A função $y = Axe^x$ é solução da equação diferencial $y^{(4)} + 2y''' - 2y' - y = 10e^x$. Determine a contante $A$.

$y' = Ae^x + Axe^x$

$y'' = 2Ae^x + Axe^x$

$y''' = 3Ae^x + Axe^x$

$y^{(4)} = 4Ae^x + Axe^x$

Substituindo na equação:

$4Ae^x + \cancel{Axe^x} + 6Ae^x + \cancel{2Axe^x} - 2Ae^x - \cancel{2Axe^x} - \cancel{Axe^x} = 10e^x$

$8A\cancel{e^x} = 10\cancel{e^x}\ \Rightarrow\ \fbox{$A = \dfrac{5}{4}$}$

Resolver a equação diferencial $\dfrac{dy}{dt} = \sec^2 t - \sin t$ e $y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$.

$y = \tan t + \cos t + c$

$y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\ \Rightarrow\ c = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$y = \tan t + \cos t - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$}$

Sabendo que $y(0) = 0$, resolver a equação diferencial $y' = y + 1$, $y$ função de $x$, $y$ no universo das funções reais.

Se $y(b) = -1$, consideremos $x \neq b$. Assim podemos fazer:

$\dfrac{y'}{y + 1} = 1$

$\displaystyle\int_a^x \dfrac{y'}{y + 1} dx = \displaystyle\int_a^x dx$

$\left.\left(\log |y + 1|\right)\right|_a^x = x - a$

$\log |y(x) + 1| - \log |y(a) + 1| = x - a$

$\log \left|\dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}\right| = x - a$

$e^{x - a} = \dfrac{y(x) + 1}{y(a) + 1}$

$y(x) + 1 = e^{x - a}(y(a) + 1)$

$y(x) = e^{x - a}(y(a) + 1) - 1$

$\fbox{$y(x) = e^x - 1$}$

Exercício: resolver equação diferencial ordinária.

Resolver a EDO:

$x + e^{-x}yy' = 0$, com $y(0) = 1$

Resolução:

$yy' = -xe^x$

$\int_0^x y(x)y'(x)\ dx\ =\ -\int_0^x xe^x\ dx$

Seja $u = y(x)$, $du = y'(x)dx$.

$\int_1^{y(x)} u\ du\ = -xe^x + e^x$

$\fbox{$\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{1}{2} = e^x(1 - x)$}$