Raízes complexas não reais conjugadas.

Seja $p \in \mathbb{R}[x]$ e $\alpha \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$. Mostre que

$\bullet$ $p(\overline{\alpha}) = \overline{p(\alpha)}$;

$\bullet$ $p(\alpha) = 0\ \Leftrightarrow\ p(\overline{\alpha}) = 0$;

$\bullet$ Se $\alpha$ é raiz de $p$, e $p = x^2 + bx + c$, $p = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})$.

Resolução:

Primeira sentença:

$p(\overline{\alpha}) = \displaystyle\sum_{i=0}^n a_i (\overline{\alpha})^i = \displaystyle\sum_{i=0}^n \overline{a_i}(\overline{\alpha})^i = \displaystyle\sum_{i=0}^n \overline{a_i \alpha^i} = \overline{p(\alpha)}$ ${\Large (I)}$

Segunda sentença:

$p(\alpha) = 0\ \Leftrightarrow\ \underset{\text{Por (I).}}{\underbrace{\overline{p(\alpha)} = p(\overline{\alpha})}} = 0$ ${\Large (II)}$

Terceira sentença:

Por D'Alembert, $p$ é divisível por $(x - \alpha)$; por (II), $p$ também é divisível por $(x - \overline{\alpha})$, logo $x^2 + bx + c = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha})q(x)$; comparando os termos em $x^2$, $q(x) = 1$.

Quod Erat Demonstrandum.

Demonstração: todo polinômio de grau ímpar tem ao menos uma raiz.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{C}$, pelo teorema fundamental da Álgebra, a demonstração é imediata.

Se $\mathbb{U} = \mathbb{R}$, observemos que a função cuja lei de formação é o polinômio é uma função contínua. Seja $f$ tal função:

$f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i,\ a_n \neq 0$.

$n = 2k - 1,\ k \in \mathbb{N}$.

Temos 2 casos a considerar:

(I) $a_n > 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = +\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = -\infty$

(II) $a_n < 0$:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} a_n x^n = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} a_n x^n = +\infty$

Em ambos os casos, pelo TVI, existe ao menos um $x_0$ tal que $f(x_0) = 0$.

Exercício: encontrar raízes de uma equação polinomial dadas algumas.

Sabe-se que a equação $x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10 = 0$ admite as raízes complexas $1 - i$ e $2 + i$. Quais as demais raízes dessa equação?

Resolução:

Seja $P(x) \equiv x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$.

Dividindo $P(x)$ por $x - (1 - i)$, e, em seguida, por $x - (2 + i)$, utilizando Briot-Ruffini:

$\begin{array}{c|c c c c c}1 - i & 1 & -6 & 15 & -18 & 10\\ 2 + i& 1 & -5 - i & 9 + 4i & -5 - 5i & 0\\ & 1 & -3 & 3 + i & 0 &\end{array}$

Logo as raízes procuradas serão as raízes de $x^2 - 3x + (3 + i)$.

$\Delta = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$

Para extrair as raízes quadradas de $-3 - 4i$ vamos o por em sua forma trigonométrica:

$5(\cos \arccos -\dfrac{3}{5} + i \cdot \sin \arcsin -\dfrac{4}{5})$

Seja $\theta$ o argumento de uma das raízes quadradas, a de menor argumento, (observemos que, se $2\theta$ pertence ao terceiro quadrante (seno negativo e cosseno negativo), $\theta$ será um arco do segundo quadrante):

$-\dfrac{3}{5} = 2\cos^2 \theta - 1\ \Rightarrow\ \cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = \sqrt{1 - (-\dfrac{\sqrt{5}}{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Chamando de $R_1$ e $R_2$ as raízes quadradas de $-3 - 4i$, teremos:

$R_1 = \sqrt{5}(-\dfrac{\sqrt{5}}{5} + i \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}) = -1 + 2i$

$R_2 = 1 - 2i$

Continuando a resolução de $x^2 - 3x + (3 + i) = 0$:

$x' = \dfrac{3 - 1 + 2i}{2} = 1 + i$

$x'' = \dfrac{3 + 1 - 2i}{2} = 2 - i$

Logo as raízes procuradas são $\fbox{$1 + i$}$ e $\fbox{$2 - i$}$.

Exercício: área e volume de um paralelepípedo cujas dimensões são raízes de uma equação polinomial.

As dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo são as raízes da equação do $3^{\underline{o}}$ grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Calcule a área total e o volume desse paralelepípedo.

Pelas relações de Girard:

$ A = 2(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) = \fbox{$\dfrac{2c}{a}$}$

$ V = r_1 r_2 r_3 = \fbox{$-\dfrac{d}{a}$}$

Exercício: determinando raízes de um polinômio conhecidas algumas de suas propriedades.

Resolva em $\mathbb{C}$ a equação $x^5 - 6x^4 + 64x^2 - 144x + 96 = 0$ sabendo que três de suas raízes são iguais e as outras duas são opostas entre si.

Resolução:

Chamemos as iguais de $r_1$ e as opostas de $r_2$ e $-r_2$.

Por uma das relações de Girard:

$6 = r_1 + r_1 + r_1 + \cancel{r_2} - \cancel{r_2} = 3r_1\ \therefore\ r_1 = 2$

Por outra das relações de Girard:

$-96 = -r_1^3 r_2^2= -2^3 r_2^2 = -8 r_2^2$

$r_2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$\fbox{$S = \{2, 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}\}$}$

Exercício: determinando uma raiz de uma equação polinomial conhecidas as demais.

Os números $-1$ e $1$ são raízes de $P(x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c$. Qual a terceira raiz?

Utilizando uma das relações de Girard:

$(-1) \cdot 1 \cdot r = -\dfrac{2\cancel{c}}{\cancel{c}}\ \therefore\ \fbox{$r = 2$}$

Exercício: encontrando coeficientes de um polinômio por meio das relações de Girard.

Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da equação $3x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ sabendo que as raízes são $5i$, $-5i$ e $2$.

Utilizando as relações de Girard:

$\cancel{5i} - \cancel{5i} + 2 = - \dfrac{a}{3}\ \therefore\ \fbox{$a = -6$}$

$5i \cdot (-5i) + \cancel{5i \cdot 2} + \cancel{2 \cdot (-5i)} = \dfrac{b}{3}\ \therefore\ \fbox{$b = 75$}$

$5i \cdot (-5i) \cdot 2 = - \dfrac{c}{3}\ \therefore\ \fbox{$c = -150$}$

Exercício: aplicando as relações de Girard.

Sendo $r_1$, $r_2$ e $r_3$ as raízes da equação $2x^3 - 4x^2 + 3x + 1 = 0$, calcular $\dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$.

Chamemos $R = \dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$

$R = \dfrac{(r_1 r_2)^2 + (r_1 r_3)^2 + (r_2 r_3)^2}{(r_1 r_2 r_3)^2} = \dfrac{(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)^2 - 2 r_1 r_2 r_3 (r_1 + r_2 + r_3)}{(r_1 r_2 r_3)^2}$

Pelas relações de Girard:

$R = \dfrac{(\dfrac{3}{2})^2 - 2 \cdot (-\dfrac{1}{2}) \cdot 2}{(-\dfrac{1}{2})^2} = \fbox{$17$}$

Exercício: determinando operação entre coeficientes de uma equação polinomial.

Sabendo que $1$ é raiz da equação $x^3 + ax^2 - 2x + b = 0$, calcule o valor de $a+b$.

Substituindo $x$ por $1$ e, como $1$ é raiz, igualando a $0$:

$1 + a - 2 + b = 0\ \therefore\ \fbox{$a + b = 1$}$

Exercício: raízes comuns a dois polinômios.

Determine as raízes comuns aos polinômios $P(x) \equiv 2x^6 - x^2 + 1$ e $Q(x) \equiv x^6 + 4x^4 - 3$.

Resolução:

Se $x$ é raíz de $P(x)$ e também de $Q(x)$, então $P(x) = 0$ e $Q(x) = 0$, logo, afim de cancelar os termos em $x^6$, podemos tranquilamente escrever:

$2Q(x) - P(x) = 0$

$8x^4 + x^2 - 7 = 0$

$x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{16}$

$x^2 = \dfrac{-1 + 15}{16}\ \vee\ x^2 = \dfrac{-1 - 15}{16}$

$x^2 = \dfrac{7}{8}\ \vee\ x^2 = -1$

$x \in \{\sqrt{\dfrac{7}{8}}, -\sqrt{\dfrac{7}{8}}, i, -i\}$

Fazendo uma verificação, destes valores apenas $i$ e $-i$ são raízes de ambos.

Exercício: resolver equação polinomial pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolva a equação $x^3 + 3x + 1 = 0$ pelo método de Cardano-Tartaglia.

Resolução:

$uv = 1$

$(u - v)^3 + 3(u - v) + 1 = 0$

$u^3 - 3u^2v + 3uv^2 - v^3 + 3u - 3v + 1 = 0$

 $u^3 - 3u^2 \cdot \dfrac{1}{u} + 3u \cdot \dfrac{1}{u^2} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - 3u + \dfrac{3}{u} - \dfrac{1}{u^3} + 3u - \dfrac{3}{u} + 1 = 0$

$u^3 - \dfrac{1}{u^3} + 1 = 0$

$u^6 + u^3 - 1= 0$

Tomando $U = u^3$:

$U^2 + U - 1 = 0$

$U = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$U' = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$U'' = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}\ \Rightarrow\ u'' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}}\ \Rightarrow\ v'' = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}$

$x' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 + \sqrt{5}}}$

$x'' = u' - v' = \sqrt[3]{\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{-1 - \sqrt{5}}}$