Quais os valores máximo e mínimo da função: $f(x) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x - x^2}$?

O expoente não tem mínimo, e, como a base está entre $0$ e $1$, a função não tem máximo.

O máximo do expoente é $4$, logo o mínimo valor de $f$ é $\dfrac{1}{16}$.

Área sob uma parábola com concavidade para baixo dadas as intersecções com $Ox$ e a ordenada do vértice.

Sejam $P(x)$ a parábola em questão, $a$ e $b$, $b > a$ as intersecções com $Ox$, e $y_V$ a ordenada do vértice de $[-x^2 + (a+b)x - ab]$, e $h$ a ordenada do vértice de $P(x)$, $h > 0$.

$P(x) = \dfrac{h}{y_V}[-x^2 + (a+b)x - ab]$, é a equação cartesiana de tal parábola.

$y_V = \dfrac{\Delta}{4} = \dfrac{(a+b)^2 - 4ab}{4}$

Logo $P(x) = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-x^2 + (a+b)x - ab]$.

Logo a área $A$ será $A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \displaystyle\int_a^b -x^2 + (a+b)x - ab\ dx = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab} \left. [-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{(a+b)x^2}{2} - abx] \right|_a^b$.

$\fbox{$A = \dfrac{4h}{(a+b)^2 - 4ab}[-\dfrac{b^3}{3} + \dfrac{(a+b)b^2}{2} - ab^2 + \dfrac{a^3}{3} - \dfrac{(a+b)a^2}{2} + a^2b]$}$

Exemplo:

Sejam $a = 0$, $b = 1$, e $h = 1$:

$A = 4(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}$.

Exercício: determinando imagem de uma função quadrática, dado um domínio.

Sendo $A = \{x \in \mathbb{R}\ :\ x \ge 2\}$, determine o conjunto imagem da função $f:\ A\ \rightarrow\ \mathbb{R}$ tal que $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

$x_v = -\dfrac{-2}{2} = 1$

Para valores de $x$ maiores que $1$ a função é crescente.

$f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 8 = -8$, logo $Im_f\ =\ [-8,\ +\infty[$

Exercício: determinando parâmetro e imagem de uma função quadrática.

O gráfico da função quadrática definida por $y = x^2 - mx + (m - 1)$, onde $m \in \mathbb{R}$, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Qual o valor de $y$ que essa função associa a $x = 2$?

$\Delta = m^2 - 4m + 4 = 0\ \Rightarrow\ m = 2\ \Rightarrow\ y = x^2 - 2x + 1$

$x = 2\ \Rightarrow\ y = 1$

Exercício: desistência do churrasco.

Um grupo de amigos se reuniu para organizar um churrasco que custou $R\$\ 180,00$, em cima da hora, três amigos desistiram, fazendo com que a despesa de cada um dos outros aumentasse em $R\$\ 2,00$. Quantos eram os amigos no grupo inicial?

Resolução:

Chamemos de $n$ o número de amigos, e de $p$ o preço cobrado de cada um deles.

Inicialmente tínhamos:

$n\ \cdot\ p\ =\ 180$ [1]

Após a desistência e do acréscimo do preço para custear o projeto inicial, teremos:

$(p+2)(n-3)\ =\ 180$ [2]

Substituindo [1] em [2], teremos:

$(\dfrac{180}{n} + 2)(n-3)\ =\ 180$

$n^2 - 3n - 270 = 0$

Admitindo apenas o valor positivo para $n$, teremos $S\ =\ \{18\}$.

Exercício: equação do 2º grau: operações entre raízes.

Sendo $r_1$ e $r_2$ as raízes da equação $x^2 - 9x + 6 = 0$, determine os valores de:

a) $r_1 + r_2$.	c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2}$.	e) ${r_1}^3 + {r_2}^3$.
b) $r_1 \cdot r_2$.	d) ${r_1}^2 + {r_2}^2$.	f) $r_1 - r_2$.

Resolução:

De imediato:

a) $r_1 + r_2 = 9$.

b) $r_1 \cdot r_2 = 6$.

Daqui em diante temos que encontrar relações similares às que são dadas, envolvendo soma e produto das raízes:

c) $\dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} = \dfrac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} = \dfrac{3}{2}$.

d) ${r_1}^2 + {r_2}^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2 r_1 r_2 = 81 - 12 = 69$.

e) ${r_1}^3 + {r_2}^3 = (r_1 + r_2)({r_1}^2 - r_1 r_2 + {r_2}^2) = 9(69 - 6) = 567$.

f) $r_1 - r_2 = \pm \sqrt{{r_1}^2 + {r_2}^2 - 2 r_1 r_2} = \pm \sqrt{69 - 12} = \pm \sqrt{57}$.

Exercício: equação polinomial do 2º grau.

Sendo $\alpha$ e $\beta$ as raízes da equação $x^2\ -5x\ -\ 84\ =\ 0$, obtenha uma equação do 2º grau cujas raízes sejam $(\alpha\ +\ 1)$ e $(\beta\ +\ 1)$.

Resolução:

Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.

Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$

Substituindo os valores, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$

Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:

$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$