Meme: tranquilo manter a rotina de estudos.

 

Pensamento: orgulhosamente fanático por Matemática.

 

Meme: um método de estudos.

 

Meme: meus softwares e os computadores da atualidade.

 

Dada a função custo $C(x) = 50x + 10000$, obtenha o custo marginal e interprete o resultado.

$C_{mg}(x) = 50$, que é, aproximadamente, a variação do custo na produção da $(x + 1)$-ésima unidade.

Exercício: percentual limite para um terreno quadrangular.

O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo $94\ \%$ da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular $ABCD$, em que $AB = \dfrac{BC}{2}$ , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice $A$, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual $AE = \dfrac{AB}{5}$ é lado do quadrado.

 

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele

$\enclose{circle}{A}$ duplicasse a medida do lado do quadrado.

$\enclose{circle}{B}$ triplicasse a medida do lado do quadrado.

$\enclose{circle}{C}$ triplicasse a área do quadrado.

$\enclose{circle}{D}$ ampliasse a medida do lado do quadrado em $4\ \%$.

$\enclose{circle}{E}$ ampliasse a área do quadrado em $4\ \%$.

Resolução:

Seja $\ell = AB$.

No máximo, $6\ \%$ do total de $2\ell^2$ devem ser destinados à residência, ou seja, $0,12\ell^2$.

Como a atual área da residência de Antônio é $0,04\ell^2$, ele atingiria o limite se triplicasse a área.

Alternativa $\enclose{circle}{C}$.

Exercício: tempo de percurso de um ônibus em um bairro.

O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a $200$ metros.

 

 

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a $40$ km/h, partindo do ponto $X$, demoraria para chegar até o ponto $Y$?

No mínimo, $5$ quadras serão percorridas, ou seja, um total de $1$ km.

$t = \dfrac{60}{40} = \fbox{$1,5\ \text{min}$}$

Fórmula da integração por partes.

Pela fórmula do produto para derivadas, $(h \cdot g)'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x)$.

Seja $f(x) = h'(x)$ e $F$ a primitiva de $f$.

$\displaystyle\int (F \cdot g)'(x)\ dx\ =\ \displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ +\ \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \fbox{$\displaystyle\int f(x)g(x)\ dx\ =\ F(x)g(x) - \displaystyle\int F(x)g'(x)\ dx$}$

Obter a derivada de $f(x) = e^x + 3^x$.

$f(x) = e^x + e^{x\log 3}$

$f'(x) = e^x + e^{x\log 3} \cdot \log 3 = \fbox{$e^x + 3^x \log 3$}$

Demonstração da regra do quociente para derivadas.

Pela regra do produto, $(f \cdot h)'(x) = f(x)h'(x) + h(x)f'(x)$.

Pela regra da cadeia, tomando $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$, $g(x) \neq 0$, $h'(x) = -\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$, logo

$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'(x) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \fbox{$\dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$}$.

 

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: arrecadamento diário com desconto em preço unitário.

Um posto de combustível vende $10000$ litros de álcool por dia a R\$ $1,50$ cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos $100$ litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R\$ $1,48$, foram vendidos $10200$ litros.

 

Considerando $x$ o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e $V$ o valor, em R\$, arrecadado por dia com a venda do álcool, qual a expressão que relaciona $V$ e $x$?

$V = \underset{\text{Quantidade}}{\underbrace{(10000 + 100x)}} \cdot \underset{\text{Valor unitário}}{\underbrace{(1,5 - 0,01x)}} = \fbox{$-x^2 + 50x + 15000$}$

Demonstração da regra do produto para derivadas.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáveis,

$(f \cdot g)'(x) = \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{(f \cdot g)(x + a) - (f \cdot g)(x)}{a} =$

 

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a) \cdot g(x + a) - f(x) \cdot g(x) + f(x + a) \cdot g(x) - f(x + a) \cdot g(x)}{a} =$

$= \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{f(x + a)[g(x + a) - g(x)]}{a} + \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{g(x)[f(x + a) - f(x)]}{a} = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$.

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: percentual de um terreno.

Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de $3\ \text{km}\ \text{x}\ 2\ \text{km}$ que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio $1\ \text{km}$ a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, qual a porcentagem do terreno que coube a João?

Resolução:

 

A área do triângulo que coube a João é $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\ \text{km}^2$.

A área total é de $6\ \text{km}^2$, assim, o percentual é de $\fbox{$\dfrac{100 \sqrt{3}}{9}\ \%$}$.

Demonstração da regra da cadeia.

Sejam $f$ e $g$ funções diferenciáreis,

$f'(u) = \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} =  \displaystyle\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \dfrac{\Delta f(u)}{\Delta u}$;

$g'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} = \displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x}$.

Observemos que $\Delta g(x) \rightarrow 0\ \Leftrightarrow\ \Delta x \rightarrow 0$.

 

$(f \circ g)'(x) = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} = \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \left[\dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta x} \cdot \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta g(x)}\right] =$

$= \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta (f \circ g)(x)}{\Delta g(x)} \cdot \displaystyle\lim_{\Delta g(x) \rightarrow 0} \dfrac{\Delta g(x)}{\Delta x} = f'[g(x)] \cdot g'(x)$

Quod Erat Demonstrandum.

Exercício: planta de um avião.

A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de $1:150$.

 

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de $1\ \text{cm}$ em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?

$\dfrac{2850}{150} + 2 = 21$

$\dfrac{3600}{150} + 2 = 26$

As dimensões mínimas da folha são $\fbox{$26\ \text{cm}\ \text{x}\ 21\ \text{cm}$}$.

Exercício: probabilidade de itens defeituosos.

O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de $0,2\ \%$. Se uma loja acaba de vender $4$ aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

 

$P = 0,002 \cdot 0,002 \cdot 0,998 \cdot 0,998 \cdot \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \fbox{$6 \cdot (0,002)^2 \cdot (0,998)^2$}$

Calculadora: resistência equivalente de resistores em paralelo.

Entre com, separadas por vírgula ",", as resistências em paralelo.

Exemplo:

Input: "1, 2, 3, 4". Output: "12 / 25".




Resistência equivalente da associação em paralelo:

Exercício: distância percorrida pela projeção de um ponto em uma circunferência.

Considere um ponto $P$ em uma circunferência de raio $r$ no plano cartesiano. Seja $Q$ a projeção ortogonal de $P$ sobre o eixo $x$, como mostra a figura, e suponha que o ponto $P$ percorra, no sentido anti-horário, uma distância $d \le r$ sobre a circunferência.

Qual a distância o ponto $Q$ percorrerá no eixo $x$?

Resolução:

$P$ percorrerá, na circunferência, um ângulo dado em radianos por $\dfrac{d}{r}$, logo a distância percorrida por $Q$ será

$\fbox{$r - r\cos \dfrac{d}{r}$}$.

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ no ponto $x_0 = 5$.

$f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\ \Rightarrow\ \fbox{$f'(5) = -\dfrac{1}{25}$}$

Obter a derivada de $f(x) = \log (x^2 - 3x + 6)$.

Utilizando a regra da cadeia, $\fbox{$f'(x) = \dfrac{2x - 3}{x^2 - 3x + 6}$}$.

Meme: games versus escrever Matemática.

 

Obter a derivada de $f(x) = \dfrac{1}{(x^2 - 3x - 2)^5}$.

Utilizando a regra do quociente, $\left[\dfrac{g(x)}{h(x)}\right]' = \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$,

$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{5(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 2)^6}$}$.

Obter a derivada de $f(x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}$.

$\fbox{$f'(x) = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$}$

Obter a derivada de $f(x) = x \sin x$.

Utilizando a regra do produto: $[g(x) \cdot h(x)]' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$,

$\fbox{$f'(x) = \sin x\ +\ x\cos x$}$.