Calcular $\displaystyle\int \sqrt{3 - 2s}\ ds$.

Seja $u = 3 - 2s$, $du = -2ds$.

$\displaystyle\int \sqrt{3 - 2s}\ ds\ =\ -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \sqrt{u}\ du\ =\ -\dfrac{1}{3}\sqrt{u^3} + c = \fbox{$-\dfrac{\sqrt{(3 - 2s)^3}}{3} + c$}$

Exercício: queda livre na Lua.

Na Lua, a aceleração da gravidade é $1,6\ m/s^2$. Uma pedra é solta de um penhasco na Lua e atinge sua superfície 20 segundos depois. Quão fundo ela caiu? Qual era a velocidade no instante do impacto?

$\dfrac{dv}{dt} = 1,6$

$\displaystyle\int_0^{20} 1,6\ dt = \left.1,6t\right|_0^{20} = 32$

$\displaystyle\int_0^{20} v\ dt\ =\ \dfrac{5}{8}\displaystyle\int_0^{32} v\ dv\ =\ \dfrac{5}{8}\left.\dfrac{v^2}{2}\right|_0^{32} = 320$

$\fbox{$320$ metros, e $32$ m/s}$.

Obter a primitiva de $f(x) = \left(\sec \dfrac{\pi x}{2}\right)\left(\tan \dfrac{\pi x}{2}\right)$.

$f(x) = \dfrac{\sin \dfrac{\pi x}{2}}{\cos^2 \dfrac{\pi x}{2}}$

Seja $u = \cos \dfrac{\pi x}{2}$, $du = -\dfrac{\pi}{2}\sin \dfrac{\pi x}{2}\ dx$.

$\displaystyle\int f(x)\ dx\ =\ -\dfrac{2}{\pi} \displaystyle\int \dfrac{du}{u^2}\ =\ \dfrac{2}{\pi u} + c = \fbox{$\dfrac{2\sec \dfrac{\pi x}{2}}{\pi} + c$}$

Exercício: altura de um prédio.

Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo ABC é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.

$h = 8 + 8\tan (105^\text{o} - 45^\text{o}) = 8 + 8\sqrt{3} = \fbox{$8(1 + \sqrt{3})\ \text{m}$}$

Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos quando marcam $2:40$?

$\theta = 2\pi \cdot \dfrac{2}{3} - \dfrac{\pi}{6} \cdot \left(2 + \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4\pi}{3} - \dfrac{4\pi}{9} = \dfrac{8\pi}{9}\ \text{rad}\ = \fbox{$160^\text{o}$}$

Exercício: altura de um degrau.

João trabalha em um prédio e todos os dias tem que subir uma escada de 8 degraus, que tem aproximadamente 2 metros de comprimento e 30 graus de inclinação. De acordo com a figura a seguir, determine a altura de cada degrau.

$8h = 2\sin \dfrac{\pi}{6} = 1\ \therefore\ h = 0,125 \text{m} = \fbox{$12,5 \text{cm}$}$

Exercício: determinar um lado em um triângulo.

Encontrar o valor de $x$.

$x = \dfrac{3\ \text{cm}}{\cos 30^o} = \fbox{$2\sqrt{3}\ \text{cm}$}$

Encontrar a derivada de $f(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}$.

$f'(x) = e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)} \cdot \dfrac{\cancel{x} + 1 - \cancel{x} + 1}{(x + 1)^2} = \fbox{$\dfrac{2e^{\left(\dfrac{x - 1}{x + 1}\right)}}{(x^2 + 2x + 1)}$}$

Meme: você só pensa em Matemática.

 

$10$ pessoas são escolhidas para formar dois times de futsal. Qual o número de maneiras diferentes que podemos formar os dois times.

$\displaystyle{10 \choose 5} = 252$

Como cada par foi contado duas vezes, teremos $\dfrac{252}{2} = \fbox{$126$}$ pares de times distintos.

Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade de escolhermos ao acaso, um número primo.

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\}$

$A = \{2, 3, 5\}$

$P(A) = \dfrac{\cancelto{1}{3}}{\bcancelto{4}{12}} = \fbox{$25 \%$}$

No lançamento de dois dados perfeitos, qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 6?

Os resultados do evento são $(1, 5)$, $(2, 4)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$ e $(5, 1)$. Logo, chamando tal evento de $A$, $n(A) = 5$.

Logo $\fbox{$P(A) = \dfrac{5}{36}$}$.

Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Imaginemos todos os conjuntos em que cada elemento é uma ordem em que o $5$ surgirá. Serão em número de $\displaystyle{7 \choose 3} = 35$.

O número de elementos do evento do qual desejamos saber a probabilidade será $5^4 \cdot 35$.

Logo a probabilidade procurada será $P = \dfrac{5^4 \cdot 35}{6^7} \approx \fbox{$7,8 \%$}$.

Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

Calculemos o número de elementos do evento $A$: permutações de $5$ elementos em que um se repete $2$ vezes e o outro $3$ vezes.

$n(A) = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$

Logo a probabilidade do evento $A$ é $P(A) = \dfrac{10}{2^5} = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} = \fbox{$31,25 \%$}$.

Encontrar as 3 primeiras derivadas de $y = \sqrt{5x}$.

$y' = \dfrac{5}{2\sqrt{5x}}$

$y'' = \dfrac{-25}{4\sqrt{(5x)^3}}$

$y''' = \dfrac{375}{8\sqrt{(5x)^5}}$

Obter a derivada de $f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}$.

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{x + 1}{3x - 2}}} \cdot \dfrac{\cancel{3x} - 2 - \cancel{3x} - 3}{9x^2 - 12x + 4} = \fbox{$\dfrac{-5}{(18x^2 - 24x + 8)} \cdot \sqrt{\dfrac{3x - 2}{x + 1}}$}$

Let $f(x) = g(x^2 + 1)$, where $g’(2) = 3$ and $g”(2) = 5$. Compute $f”(1)$.

$f'(x) = g'(x^2 + 1) \cdot 2x$

$f''(x) = g''(x^2 + 1) \cdot 2x \cdot 2x + g'(x^2 + 1) \cdot 2$

$f''(1) = g''(2) \cdot 2 \cdot 2 + g'(2) \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = \fbox{$26$}$

Calcular $f'(x) = \left(\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}\right)'$.

$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x}}{x} - \dfrac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \fbox{$\dfrac{2 - \log x}{2\sqrt{x^3}}$}$

Calculadora: coordenadas da intersecção das diagonais de um quadrilátero convexo.

Entre ordenadamente com, separados por ponto e vírgula ";", os vértices de um quadrilátero convexo; as abscissas são separadas das ordenadas por vírgula ",".

Exemplo:

Input: "0, 0; 0, 1; 1, 1; 1, 0".
Output: "(0.5, 0.5)".




Intersecção das diagonais:

Calcular $\left(\sqrt{x}\sin x\right)'$.

$\left(\sqrt{x}\sin x\right)' = (\cos x)\sqrt{x} + \dfrac{(\sin x)}{2\sqrt{x}} = \fbox{$\dfrac{2x\cos x + \sin x}{2\sqrt{x}}$}$

Calculadora: divisão de inteiros não negativos passo a passo.

Entre com uma string contendo os inteiros não negativos dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo.

Exemplo:

Entre com "55, 3".




Divisão passo a passo:

Calculadora: equação cartesiana da circunferência inscrita em um triângulo.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os 3 vértices não colineares do triângulo; as abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".

Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".




Equação cartesiana da circunferência inscrita:

A equação aparecerá aqui...

Calculadora: coordenadas do circuncentro de um triângulo.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os vértices não colineares do triângulo; as abscissas são separadas das ordenadas por vírgula ",".

Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".




Circuncentro:

Calculadora: equação cartesiana da circunferência circunscrita a um triângulo.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os 3 vértices não colineares do triângulo; as abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".

Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".




Equação cartesiana da circunferência circunscrita:

A equação aparecerá aqui...

Calcular $\displaystyle\int x(\sin x)\ dx$.

$\displaystyle\int x(\sin x)\ dx\ =\ -x(\cos x) + \displaystyle\int \cos x\ dx\ =\ \fbox{$-x(\cos x) + \sin x + c$}$

Calculadora: divisão de polinômios passo a passo.

Entre com uma string contendo os polinômios de coeficientes reais dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo.

Exemplo:

Entre com "2xx - 3x + 5, x - 1".




Divisão de polinômios passo a passo:

A divisão irá aparecer aqui...

Calculadora: coordenadas do incentro de um triângulo.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os vértices não colineares do triângulo; as abscissas são separadas das ordenadas por vírgula ",".

Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".




Incentro:

Calculadora: coordenadas do baricentro de um triângulo.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os vértices não colineares do triângulo; as abscissas são separadas das ordenadas por vírgula ",".

Exemplo: entre com "0, 0; 0, 3; 4, 0".




Baricentro:

Calculadora: reta de Euler.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os 3 vértices não colineares do triângulo a encontrar a equação da reta de Euler; as abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".




Reta de Euler:

A equação da reta apareerá aqui...

Calculadora: coordenadas do ortocentro de um triângulo.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os vértices não colineares do triângulo; as abscissas são separadas das ordenadas por vírgula ",".




Ortocentro:

Calculadora: função quadrática dados 3 pontos.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os 3 pontos não colineares de abscissas diferentes; as abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".




Função quadrática:

A função aparecerá aqui...

Calculadora: equação cartesiana de uma circunferência dados 3 pontos.

Entre com, separados por ponto e vírgula ";", os 3 pontos não colineares; as abscissas separadas das ordenadas por vírgula ",".




Equação cartesiana da circunferência:

A equação aparecerá aqui...

Software: simulação de uma partícula em um recipiente.

Entre com, separadas por ponto e vírgula ";", a posição $x$, a posição $y$, a velocidade $v_x$, a velocidade $v_y$, o raio da partícula $r$, e a gravidade $g$.

Exemplo: entre com "5; 30; 3; 2; 1; 9".




Simulação: