Determine a excentricidade da hipérbole de equação
$9x^2 - 4y^2 - 18x + 16y + 29 = 0$.
Resolução:
Primeiramente vamos reorganizar as variáveis de modo que os coeficientes de
$x^2$ e
$y^2$ sejam
$1$:
$9(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 4y) + 29 = 0$Agora vamos completar os quadrados:
$9(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 - 4y + 4) + 29 = 9 \cdot 1 - 4 \cdot 4$$9(x - 1)^2 - 4(y - 2)^2 = - 36$Temos então a forma reduzida da hipérbole:
$\dfrac{(y - 2)^2}{9} - \dfrac{(x - 1)^2}{4} = 1$Logo a hipérbole tem centro
$(1, 2)$, eixo real paralelo ao eixo das ordenadas, semi-eixo real
$a = 3$ e semi-eixo imaginário
$b = 2$.
Vamos encontrar a semi-distância focal
$c$:
$c^2 = a^2 + b^2$$c = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$Logo sua excentricidade será
$e = \dfrac{c}{a} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{13}}{3}$}$