Média aritmética maior que a média geométrica de dois reais não negativos.

Sejam $p$ e $q$ dois reais não negativos, mostre que sua média aritmética é maior que sua média geométrica.

 

$(p - q)^2 \ge 0\ \Rightarrow\ p^2 + q^2 \ge 2pq\ \Rightarrow\ p^2 + 2pq + q^2 \ge 4pq\ \Rightarrow$

 

$\Rightarrow\ \dfrac{(p + q)^2}{4} \ge pq\ \overset{p, q \ge 0}{\Rightarrow}\ \underset{MA}{\underbrace{\dfrac{q + q}{2}}}\ \ge\ \underset{MG}{\underbrace{\sqrt{pq}}}$

Quod Erat Demonstrandum.