrow\ 2c = 38\ \Rightarrow\ \fbox{$g = 13$}$

Discutir a equação em $x$, $m^2 x + 1 = x + m$, de acordo com o parâmetro real $m$.

$x(m + 1)(m - 1) = m - 1$

Para $m = 1$, $S = \mathbb{R}$.

Para $m = -1$, $S = \varnothing$.

Para $m \neq 1\ \wedge\ m \neq - 1$, $S = \left\{\dfrac{1}{m + 1}\right\}$.

Meme: eu sou a Matemática, precisa me amar.

 

Quantos divisores positivos possui o inteiro $300$?

Vamos decompor $300$ em fatores primos.

$\begin{array}{r | l}300 & 2\\ 150 & 2\\ 75 & 3\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \overline{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2}\end{array}$

Após a decomposição em fatores primos, o número de divisores positivos será o produto dos expoentes somados com uma unidade.

$n\left[D_+ (300)\right] = 3 \cdot 2 \cdot 3 = \fbox{$18$}$

Qual o algarismo das unidades de $3^{1999}$?

Observemos que

$\begin{array}{l c l c l}3^0 = 1 & & 3^1 = 3 & & 3^2 = 9\\ 3^3 = 27 & & 3^4 = 81 & & 3^5 = 243\end{array}$

O algarismo das unidades assume ciclicamente os valores de $1$, $3$, $9$ e $7$. Assim, como $1999 = 4 \cdot 499 + 3$, o algarismo das unidades de $3^{1999}$ é $\fbox{$7$}$.

M.m.c, m.d.c e produtos de dois números.

Dados os números $N_1 = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ e $N_2 = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$, determinar

$\begin{array}{l l}\text{a)} & m.m.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{b)} & m.d.c. (N_1, N_2)\text{;}\\ \text{c)} & N_1 \cdot N_2\text{;}\\ \text{d)} & m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2)\text{.}\end{array}$

Resolução:

a) $m.m.c. (N_1, N_2) = 2^{a+1} \cdot 3^{b+1} \cdot 5^c$

b) $m.d.c. (N_1, N_2) = 2^a \cdot 3^b$

c) $N_1 \cdot N_2 = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c$

d) $m.m.c. (N_1, N_2) \cdot m.d.c. (N_1, N_2) = 2^{2a+1} \cdot 3^{2b+1} \cdot 5^c = N_1 \cdot N_2$

O número $7941063852325$ é quadrado perfeito?

Como termina em $25$, pode ser somente um quadrado perfeito de um número que termina em $5$; devemos verificar se as centenas formam um número que é produto de dois inteiros consecutivos.

Como as centenas formam um número ímpar, ele não pode ser um quadrado perfeito.

Se $2^x + 2^{-x} = n$, encontrar, em função de $n$, $16^x + 16^{-x}$.

$2^x + 2^{-x} = n\ \Rightarrow\ 4^x + 4^{-x} = n^2 - 2\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ 16^x + 16^{-x} = (n^2 - 2)^2 - 2 = \fbox{$n^4 - 4n^2 + 2$}$

Racionalizar o denominador de $\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2}}$.

$\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{2}} = \dfrac{2[(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]}{[(\sqrt{3} + 1) + \sqrt{2}][(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{2}]} = \dfrac{2(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})]}{2 + 2\sqrt{3}} =$

 

$= \dfrac{(\sqrt{3} + 1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{3})}{-2} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6} + 2}{2}$}$

Racionalizar o denominador de $\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4}$.

$\dfrac{15}{\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4} = \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{(\sqrt[3]{49} - 2\sqrt[3]{7} + 4)(\sqrt[3]{7} + 2)} =$

 

$= \dfrac{15(\sqrt[3]{7} + 2)}{7 + 8} = \fbox{$\sqrt[3]{7} + 2$}$

Um truque para encontrar quadrados de inteiros "terminados" em $5$.

Seja um inteiro positivo $n$ "terminado" em $5$, ou seja, $n = 10a + 5$, sendo $a$ o número de dezenas que compõe o número:

$n^2 = (10a + 5)^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25$.

Ou seja, para encontrar o quadrado de tal número, tal quadrado "terminará" em $25$ e, antes, será o produto de $a$ pelo seu consecutivo.

Exemplos:

$\begin{array}{l c r}15^2 = \underset{1 \cdot 2}{\underbrace{2}}25 & & 205^2 = \underset{20 \cdot 21}{\underbrace{420}}25\end{array}$

Pensamento: Amar cada detalhe da Matemática. Amar para viver...

 

Pensamento: a Matemática e o prazer de compreender Matemática.

 

Meme: benefícios de estudar logo pela manhã.

 

Meme: começou a programar.

 

Calculadora: equação cartesiana de uma parábola dados a reta geratriz e o foco.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";", primeiro: o coeficiente de $x$ da equação da reta; segundo: o coeficiente de $y$ da reta; terceiro: o coeficiente independente da reta; quarto: a abscissa do foco; quinto: a ordenada do foco. A reta é da forma $ax + by + c = 0$.




Equação cartesiana da parábola:

Equação de uma parábola dadas a reta geratriz e o foco.

Por definição, uma parábola é, em um plano, o conjunto de pontos que equidistam de uma reta - chamada geratriz - e um ponto, chamado de foco.

Sejam $a_r x + b_r y + c_r = 0$ a reta geratriz e $(a, b)$ o foco:

$\dfrac{|a_r x + b_r y + c_r|}{\sqrt{a_r^2 + b_r^2}} = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$

${\scriptsize \fbox{$\left(\dfrac{b_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)x^2 + \left(\dfrac{a_r^2}{a_r^2 + b_r^2}\right)y^2 - \left(\dfrac{2a_r b_r}{a_r^2 + b_r^2}\right)xy - \left[\dfrac{2a_r c_r + 2a(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]x - \left[\dfrac{2b_r c_r + 2b(a_r^2 + b_r^2)}{a_r^2 + b_r^2}\right]y + \left(a^2 + b^2\right) = 0$}}$.