Basta discutir o sistema:
$\begin{cases}x + 2y = 1\\ -3x - y = k\\ 2x + y = 5\end{cases}$,
que é consistente para $k = -8$.
domingo, 30 de janeiro de 2022
sábado, 29 de janeiro de 2022
Novas coordenadas cartesianas para rotações $\theta_x$ e $\theta_y$ dos eixos.
Rotacionamos apenas o eixo $Ox$ de $\theta_x - \theta_y$, e, depois, rotacionamos o sistema inteiro de $\theta_y$ obtendo as novas coordenadas:
$x_r = \dfrac{x}{\cos \left(\theta_x - \theta_y\right)}\cos \theta_y + \left[y - x\tan \left(\theta_x - \theta_y\right)\right]\sin \theta_y$;
$y_r = -\dfrac{x}{\cos \left(\theta_x - \theta_y\right)}\sin \theta_y + \left[y - x\tan \left(\theta_x - \theta_y\right)\right]\cos \theta_y$.
sexta-feira, 28 de janeiro de 2022
Encontrar a transformada de Laplace de $f(t) = \cos t$.
$\mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\ dt = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\cos t\ dt = \left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} + s\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\sin t\ dt =$
$= \left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} - \left.\left(se^{-st}\cos t\right)\right|_0^{+\infty} - s^2\underset{\mathcal{L}\{\cos t\}}{\underbrace{\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\cos t\ dt}}$
$\mathcal{L}\{\cos t\} = \dfrac{\left.\left(e^{-st}\sin t\right)\right|_0^{+\infty} - \left.\left(se^{-st}\cos t\right)\right|_0^{+\infty}}{1 + s^2}$, que converge para $s > 0$.
$\fbox{$\mathcal{L}\{\cos t\} = \dfrac{s}{1 + s^2},\ s > 0$}$
Encontrar a transformada de Laplace de $f(t) = t$.
$\mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}\ dt = \displaystyle\int_0^{+\infty} te^{-st}\ dt = \left.-\dfrac{te^{-st}}{s}\right|_0^{+\infty} + \dfrac{1}{s}\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-st}\ dt =$
$= \left.-\dfrac{te^{-st}}{s}\right|_0^{+\infty} - \left.\dfrac{e^{-st}}{s^2}\right|_0^{+\infty}$, que converge para $s > 0$.
Logo $\fbox{$\mathcal{L}\{t\} = \dfrac{1}{s^2},\ s > 0$}$.
Sejam $U$ e $W$ subespaços de um espaço vetorial $V$, se $U \cup W$ também é subespaço, mostrar que $U \subset W$ ou $W \subset U$.
Vamos supor que exista um $u \in U$ que não pertença a $W$, e que exista um $w \in W$ que não pertença a $U$.
$U \cup W$ é subespaço, logo $k_1 u + k_2 w \in U \cup W$, ou seja, $\underset{p}{\underbrace{k_1 u + k_2 w \in U}}\ \vee\ \underset{q}{\underbrace{k_1 u + k_2 w \in W}}$.
Em $p$, tomando $k_1 = 0$ e $k_2 = 1$ chegamos a um absurdo. Igualmente para $q$ tomando $k_1 = 1$ e $k_2 = 0$.
Quod Erat Demonstrandum.
quinta-feira, 27 de janeiro de 2022
Produtos notáveis.
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$
$(a - b)^3 = a^3 - 2a^2 b + 2ab^2 - b^3$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Arco metade.
Vamos partir de uma simples fórmula que pode ser escrita de duas formas:
$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Tomando $\theta = 2\alpha$:
$\cos \theta = 2\cos^2 \dfrac{\theta}{2} - 1\ \Rightarrow\ \fbox{$\cos \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{\cos \theta + 1}{2}}$}$;
$\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \dfrac{\theta}{2}\ \Rightarrow\ \fbox{$\sin \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{2}}$}$;
$\fbox{$\tan \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$}$; $\fbox{$\cot \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta}}$}$;
$\fbox{$\sec \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{\cos \theta + 1}}$}$; $\fbox{$\csc \dfrac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{2}{1 - \cos \theta}}$}$;
$\fbox{$cord\ \dfrac{\theta}{2} = \sqrt{2\left(1 \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos \theta}{2}}\right)}$}$.
Resolver em $\mathbb{R}$: $|2x + 1| - |x - 3| = 6$.
$|2x + 1| = 6 + |x - 3|$
$p:\ 2x + 1 = 6 + |x - 3|\ \vee\ q:\ 2x + 1 = -6 - |x - 3|$
$p:\ |x - 3| = 2x - 5\ \Rightarrow\ x - 3 = 2x - 5\ \vee\ 5 - 2x = x - 3\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ x = 2\ \vee\ x = \dfrac{8}{3}$
$q:\ |x - 3| = -7 - 2x\ \Rightarrow\ x - 3 = -7 - 2x\ \vee\ x - 3 = 7 + 2x\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ x = -\dfrac{4}{3}\ \vee\ x = -10$
$\fbox{$S = \left\{2, \dfrac{8}{3}, -\dfrac{4}{3}, -10\right\}$}$
A intersecção de subespaços de $V$ é um subespaço de $V$.
Sejam $U$ e $W$ dois subespaços de $V$, e $v',v'_1, v'_2 \in U \cap W$.
$O \in U\ \wedge\ O \in W\ \Rightarrow\ O \in U \cap W\ {\large (I)}$
$v' \in U\ \Rightarrow\ kv' \in U\ {\large (II)}$
$ v' \in W\ \Rightarrow\ kv' \in W\ {\large (III)}$
${\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}\ \Rightarrow\ kv' \in U \cap W\ {\large (IV)}$
$v'_1 \in U\ \wedge\ v'_2 \in U\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U\ {\large (V)}$
$v'_1 \in W\ \wedge\ v'_2 \in W\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in W\ {\large (VI)}$
${\large (V)}\ \wedge\ {\large (VI)}\ \Rightarrow\ v'_1 + v'_2 \in U \cap W\ {\large (VII)}$
${\large (I)}$, ${\large (IV)}$ e ${\large (VII)}$ são suficientes para demonstrar o teorema.
Quod Erat Demonstrandum.
Subespaço vetorial das funções limitadas.
Seja $V$ o espaço vetorial de todas as funções do corpo $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$. Mostrar que $W = \{f : |f(x)| \le M,\ M \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R}\}$, ou seja, o conjunto das funções reais limitadas, é um subespaço de $V$.
$W$ é não vazio, pois, dentre outras, $f(x) = c,\ c \in \mathbb{R}$ pertencem a $W$. ${\large (I)}$
$|f(x)| \le M\ \Rightarrow\ |kf(x)| \le |k|M$ ${\large (II)}$
$|f(x)| \le M\ \wedge\ |g(x)| \le N\ \Rightarrow\ |f(x) + g(x)| \le M + N$ ${\large (III)}$
${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}$ demonstram o teorema.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $AX = B$ um sistema linear não homogêneo de $n$ incógnitas sobre um corpo $K$, mostrar que as soluções não são um subespaço de $K^n$.
Sejam $X_1$ e $X_2$ duas soluções, $A(X_1 + X_2) = AX_1 + AX_2 = B + B \neq B$. Logo o conjunto das soluções não é fechado quanto à soma.
Quod Erat Demonstrandum.
Encontrar $\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x}{\sqrt{1 - \cos x}}$.
$\dfrac{x}{\sqrt{1 - \cos x}} \overset{x \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[}{=} \dfrac{x\sqrt{1 + \cos x}}{\sin x}$
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x\sqrt{1 + \cos x}}{\sin x} = \cancelto{1}{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \dfrac{x}{\sin x}} \cdot \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0_+} \sqrt{1 + \cos x}= \sqrt{2}$
domingo, 23 de janeiro de 2022
Resolver a equação $2^{\sqrt{x}} = 8^x$.
$2^{\sqrt{x}} = 2^{3x}\ \Rightarrow\ 9x^2 - x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \dfrac{1}{9}$
Como houve uma quadração, devemos verificar cada uma das soluções na equação original, e ambas satisfazem. Logo:
$\fbox{$S = \left\{0, \dfrac{1}{9}\right\}$}$.
sábado, 22 de janeiro de 2022
Se $2x^2 - y^3 - 1 = 0$, encontrar $y'$.
Derivando implicitamente:
$4x - 3y^2 y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$y' = \dfrac{4x}{3y^2}$}$.
Se $f(x) = \cot x^3$, encontrar $f'(x)$.
Utilizando a regra da cadeia: $\fbox{$f'(x) = -3\left(\csc^2 x^3\right)x^2$}$.
Transposta do quadrado de uma matriz dada a lei de formação.
Seja $A = (a_{ij})$ tal que $a_{ij} = \begin{cases}\sin \left(\dfrac{\pi}{2}i\right)\text{, se } i = j\\ \cos \left(\pi i\right)\text{, se } i \neq j\end{cases}$. Encontrar $\left(A^2\right)^t$.
$A = \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ A^2 = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}\ \Rightarrow\ \left(A^2\right)^t = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & -1\end{bmatrix}$
Seja $W = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 : ab = 0\}$, mostrar que $W$ não é subespaço do $\mathbb{R}^3$.
Sejam $w_1 = (\alpha, 0, \gamma)$ e $w_2 = (0, \beta, \gamma)$, $\alpha \neq 0$ e $\beta \neq 0$, elementos de $W$:
$w_1 + w_2 = (\alpha, \beta, 2\gamma)$ não pertence a $W$, logo, como $W$ não é fechado com relação à soma, não é subespaço de $\mathbb{R}^3$.
Quod Erat Demonstrandum.
Determinando uma incógnita em uma equação matricial.
Sejam $A =\begin{bmatrix}2^x & -1 & 2^x & 10^{-1}\end{bmatrix}$ e $B =\begin{bmatrix}2^{x + 1} & 2^x & -4 & 20\end{bmatrix}$. Determinar $x$ de modo que $A \cdot B^t = \begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$.
$2 \cdot 2^{2x} -5 \cdot 2^x + 2 = 0\ \Rightarrow\ x = -1\ \vee x = 1$
Seja $W = \{(a, b, c) : a \le b \le c\}$ um subconjunto do $\mathbb{R}^3$, mostrar que $W$ não é subespaço do $\mathbb{R}^3$.
$O$ pertence a $W$.
Sejam $(a_i, b_i, c_i)$ e $(a_j, b_j, c_j)$ elementos de $W$. $a_i + a_j \le b_i + b_j \le c_i + c_j$. $W$ é fechado com relação à soma.
No entanto, seja um $k < 0$, $a_i \le b_i \le c_i\ \Rightarrow\ ka_i \ge kb_i \ge kc_i$. Donde concluímos que $W$ não é fechado por multiplicação por escalar. Logo $W$ não é subespaço do $\mathbb{R}^3$.
Quod Erat Demonstrandum.
sexta-feira, 21 de janeiro de 2022
Seja $W = \{(a, b, c) : a = 2b\}$ um subconjunto do $\mathbb{R}^3$, mostrar que $W$ é subespaço do $\mathbb{R}^3$.
Basta mostrar que $O \in W$, o que é evidente ${\large (I)}$, que $W$ é fechado quanto à multiplicação por escalar, e que $W$ é fechado com relação à soma.
$k(a_i, b_i, c_i) = (ka_i, kb_i, kc_i) = (2kb_i, kb_i, kc_i)$ ${\large (II)}$
$(a_1, b_1, c_1) + (a_2, b_2, c_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, c_1 + c_2) = (2(b_1 + b_2), b_1 + b_2, c_1 + c_2)$ ${\large (III)}$
Com ${\large (I)}$, ${\large (II)}$ e ${\large (III)}$, provamos.
Quod Erat Demonstrandum.
quinta-feira, 20 de janeiro de 2022
Equações paramétricas da cicloide.
Cicloide é o nome dado à curva construída pela trajetória de um ponto na extremidade de uma roda que se desloca sobre uma superfície sem deslizar.
Para obter suas equações paramétricas, basta tomar as equações paramétricas da circunferência e adicionar uma velocidade horizontal de modo que esta velocidade seja a metade da taxa de variação horizontal do ponto para quando $t = \dfrac{\pi}{2}$.
$\begin{cases}x = a + -rt + r\cos t\\ y = b + r\sin t\end{cases}$, $a$ e $b$ parâmetros de translação, $r$ o raio da circunferência, $t \in \mathbb{R}$.
terça-feira, 18 de janeiro de 2022
Redundante propriedade comutativa de um espaço vetorial.
$u - u = O\ \Rightarrow\ u + \underbrace{v - v}_O - u = O\ \Rightarrow\ u + v\ \underbrace{- (v + u) + (v + u)}_O = v + u\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \fbox{$ u + v = v + u$}$
Qual o volume de um cone equilátero de geratriz $6\sqrt{3}$?
$r = \dfrac{g}{2} = 3\sqrt{3}$, $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot g = 9$.
$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{243\pi }{3} = \fbox{$81\pi$}$
segunda-feira, 17 de janeiro de 2022
Um conjunto que não é espaço vetorial.
Seja ${\small V = \{(a_i, b_i) \in \mathbb{R}^2\ :\ (a_k, b_k) + (a_\ell, b_\ell) = (a_k a_\ell, b_k b_\ell)\ \wedge\ \alpha(a_k, b_k) = (\alpha a_k, \alpha b_k),\ \alpha\ \text{escalar}\}}$. Mostrar que $V$ não é espaço vetorial.
Basta mostrar que ao menos um elemento de $V$ não obedece a uma propriedade que caracteriza espaços vetoriais.
Sejam $\beta$ e $\gamma$ escalares:
$\beta (a_1, b_1) + \gamma (a_1, b_1) = (\beta a_1, \beta b_1) + (\gamma a_1, \gamma b_1) = (\beta \gamma a_1^2, \beta \gamma b_1^2) \neq (\beta + \gamma) (a_1, b_1)$.
Quod Erat Demonstandum.
Seja $A = (a_{ij}) = (2i + j)$, Qual o elemento da segunda linha e quarta coluna de $A^t$?
O elemento da segunda linha e quarta coluna de $A^t$ trata-se do elemento da quarta linha e segunda coluna de $A$. Logo:
$a_{42} = 2 \cdot 4 + 2 = 10$.
domingo, 16 de janeiro de 2022
Determinar $a$ de modo que $r:\ ax + 3y - 7 = 0$ e $s:\ 10x - 6y + 13 = 0$ são retas paralelas.
$\dfrac{a}{3} = -\dfrac{10}{6}\ \Rightarrow\ \fbox{$a = -5$}$
Determinar o valor de $a$ sabendo que o resto da divisão de $P(x) = 8x^3 + ax^2 - 11x + 5$ por $x - 5$ é $1050$.
$P(5) = 1050\ \Rightarrow\ 8 \cdot 125 + a \cdot 25 - 11 \cdot 5 + 5 = 1050\ \Rightarrow\ \fbox{$a = 4$}$
Qual a soma dos coeficientes de um polinômio do terceiro grau sabendo que é divisível por $x - 1$?
Seja $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tal polinômio.
Se ele é divisível por $x - 1$, $P(1) = 0$. Logo:
$\fbox{$a + b + c + d = 0$}$.
Calculadora: ponto simétrico a uma reta.
Entre com os argumentos, separados por barra vertical "|": primeiro: o ponto com abscissa separada da ordenada por ponto e vírgula ";"; segundo: os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da reta $ax + by + c = 0$, separados por ponto e vírgula ";":
Exemplo:
Input: "0; 3 | -1; 1; 0". Output: "3, 0".
Ponto simétrico à reta:
Exemplo:
Input: "0; 3 | -1; 1; 0". Output: "3, 0".
Ponto simétrico à reta:
Novas coordenadas cartesianas para uma rotação do eixo $Ox$.
${\large (x_r, y_r) = \left(\dfrac{x}{\cos \theta}, y - x\tan \theta\right)}$
sábado, 15 de janeiro de 2022
Se $n$ pessoas se encontram, e cada uma aperta $1$ vez a mão de cada outra, quantos apertos de mão haverá?
$\displaystyle{n \choose 2} = \dfrac{n!}{2!(n - 2)!}\ =\ \fbox{$\dfrac{n(n - 1)}{2}$}$
Duas formas de encontrar $I = \displaystyle\int (\sin x)(\cos x)\ dx$.
Primeira:
$I = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sin (2x)\ dx = -\dfrac{\cos(2x)}{4} + c$
Segunda:
Seja $u = \sin x$, $du = \cos x\ dx$.
$I = \displaystyle\int u\ du = \dfrac{u^2}{2} + C = \dfrac{\sin^2 x}{2} + C$
Observemos que $-\dfrac{\cos(2x)}{4} - \dfrac{\sin^2 x}{2} = -\dfrac{1}{4}$, que é constante. Logo as duas respostas estão corretas, pois tratam-se de integrais indefinidas.
Seja $V$ o espaço vetorial das matrizes quadradas $n\ x\ n$, $U$ o subespaço das matrizes simétricas e $W$ o subespaço das matrizes antissimétricas, $V = U \oplus W$.
$M \in U\ \Rightarrow\ M = M^t$
$M \in W\ \Rightarrow\ M = -M^t$
Seja $A \in V$, $A = \dfrac{1}{2}(A + A^t) + \dfrac{1}{2}(A - A^t)\ {\large (I)}$.
$(A + A^t)^t = A^t + A\ \Rightarrow\ (A + A^t) \in U\ {\large (II)}$
$(A - A^t)^t = -(A - A^t)\ \Rightarrow\ (A - A^t) \in W\ {\large (III)}$
${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \wedge\ {\large (III)}\ \Rightarrow\ V = U + W\ {\large (IV)}$
Seja $M \in U\ \wedge\ M \in W$:
$M = M^t\ \wedge\ -M = M^t\ \Rightarrow\ M = -M\ \Rightarrow\ M = O\ \Rightarrow\ U \cap W = \{O\}\ {\large (V)}$.
${\large (IV)}\ \wedge\ {\large (V)}\ \Rightarrow\ V = U \oplus W$
Quod Erat Demonstrandum.
sexta-feira, 14 de janeiro de 2022
Os lados de um triângulo medem $5\ cm$, $7\ cm$ e $8\ cm$. Qual a medida da mediana relativa ao maior lado?
Seja $\theta$ o ângulo adjacente aos lados de medida $5$ e $8$:
$49 = 25 + 64 - 80\cos \theta\ \therefore\ \theta = \arccos \dfrac{1}{2}$.
Seja $m$ a medida da mediana relativa ao maior lado:
$m^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \dfrac{1}{2}\ \therefore\ \fbox{$m = \sqrt{21}\ cm$}$.
A sequência $\left(\dfrac{\sqrt{2} + 1}{2}, a, \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}\right)$ é uma PG. Qual o valor de $a$?
Resolução:
$a = \pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{2} + 1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}} = \pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \fbox{$\pm\dfrac{1}{2}$}$
Encontrar o ângulo inscrito $\alpha$.
Seja $O$ o centro da circunferência.
$m(A\hat{O}B) = 180^o - 48^o = 132^o$
$\alpha = m(A\hat{Q}B) = \dfrac{360^o - m(A\hat{O}B)}{2} = \dfrac{228^o}{2}$
$\fbox{$\alpha = 114^o$}$
Resolver a equação $x + \dfrac{2x}{3} + \dfrac{4x}{9} + \dots = 18$.
$x\underbrace{\left[\displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^i\right]}_{(1 - 2/3)^{-1}} = 18\ \Rightarrow\ 3x = 18$
$S = \{6\}$
Se $A'_{k,p}$ é o número de arranjos com repetição de $k$ elementos tomados $p$ a $p$, resolver as equações $A'_{k,2} = 121$ e $A'_{5,k'} = 625$.
$k^2 = 121\ \Rightarrow\ k = 11$
$5^{k'} = 625\ \Rightarrow\ k' = \log_5 625 = 4$
$U = \{(a, b, c)\ :\ a = b = c\}$ e $W = \{(0, b, c)\}$, $\mathbb{R}^3 = U \oplus W$.
$\{(0, 0, 0)\} = U \cap W\ {\large (I)}$
Seja $(a, b, c)$ um vetor do $\mathbb{R}^3$:
$(a, b, c) = (a, a, a) + (0, b - a, c - a)\ \Rightarrow\ \mathbb{R}^3 = U + W\ {\large (II)}$.
${\large (I)}\ \wedge\ {\large (II)}\ \Rightarrow\ \mathbb{R}^3 = U \oplus W$
Quod Erat Demonstrandum.
quinta-feira, 13 de janeiro de 2022
Alguns senos e cossenos de nx.
$\sin (2x)=2\,\cos x\,\sin x$
$\cos (2x)=\cos ^2x-\sin ^2x$
$\sin (3x)=3\,\cos ^2x\,\sin x-\sin ^3x$
$\cos (3x)=\cos ^3x-3\,\cos x\,\sin ^2x$
$\sin (4x)=4\,\cos ^3x\,\sin x-4\,\cos x\,\sin ^3x$
$\cos (4x)=\sin ^4x-6\,\cos ^2x\,\sin ^2x+\cos ^4x$
$\sin (5x)=\sin ^5x-10\,\cos ^2x\,\sin ^3x+5\,\cos ^4x\,\sin x$
$\cos (5x)=5\,\cos x\,\sin ^4x-10\,\cos ^3x\,\sin ^2x+\cos ^5x$
$\sin (6x)=6\,\cos x\,\sin ^5x-20\,\cos ^3x\,\sin ^3x+6\,\cos ^5x\,\sin x$
$\cos (6x)=-\sin ^6x+15\,\cos ^2x\,\sin ^4x-15\,\cos ^4x\,\sin ^2x+\cos ^6x$
$\sin (7x)=-\sin ^7x+21\,\cos ^2x\,\sin ^5x-35\,\cos ^4x\,\sin ^3x+7\,\cos ^6x\,\sin x$
$\cos (7x)=-7\,\cos x\,\sin ^6x+35\,\cos ^3x\,\sin ^4x-21\,\cos ^5x\,\sin ^2x+\cos ^7x$
$\sin (8x)=-8\,\cos x\,\sin ^7x+56\,\cos ^3x\,\sin ^5x-56\,\cos ^5x\,\sin ^3x+8\,\cos ^7x\,\sin x$
$\cos (8x)=\sin ^8x-28\,\cos ^2x\,\sin ^6x+70\,\cos ^4x\,\sin ^4x-28\,\cos ^6x\,\sin ^2x+\cos ^8x$
$\sin (9x)=\sin ^9x-36\,\cos ^2x\,\sin ^7x+126\,\cos ^4x\,\sin ^5x-84\,\cos ^6x\,\sin ^3x+9\,\cos ^8x\,\sin x$
$\cos (9x)=9\,\cos x\,\sin ^8x-84\,\cos ^3x\,\sin ^6x+126\,\cos ^5x\,\sin ^4x-36\,\cos ^7x\,\sin ^2x+\cos ^9x$
${\small \sin (10x)=10\,\cos x\,\sin ^9x-120\,\cos ^3x\,\sin ^7x+252\,\cos ^5x\,\sin ^5x-120\,\cos ^7x\,\sin ^3x+10\,\cos ^9x\,\sin x}$
${\small \cos (10x)=-\sin ^{10}x+45\,\cos ^2x\,\sin ^8x-210\,\cos ^4x\,\sin ^6x+210\,\cos ^6x\,\sin ^4x-45\,\cos ^8x\,\sin ^2x+\cos ^{10}x}$
${\scriptsize \sin (11x)=-\sin ^{11}x+55\,\cos ^2x\,\sin ^9x-330\,\cos ^4x\,\sin ^7x+462\,\cos ^6x\,\sin ^5x-165\,\cos ^8x\,\sin ^3x+11\,\cos ^{10}x\,\sin x}$
${\scriptsize \cos (11x)=-11\,\cos x\,\sin ^{10}x+165\,\cos ^3x\,\sin ^8x-462\,\cos ^5x\,\sin ^6x+330\,\cos ^7x\,\sin ^4x-55\,\cos ^9x\,\sin ^2x+\cos ^{11}x}$
${\tiny \sin (12x)=-12\,\cos x\,\sin ^{11}x+220\,\cos ^3x\,\sin ^9x-792\,\cos ^5x\,\sin ^7x+792\,\cos ^7x\,\sin ^5x-220\,\cos ^9x\,\sin ^3x+12\,\cos ^{11}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (12x)=\sin ^{12}x-66\,\cos ^2x\,\sin ^{10}x+495\,\cos ^4x\,\sin ^8x-924\,\cos ^6x\,\sin ^6x+495\,\cos ^8x\,\sin ^4x-66\,\cos ^{10}x\,\sin ^2x+\cos ^{12}x}$
${\tiny \sin (13x)=\sin ^{13}x-78\,\cos ^2x\,\sin ^{11}x+715\,\cos ^4x\,\sin ^9x-1716\,\cos ^6x\,\sin ^7x+1287\,\cos ^8x\,\sin ^5x-286\,\cos ^{10}x\,\sin ^3x+13\,\cos ^{12}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (13x)=13\,\cos x\,\sin ^{12}x-286\,\cos ^3x\,\sin ^{10}x+1287\,\cos ^5x\,\sin ^8x-1716\,\cos ^7x\,\sin ^6x+715\,\cos ^9x\,\sin ^4x-78\,\cos ^{11}x\,\sin ^2x+\cos ^{13}x}$
${\tiny \sin (14x)=14\,\cos x\,\sin ^{13}x-364\,\cos ^3x\,\sin ^{11}x+2002\,\cos ^5x\,\sin ^9x-3432\,\cos ^7x\,\sin ^7x+2002\,\cos ^9x\,\sin ^5x-364\,\cos ^{11}x\,\sin ^3x+14\,\cos ^{13}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (14x)=-\sin ^{14}x+91\,\cos ^2x\,\sin ^{12}x-1001\,\cos ^4x\,\sin ^{10}x+3003\,\cos ^6x\,\sin ^8x-3003\,\cos ^8x\,\sin ^6x+1001\,\cos ^{10}x\,\sin ^4x-91\,\cos ^{12}x\,\sin ^2x+\cos ^{14}x}$
${\tiny \sin (15x)=-\sin ^{15}x+105\,\cos ^2x\,\sin ^{13}x-1365\,\cos ^4x\,\sin ^{11}x+5005\,\cos ^6x\,\sin ^9x-6435\,\cos ^8x\,\sin ^7x+3003\,\cos ^{10}x\,\sin ^5x-455\,\cos ^{12}x\,\sin ^3x+15\,\cos ^{14}x\,\sin x}$
${\tiny \cos (15x)=-15\,\cos x\,\sin ^{14}x+455\,\cos ^3x\,\sin ^{12}x-3003\,\cos ^5x\,\sin ^{10}x+6435\,\cos ^7x\,\sin ^8x-5005\,\cos ^9x\,\sin ^6x+1365\,\cos ^{11}x\,\sin ^4x-105\,\cos ^{13}x\,\sin ^2x+\cos ^{15}x}$
Alguns valores precisos de senos e cossenos.
$\sin \frac{\pi}{2}=1$
$\cos \frac{\pi}{2}=0$
$\sin \frac{\pi}{4}={{1}\over{\sqrt{2}}}$
$\cos \frac{\pi}{4}={{1}\over{\sqrt{2}}}$
$\sin \frac{\pi}{8}={{\sqrt{\sqrt{2}-1}}\over{2^{{{3}\over{4}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{8}={{\sqrt{\sqrt{2}+1}}\over{2^{{{3}\over{4}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{16}={{\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}}\over{2^{{{7}\over{8}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{16}={{\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}\over{2^{{{7}\over{8}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{32}={{\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}-\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}\over{2^{{{15}\over{16}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{32}={{\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}\over{2^{{{15}\over{16}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{64}={{\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}-\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}\over{2^{{{31}\over{32}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{64}={{\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}\over{2^{{{31}\over{32}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{128}={{\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}-\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}\over{2^{{{63}\over{64}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{128}={{\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}\over{2^{{{63}\over{64}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{256}={{\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}-\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}\over{2^{{{127}\over{128}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{256}={{\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}\over{2^{{{127}\over{128}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{512}={{\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}-\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}\over{2^{{{255}\over{256}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{512}={{\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}\over{2^{{{255}\over{256}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{1024}={{\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}-\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}\over{2^{{{511}\over{512}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{1024}={{\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}\over{2^{{{511}\over{512}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{2048}={{\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}-\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}\over{2^{{{1023}\over{1024}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{2048}={{\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}\over{2^{{{1023}\over{1024}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{4096}={{\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}-\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}\over{2^{{{2047}\over{2048}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{4096}={{\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}\over{2^{{{2047}\over{2048}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{8192}={{\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}-\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{4095}\over{4096}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{8192}={{\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}+\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{4095}\over{4096}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{16384}={{\sqrt{2^{{{4095}\over{4096}}}-\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}+\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{8191}\over{8192}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{16384}={{\sqrt{2^{{{4095}\over{4096}}}+\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}+\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{8191}\over{8192}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{32768}={{\sqrt{2^{{{8191}\over{8192}}}-\sqrt{2^{{{4095}\over{4096}}}+\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}+\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{16383}\over{16384}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{32768}={{\sqrt{2^{{{8191}\over{8192}}}+\sqrt{2^{{{4095}\over{4096}}}+\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}+\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{16383}\over{16384}}}}}$
${\small \sin \frac{\pi}{65536}={{\sqrt{2^{{{16383}\over{16384}}}-\sqrt{2^{{{8191}\over{8192}}}+\sqrt{2^{{{4095}\over{4096}}}+\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}+\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{32767}\over{32768}}}}}}$
${\small \cos \frac{\pi}{65536}={{\sqrt{2^{{{16383}\over{16384}}}+\sqrt{2^{{{8191}\over{8192}}}+\sqrt{2^{{{4095}\over{4096}}}+\sqrt{2^{{{2047}\over{2048}}}+\sqrt{2^{{{1023}\over{1024}}}+\sqrt{2^{{{511}\over{512}}}+\sqrt{2^{{{255}\over{256}}}+\sqrt{2^{{{127}\over{128}}}+\sqrt{2^{{{63}\over{64}}}+\sqrt{2^{{{31}\over{32}}}+\sqrt{2^{{{15}\over{16}}}+\sqrt{2^{{{7}\over{8}}}+\sqrt{2^{{{3}\over{4}}}+\sqrt{\sqrt{2}+1}}}}}}}}}}}}}}}\over{2^{{{32767}\over{32768}}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{3}={{\sqrt{3}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{3}={{1}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{6}={{1}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{6}={{\sqrt{3}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{12}={{\sqrt{2-\sqrt{3}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{12}={{\sqrt{\sqrt{3}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{24}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{3}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{24}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{48}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{48}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{96}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{96}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{192}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{192}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{384}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{384}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{768}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{768}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{1536}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{1536}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{3072}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{3072}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{6144}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{6144}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{12288}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{12288}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{24576}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{24576}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{49152}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{49152}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\sin \frac{\pi}{98304}={{\sqrt{2-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{98304}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}+2}}\over{2}}$
$\cos \frac{\pi}{5}={{\sqrt{5}+1}\over{4}}$
$\sin \frac{\pi}{10}={{\sqrt{3-\sqrt{5}}}\over{2^{{{3}\over{2}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{10}={{\sqrt{\sqrt{5}+5}}\over{2^{{{3}\over{2}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{20}={{\sqrt{2^{{{3}\over{2}}}-\sqrt{\sqrt{5}+5}}}\over{2^{{{5}\over{4}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{20}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}}\over{2^{{{5}\over{4}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{40}={{\sqrt{2^{{{5}\over{4}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}}}\over{2^{{{9}\over{8}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{40}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}}\over{2^{{{9}\over{8}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{80}={{\sqrt{2^{{{9}\over{8}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}}}\over{2^{{{17}\over{16}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{80}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}}\over{2^{{{17}\over{16}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{160}={{\sqrt{2^{{{17}\over{16}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}}}\over{2^{{{33}\over{32}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{160}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}}\over{2^{{{33}\over{32}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{320}={{\sqrt{2^{{{33}\over{32}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}}}\over{2^{{{65}\over{64}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{320}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}}\over{2^{{{65}\over{64}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{640}={{\sqrt{2^{{{65}\over{64}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}}}\over{2^{{{129}\over{128}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{640}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}}\over{2^{{{129}\over{128}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{1280}={{\sqrt{2^{{{129}\over{128}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}}}\over{2^{{{257}\over{256}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{1280}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}}\over{2^{{{257}\over{256}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{2560}={{\sqrt{2^{{{257}\over{256}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}}}\over{2^{{{513}\over{512}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{2560}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}}\over{2^{{{513}\over{512}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{5120}={{\sqrt{2^{{{513}\over{512}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}}}\over{2^{{{1025}\over{1024}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{5120}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}}\over{2^{{{1025}\over{1024}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{10240}={{\sqrt{2^{{{1025}\over{1024}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}}}\over{2^{{{2049}\over{2048}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{10240}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}}\over{2^{{{2049}\over{2048}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{20480}={{\sqrt{2^{{{2049}\over{2048}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}}}\over{2^{{{4097}\over{4096}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{20480}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}+2^{{{2049}\over{2048}}}}}\over{2^{{{4097}\over{4096}}}}}$
$\sin \frac{\pi}{40960}={{\sqrt{2^{{{4097}\over{4096}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}+2^{{{2049}\over{2048}}}}}}\over{2^{{{8193}\over{8192}}}}}$
$\cos \frac{\pi}{40960}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}+2^{{{2049}\over{2048}}}}+2^{{{4097}\over{4096}}}}}\over{2^{{{8193}\over{8192}}}}}$
${\small \sin \frac{\pi}{81920}={{\sqrt{2^{{{8193}\over{8192}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}+2^{{{2049}\over{2048}}}}+2^{{{4097}\over{4096}}}}}}\over{2^{{{16385}\over{16384}}}}}}$
${\small \cos \frac{\pi}{81920}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}+2^{{{2049}\over{2048}}}}+2^{{{4097}\over{4096}}}}+2^{{{8193}\over{8192}}}}}\over{2^{{{16385}\over{16384}}}}}}$
${\small \sin \frac{\pi}{163840}={{\sqrt{2^{{{16385}\over{16384}}}-\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}+2^{{{2049}\over{2048}}}}+2^{{{4097}\over{4096}}}}+2^{{{8193}\over{8192}}}}}}\over{2^{{{32769}\over{32768}}}}}}$
${\small \cos \frac{\pi}{163840}={{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}+5}+2^{{{3}\over{2}}}}+2^{{{5}\over{4}}}}+2^{{{9}\over{8}}}}+2^{{{17}\over{16}}}}+2^{{{33}\over{32}}}}+2^{{{65}\over{64}}}}+2^{{{129}\over{128}}}}+2^{{{257}\over{256}}}}+2^{{{513}\over{512}}}}+2^{{{1025}\over{1024}}}}+2^{{{2049}\over{2048}}}}+2^{{{4097}\over{4096}}}}+2^{{{8193}\over{8192}}}}+2^{{{16385}\over{16384}}}}}\over{2^{{{32769}\over{32768}}}}}}$
Os termos $8$, $3$, $10$, $7$, $6$, $5$ e $15$ são $7$ dos $9$ de uma sequência. Qual a maior mediana possível da sequência?
Para que a mediana seja máxima, devemos adicionar termos maiores que o maior. Assim o maior termo central possível (a sequência tem um número ímpar de termos) é $8$.
Um produto teve um aumento total de preço de $61\%$ por meio de dois aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de $15\%$, de quanto foi o segundo aumento?
Suponha $p$ o preço original do produto, e $x - 1$ o percentual de aumento:
$1,61 \cdot p = x \cdot 1,15 \cdot p\ \Rightarrow\ x = \dfrac{1,61}{1,15} = 1,4\ \Rightarrow\ x - 1 = \fbox{$40\%$}$.
Em uma sequência de $n$ termos, $n > 1$, um termo é $1 - \dfrac{1}{n}$ e os restantes são iguais a $1$. Qual a média aritmética dos $n$ termos?
A soma dos $n - 1$ termos iguais a $1$ será $n - 1$.
$m = \dfrac{n - 1 + 1 - \dfrac{1}{n}}{n} = \dfrac{n - \dfrac{1}{n}}{n} = \fbox{$1 - \dfrac{1}{n^2}$}$
domingo, 9 de janeiro de 2022
quinta-feira, 6 de janeiro de 2022
Soma dos termos de uma PG infinita convergente.
De $S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$, com $|q| < 1$:
$\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty} S_n = \fbox{$\dfrac{a_1}{1 - q}$}$.
Soma dos termos de uma PG finita.
$S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i$
Se $q = 1$, $S_n = na_1$. Se não:
$qS_n = \left(\displaystyle\sum_{i=2}^n a_i\right) + qa_n$
$qS_n - S_n = \cancelto{a_1 q^n}{qa_n} - a_1$
$\fbox{$S_n = \dfrac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$}$.
Soma dos termos de uma PA finita.
Observemos que os termos equidistantes dos extremos de uma PA finita tem soma constante:
$a_1 + a_n = a_{1 + p} + a_{n - p},\ p \in \mathbb{N},\ p < n$.
$2S_n = \displaystyle\sum_{i=0}^{n - 1} \left(a_{1 + i} + a_{n - i}\right) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n - 1} \left(a_1 + a_n\right) = n\left(a_1 + a_n\right)$
Logo, $\fbox{$S_n = \dfrac{\left(a_1 + a_n\right)n}{2}$}$.
Posições dos elementos distinguidos em matrizes com o mesmo espaço de linhas.
Se duas matrizes escalonadas tem o mesmo espaço de linhas, os elementos distinguidos estão nas mesmas posições. Ou seja, se $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{k\ell})$ tem o mesmo espaço de linhas, se $a_{ij_m}$ e $b_{k\ell_n}$ são os elementos distinguidos das linhas $i$ de $A$ e $B$, $j_m = \ell_n$ para $i = k$.
Tomemos a linha $R_1$ de $A$. $R_1$ é uma combinação linear das linhas de $B$. Como, $a_{1j_1} = \displaystyle\sum_{o = 1}^s c_o b_{o \ell_1} = c_1 b_{1 \ell_1}$ e $a_{1j_1} \neq 0$ e $b_{1 \ell_1} \neq 0$, $c_1 \neq 0$, logo $j_1 = \ell_1$.
Provemos agora que a matriz $A'$, resultante da remoção da primeira linha de $A$ tem o mesmo espaço de linhas da matriz $B'$, resultante da remoção da primeira linha da matriz $B$.
Sejam $R_i,\ i \neq 1$, uma linha de $A$ e $R'_k$ uma linha de $B$, $R_i$ é uma combinação linear das linhas de $B$. Como $a_{ij_1} = 0,\ \forall i \neq 1$, $R_i = \displaystyle\sum_{o=2}^s c_o R'_o$, logo $A'$ e $B'$ tem o mesmo espaço de linhas.
Procedendo recursivamente estas duas etapas até que se tenha chegado à última linha não nula de $A$, repetindo todo o procedimento permutando-se $A$ e $B$, o teorema está demonstrado.
Quod Erat Demonstrandum.
Se uma matriz quadrada $A$ tem uma linha nula, não tem inversa.
Seja $R_i$ a linha nula de $A$. O produto de $A$ e qualquer outra matriz quadrada de mesma ordem terá a linha $i$ nula.
Como $I$ não tem linhas nulas, $A$ não é invertível.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $A$ uma matriz invertível, $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$.
Seja $B = A^{-1}$, $I = I^t = (AB)^t = B^t A^t$.
Logo $B^t$ é a inversa de $A^t$, ou seja, $(A^{-1})^t = (A^t)^{-1}$.
Quod Erat Demonstrandum.
Seja $V$ o espaço vetorial das matrizes quadradas $n\ x\ n$, o subconjunto $W$ das matrizes que comutam com $T$ formam um subespaço.
$W$ não é vazio, pois $0T = T0 = 0$.
Sejam $a$ e $b$ escalares e $M_1$ e $M_2$ elementos de $W$:
$(aM_1 + bM_2)T = aM_1 T + bM_2 T = aTM_1 + bTM_2 = TaM_1 + TbM_2 = T(aM_1 + bM_2)$.
Logo $aM_1 + bM_2 \in W$.
Quod Erat Demonstrandum.
quarta-feira, 5 de janeiro de 2022
Calcular $I\ =\ \displaystyle\int \sin (\sqrt{x})\ dx$.
$I\ =\ x\sin (\sqrt{x}) - \displaystyle\int \dfrac{x\cos (\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\ dx$
Seja $u = \sqrt{x}$, $du = \dfrac{dx}{2\sqrt{x}}$.
$I\ =\ x\sin (\sqrt{x}) - \displaystyle\int u^2\cos u\ du$
$I\ =\ x\sin (\sqrt{x}) - u^2\sin u + 2\displaystyle\int u\sin u\ du$
$I\ =\ x\sin (\sqrt{x}) - u^2\sin u - 2u\cos u + 2\displaystyle\int \cos u\ du$
$I\ =\ \cancel{x\sin (\sqrt{x})} - \cancel{x\sin (\sqrt{x})} - 2\sqrt{x}\cos (\sqrt{x}) + 2\sin (\sqrt{x}) + c$
$\fbox{$I = -2\sqrt{x}\cos (\sqrt{x}) + 2\sin (\sqrt{x}) + c$}$
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