Calculadora: divisão de polinômios passo a passo.

Entre com uma string contendo os polinômios de coeficientes reais dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo.

Exemplo:

Entre com "2xx - 3x + 5, x - 1".




Divisão de polinômios passo a passo:

A divisão irá aparecer aqui...

Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini, dividir $x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ por $2x - 4$.

Sejam $Q(x)$ o polinômio quociente e $R(x)$ o polinômio resto.

$x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = \underset{q(x)}{\underbrace{2Q(x)}}(x - 2) + R(x)$

$\begin{array}{l | l}2 & \begin{matrix} 1 & -2 & 3 & -1\end{matrix}\\ \hline\\ & \begin{matrix}1 & 0 & 3 & 5\end{matrix}\end{array}$

Logo $Q(x) = \dfrac{q(x)}{2} = \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{3}{2}$ e $R(x) = 5$.

Determinar o valor de $a$ sabendo que o resto da divisão de $P(x) = 8x^3 + ax^2 - 11x + 5$ por $x - 5$ é $1050$.

$P(5) = 1050\ \Rightarrow\ 8 \cdot 125 + a \cdot 25 - 11 \cdot 5 + 5 = 1050\ \Rightarrow\ \fbox{$a = 4$}$

Qual a soma dos coeficientes de um polinômio do terceiro grau sabendo que é divisível por $x - 1$?

Seja $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tal polinômio.

Se ele é divisível por $x - 1$, $P(1) = 0$. Logo:

$\fbox{$a + b + c + d = 0$}$.

Calculadora: completar quadrado.

Entre com uma string contendo um polinômio do segundo grau, em "x", de coeficientes reais, a completar:

Exemplo:

Input: "4xx - 8x + 3". Output: $(2x - 2)^2 - 1$.




Quadrado completado:

Raízes complexas não reais conjugadas.

Seja $p \in \mathbb{R}[x]$ e $\alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$. Mostre que

$\bullet$ $p(\overline{\alpha}) = \overline{p(\alpha)}$;

$\bullet$ $p(\alpha) = 0\ \Leftrightarrow\ p(\overline{\alpha}) = 0$;

$\bullet$ Se $\alpha$ é raiz de $p$, e $p = x^2 + bx + c$, $p = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})$.

Resolução:

Primeira sentença:

$p(\overline{\alpha}) = \displaystyle\sum_{i=0}^n a_i (\overline{\alpha})^i = \displaystyle\sum_{i=0}^n \overline{a_i}(\overline{\alpha})^i = \displaystyle\sum_{i=0}^n \overline{a_i \alpha^i} = \overline{p(\alpha)}$ ${\Large (I)}$

Segunda sentença:

$p(\alpha) = 0\ \Leftrightarrow\ \underset{\text{Por (I).}}{\underbrace{\overline{p(\alpha)} = p(\overline{\alpha})}} = 0$ ${\Large (II)}$

Terceira sentença:

Por D'Alembert, $p$ é divisível por $(x - \alpha)$; por (II), $p$ também é divisível por $(x - \overline{\alpha})$, logo $x^2 + bx + c = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})q(x)$; comparando os termos em $x^2$, $q(x) = 1$.

Quod Erat Demonstrandum.

Encontre o termo independente de $x$ no desenvolvimento de $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} - 3x\right)^6$.

Seja $p$, iniciando por $0$, a ordem do termo segundo as potências decrescentes da primeira parcela do binômio.

$\dfrac{p - 6}{2} + p = 0\ \Rightarrow\ p = 2$

Logo o termo independente é $\displaystyle{6 \choose 2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^{(6 - 2)}(-3x)^2 = \fbox{$135$}$.

Valor numérico de um polinômio dadas algumas condições.

Seja $P(x) = Q(x)R(x)S(x)$, com $\partial P = 5$, $\partial Q = 3$ e $\partial R = 2$. Se $P(5) = Q(5) = R(5) = 2$, quanto é $S(5)$?

Resolução:

$\partial S = \partial P - \partial Q - \partial R = 5 - 3 - 2 = 0$, logo $S(x)$ é constante.

$P(5) = Q(5) \cdot R(5) \cdot S(5)\ \Rightarrow\ 2 = 2 \cdot 2 \cdot S(5)\ \Rightarrow\ \fbox{$S(5) = \dfrac{1}{2}$}$

Decomposição de frações com binômios no denominador em frações parciais.

Sejam $p, r \in \mathbb{R}[x]$, $a \in \mathbb{R}$ com $r(a) \neq 0$ e $n \in \mathbb{N}$. Então existem $B \in \mathbb{R}$ e $q \in \mathbb{R}[x]$ tais que

$\dfrac{p(x)}{r(x)(x - a)^n} = \dfrac{q(x)}{r(x)(x - a)^{n-1}} + \dfrac{B}{(x - a)^n}$.

Resolução:

Basta mostrar que $p(x) = q(x)(x - a) + Br(x)$.

Definamos $B = \dfrac{p(a)}{r(a)}$. Definamos também $h(x) = p(x) - Br(x)$.

Obviamente $h(a) = 0$, logo, por D'Alembert, $h(x) = q(x)(x - a)$.

Logo $p(x) = q(x)(x - a) + Br(x)$.

C.Q.D.

Utilizando Briot-Ruffini, divida $x^2 - 6x + 5$ por $2x - 4$.

$x^2 - 6x + 5 = Q(x) \cdot (2x - 4) + R(x) = 2Q(x) \cdot (x - 2) + R(x),\ \partial R(x) < \partial (2x - 4)$.

Logo, obtido o resultado do dividendo por (x - 2), devemos dividir o quociente por $2$.

$\begin{array}{c c c c c}2 & | & 1 & -6 & 5 \\ \_ & \_ & \_ & \_ & \_ \\ \  & | & 1 & -4 & -3\end{array}$

Logo $\fbox{$x^2 - 6x + 5 = (\dfrac{x}{2} - 2)(2x - 4) - 3$}$.

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}$

Seja $\alpha\ \in\ \mathbb{N}$.

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}\ =\ \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)\sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i}{(x-1)}\ =$

$=\ \lim_{x \rightarrow 1} \sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i\ = \fbox{$\alpha$}$

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Resolução:

$f'(x)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i - x^n}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^{(i-1)}\ =\ \fbox{$nx^{n-1}$}$

Comprimento do gráfico de uma função polinomial.

Seja o polinômio $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$, de domínio real.

Vamos encontrar o comprimento do seu gráfico no intervalo $[a, b]$. Para tal, do Cálculo, temos a fórmula, que nos dá o comprimento de uma função $f$ diferenciável, e de derivada contínua, qualquer, no intervalo $[a, b]$:

$L(\lambda)\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$

Assim:

$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (d\dfrac{\sum_{i=0}^n a_i x^i}{dx})^2}\ dx$

$\fbox{$L\ =\ \int_a^b \sqrt{1 + (\sum_{i=0}^{n-1} (i + 1)a_{i+1} x^i)^2}\ dx$}$

Exemplo:

Seja $P(x) = x^2$ e o intervalo $[0, x_0]$:

$L\ =\ \int_0^{x_0} \sqrt{1 + (2x)^2}\ dx$

Seja $x = \dfrac{\tan \theta}{2},\ \theta \in (-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$, $dx\ =\ \dfrac{\sec^2 x}{2}\ d\theta$.

$L\ =\ \int_0^{\arctan 2x_0} \dfrac{\sec^3 \theta}{2}\ d\theta\ =$

$= (\dfrac{\ln |\sec \theta + \tan \theta| + (\sec \theta)(\tan \theta)}{4})\mid_0^{\arctan 2x_0}$

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{1 + 4x_0^2} + 2x_0| + 2x_0\sqrt{1 + 4x_0^2}}{4}$

Seja, por exemplo, $x_0 = 2$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{17} + 4| + 4\sqrt{17}}{4} \approx 4,6468$

Agora, por exemplo, $x_0 = 3$:

$L = \dfrac{\ln |\sqrt{37} + 6| + 6\sqrt{37}}{4} \approx 9,7471$

Abaixo, em uma tabela, mais pares de valores de $x_0$ e $L$ aproximado para $P(x) = x^2$:

Seja agora, como outro exemplo, $P(x) = x^2 - x$ e o intervalo $[0, x_0]$:

Com um pouco de trabalho ou utilizando uma calculadora ou software, pode-se chegar a:

$L = \dfrac{8x_0^3\sqrt{u} + 4x_0^2 \ln |2x_0 - 1 + \sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{12x_0^2\sqrt{u} - 4x_0 \ln |2x_0 - 1 +\sqrt{u}|}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} +$

$+ \dfrac{8x_0\sqrt{u} + 2 \ln |2x_0 - 1| + \sqrt{u} - 2\sqrt{u}}{16x_0^2 - 16x_0 + 8} -$

$- \dfrac{\ln (\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2}}{4}$

Com $u = 4x_0^2 - 4x_0 + 2$.

Construindo a tabela com auxílio de um software:

Demonstração: todo polinômio de grau ímpar tem ao menos uma raiz.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{C}$, pelo teorema fundamental da Álgebra, a demonstração é imediata.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{R}$, observemos que a função cuja lei de formação é o polinômio é uma função contínua. Seja $f$ tal função:

$f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$.

$n = 2k - 1,\ k \in \mathbb{N}$.

Temos 2 casos a considerar:

(I) $a_n > 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = -\infty$

(II) $a_n < 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = +\infty$

Em ambos os casos, pelo TVI, existe ao menos um $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$.

Calculadora: derivada de um polinômio.

Entre com, separados por vírgula ",": primeiramente o polinômio, depois cada uma das variáveis com relação às quais vai haver a derivação, e, seguindo a variável, após dois pontos ":", quantas vezes irá haver a derivação.:

Exemplo:

Input: "3xxxy + 2xxyy + z, x : 2, y : 1".
Output: "18x + 8y".




Derivada:

Calculadora: valor numérico de um polinômio.

Separados por vírgula ",", entre primeiramente com o polinômio, depois os valores a serem atribuídos às variáveis: a variável, depois o caractere "=", e depois o valor real:

Exemplo:

Input: "3xyz + xx - 1, x = 4, y = 5".

Output: "60z + 15".




Valor numérico do polinômio:

Calculadora: divisão de polinômios de uma variável.

Entre com uma string contendo os polinômios de coeficientes reais dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo:

Exemplo:

Input: "2xx - 3x + 5, x - 1".

Output:

Quociente: 2x - 1

Resto: 4




Divisão:

Calculadora: multiplicação de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem multiplicados:

Exemplo:

Input: "2x + 3y, 4 + z". Output: "2xz + 3yz + 8x + 12y".




Polinômio produto:

Calculadora: soma de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem somados:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5xx, 2y, -xx + 7x". Output: "4xx + 9x - y".




Polinômio soma:

Calculadora: reduzir termos semelhantes.

Entre com uma string contendo um polinômio de coeficientes reais a ter seus termos reduzidos:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5.5xx - y + 10xx". Output: "15.5xx + 2x - 4y".




Polinômio reduzido: