Exercício: melhor local para se sentar no cinema.

A tela do cinema CABRALPLEX está a uma distância $K$ do chão e possui altura $L$. Um espectador vai se sentar nesta sala, que é plana, de modo que sentado em qualquer assento a distância entre seus olhos e o solo é $h$. A que distância $d$ da tela ele deve ficar sentado para que perceba a maior imagem possível da tela? Assumimos que $K > h$ e $d > 0$.

Resolução:
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{K + L - h}{d}$
 

$\tan \varphi\ =\ \dfrac{K - h}{d}$
 

$\tan (\theta + \varphi)\ =\ \dfrac{(\tan \theta) + (\tan \varphi)}{1 - (\tan \theta)(\tan \varphi)}$
 

Chamemos $y\ =\ \tan \theta$ e $\alpha = K - h$.
 

$\dfrac{K + L -h}{d} = \dfrac{y + \dfrac{\alpha}{d}}{1 - \dfrac{\alpha y}{d}}$
 

$y = \dfrac{dL}{d^2 + \alpha^2 + \alpha L}$
 

$\theta$ será máximo quando $y$ for máximo.
 

Observemos que a $\lim_{d \rightarrow 0} y = 0$ e que $\lim_{d \rightarrow +\inf} y = 0$.
 

$y' = \dfrac{L(d^2 + \alpha^2 + \alpha L) - 2d^2L}{(d^2 + \alpha^2 + \alpha L)^2}$
 

$y' = 0\ \Rightarrow\ \fbox{$d = \sqrt{(K - h)^2 + (K - h)L}$}$

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}$

Seja $\alpha\ \in\ \mathbb{N}$.

$\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{x^\alpha - 1}{x - 1}\ =\ \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)\sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i}{(x-1)}\ =$

$=\ \lim_{x \rightarrow 1} \sum_{i=0}^{\alpha - 1} x^i\ = \fbox{$\alpha$}$

Pensamento: Matemática é ciência, linguagem, arte, e jogo.

 

Meme: Newton no Gênesis.

 

Determine a reta tangente a $x + y = \sin (xy)$ em $(0, 0)$.

Determine a reta tangente a $x + y = \sin (xy)$ em $(0, 0)$.

Resolução:

Derivando implicitamente com relação a $x$:

$1 + y' = (y + xy')\cos (xy)$

Substituindo $(0, 0)$:

$1 + y' = 0\ \Rightarrow\ y' = -1$

Logo a reta tangente será:

$y - 0 = -(x - 0)\ \equiv\ \fbox{$y = -x$}$

Meme: eu, você, e a Matemática.

 

Meme: pensando em Matemática.

 

Meme: eu sei programar.

 

Meme: sem bugs.

 

Meme: organização.

 

Meme: estresse e café.

 

Meme: calm down matemáticos.

 

Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.

Aproximar por Taylor $\sqrt{65}$.

Resolução:

Seja $P_1$ o polinômio de Taylor até a primeira derivada, e tomemos $a = 64$:

$P_1 (65)\ =\ \sqrt{64} + \dfrac{(\sqrt{64})'}{1!}(65 - 64)\ =$

$=\ 8 + \dfrac{1}{16}\ = \fbox{$8,0625$}$

Utilizando uma calculadora, obtemos $\sqrt{65}\ \approx\ 8,0623$.

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}$

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{a^x - b^x}{x}\ ,\ a,b \in \mathbb{R}_+$.

$\bullet$ Primeiro caso: $a = b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{0}{x}\ = \fbox{$0$}$

$\bullet$ Segundo caso: $a \neq 0\ \wedge\ b = 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{a^x}{x}\ = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{a^x}{x}\ = -\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Terceiro caso: $a = 0\ \wedge\ b \neq 0$:

$\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{-b^x}{x}\ = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{-b^x}{x}\ = +\infty$

Logo $\fbox{$\nexists L$}$.

$\bullet$ Quarto caso: $a \neq 0\ \wedge\ b \neq 0$:

Aplicando L'Hospital:

$L\ =\ \lim_{x \rightarrow 0} [(a^x \log a) - (b^x \log b)]\ = \fbox{$\log \dfrac{a}{b}$}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} (e^x + 3x)^{1/x}\ =\ \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =$

$=\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{\log (e^x + 3x)}{x}}\ =\ e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{e^x + 3}{e^x + 3x}}\ =\ \fbox{$e^4$}$

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Pela definição, encontre a derivada de $f(x) =x^n$.

Resolução:

$f'(x)\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x + h)^n - x^n}{h}\ =\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=0}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i - x^n}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^i}{h}\ =$

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n {n \choose i} x^{(n-i)}h^{(i-1)}\ =\ \fbox{$nx^{n-1}$}$

Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Demonstre a identidade de Euler $e^{i\pi} + 1 = 0$.

Consideremos a função $f(\theta) = \dfrac{\cos \theta + i\sin \theta}{e^{i\theta}}$.

$f'(\theta) = \frac{e^{i\theta}(-\sin \theta) + e^{i\theta}\sin \theta}{e^{2i\theta}} = 0$

Pela derivada ser nula, $f$ é constante.

Tomemos $\theta = 0$, $f(0) = 1$, logo $\cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$.

Seja $\theta = \pi$: $-1 = e^{i\pi}$, logo:

$\fbox{$e^{i\pi} + 1 = 0$}$

Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.

Encontre $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x}$.

Resolução:

Definamos $u = \dfrac{1}{x}$.

Definamos $y(u) = (1 + u)^{\dfrac{4}{u}}$.

$\ln \lim_{u \rightarrow 0} y(u)\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \ln y(u)\ =$

$=\ \lim_{u \rightarrow 0} 4\dfrac{\ln (u + 1)}{u}$

Utilizando L'Hospital:

$\lim_{u \rightarrow 0} 4(\dfrac{\ln (u + 1)}{u})\ =\ \lim_{u \rightarrow 0} \dfrac{4}{u + 1}\ =\ 4$

Logo $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \dfrac{1}{x})^{4x} =\ \fbox{$e^4$}$.

Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

Seja $f$ diferenciável em $a$, demonstre que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}$.

Resolução:
 

Primeiramente demonstrarmos que $f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h}$:
 

Tomando $k = -h$, $\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h} = \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a + k)}{-k}\ =$
 

$=\ \lim_{k \rightarrow 0} \dfrac{f(a + k) - f(a)}{k}\ =\ f'(a)$.
 

Agora a demonstração principal:
 

$\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a - h)}{2h}\ =$
 

$=\ \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a) + f(a) - f(a - h)}{2h}\ =$
 

$=\ \dfrac{1}{2}(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a) - f(a - h)}{h})\ =$
 

$=\ \dfrac{2f'(a)}{2}\ =\ \fbox{$f'(a)$}$
 

Q.E.D.