Calculadora: transcrição e tradução do DNA.

Entre com o trecho do DNA a transcrever e traduzir:

Exemplo:

Input: "TCAAAGTTT".
Output: "Serina-fenilalanina-lisina.".




Cadeia polipeptídica resultante:

Calculadora: expressão de funções.

Entre com a expressão a ser calculada:

Exemplo:

Input: "(2 + sqrt(4)) * 3".
Output: aproximadamente "12".




Resultado:

Calculadora: aproximação por Taylor.

Entre com os argumentos, separados por vírgula ",", primeiro: string que representa a função; segundo: ponto no qual aplicar a função:

Exemplo:

Input: "sqrt, 3".
Output: aproximadamente "1.73".




Aproximação por Taylor:

Calculadora: derivada de um polinômio.

Entre com, separados por vírgula ",": primeiramente o polinômio, depois cada uma das variáveis com relação às quais vai haver a derivação, e, seguindo a variável, após dois pontos ":", quantas vezes irá haver a derivação.:

Exemplo:

Input: "3xxxy + 2xxyy + z, x : 2, y : 1".
Output: "18x + 8y".




Derivada:

Calculadora: valor numérico de um polinômio.

Separados por vírgula ",", entre primeiramente com o polinômio, depois os valores a serem atribuídos às variáveis: a variável, depois o caractere "=", e depois o valor real:

Exemplo:

Input: "3xyz + xx - 1, x = 4, y = 5".

Output: "60z + 15".




Valor numérico do polinômio:

Calculadora: divisão de polinômios de uma variável.

Entre com uma string contendo os polinômios de coeficientes reais dividendo e divisor separados por vírgula ",", com o divisor não nulo:

Exemplo:

Input: "2xx - 3x + 5, x - 1".

Output:

Quociente: 2x - 1

Resto: 4




Divisão:

Calculadora: multiplicação de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem multiplicados:

Exemplo:

Input: "2x + 3y, 4 + z". Output: "2xz + 3yz + 8x + 12y".




Polinômio produto:

Calculadora: soma de polinômios.

Entre com uma string contendo polinômios de coeficientes reais separados por vírgula "," a serem somados:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5xx, 2y, -xx + 7x". Output: "4xx + 9x - y".




Polinômio soma:

Calculadora: reduzir termos semelhantes.

Entre com uma string contendo um polinômio de coeficientes reais a ter seus termos reduzidos:

Exemplo:

Input: "2x - 3y + 5.5xx - y + 10xx". Output: "15.5xx + 2x - 4y".




Polinômio reduzido:

Calculadora: conversão para algarismos romanos.

Entre com um número natural positivo a converter em algarismos romanos:

Exemplo:

Input: "24". Output: $XXIV$.




Número em algarismos romanos:

Calculadora: nome de um número.

Entre com uma string contendo um número natural:

Exemplo:

Input: "228". Output: "Duzentos e vinte e oito.".




Nome do número:

Exercício: encontrar raízes de uma equação polinomial dadas algumas.

Sabe-se que a equação $x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10 = 0$ admite as raízes complexas $1 - i$ e $2 + i$. Quais as demais raízes dessa equação?

Resolução:

Seja $P(x) \equiv x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$.

Dividindo $P(x)$ por $x - (1 - i)$, e, em seguida, por $x - (2 + i)$, utilizando Briot-Ruffini:

$\begin{array}{c|c c c c c}1 - i & 1 & -6 & 15 & -18 & 10\\ 2 + i& 1 & -5 - i & 9 + 4i & -5 - 5i & 0\\ & 1 & -3 & 3 + i & 0 &\end{array}$

Logo as raízes procuradas serão as raízes de $x^2 - 3x + (3 + i)$.

$\Delta = 9 - 12 - 4i = -3 - 4i$

Para extrair as raízes quadradas de $-3 - 4i$ vamos o por em sua forma trigonométrica:

$5(\cos \arccos -\dfrac{3}{5} + i \cdot \sin \arcsin -\dfrac{4}{5})$

Seja $\theta$ o argumento de uma das raízes quadradas, a de menor argumento, (observemos que, se $2\theta$ pertence ao terceiro quadrante (seno negativo e cosseno negativo), $\theta$ será um arco do segundo quadrante):

$-\dfrac{3}{5} = 2\cos^2 \theta - 1\ \Rightarrow\ \cos \theta = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = \sqrt{1 - (-\dfrac{\sqrt{5}}{5})^2} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

Chamando de $R_1$ e $R_2$ as raízes quadradas de $-3 - 4i$, teremos:

$R_1 = \sqrt{5}(-\dfrac{\sqrt{5}}{5} + i \cdot \dfrac{2\sqrt{5}}{5}) = -1 + 2i$

$R_2 = 1 - 2i$

Continuando a resolução de $x^2 - 3x + (3 + i) = 0$:

$x' = \dfrac{3 - 1 + 2i}{2} = 1 + i$

$x'' = \dfrac{3 + 1 - 2i}{2} = 2 - i$

Logo as raízes procuradas são $\fbox{$1 + i$}$ e $\fbox{$2 - i$}$.

Calculadora: matriz inversa.

Entre com uma string matriz de números reais onde as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4".

Output:

"
-2 1
3/2 -1/2
"




Matriz inversa:

Calculadora: multiplicação de matrizes.

Entre com uma string contendo as duas matrizes de números reais separadas pelo caractere "x"; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";", as colunas são separadas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 4 x 2, 3; 4, 5".

Output:

"
10 13
22 29
"




Produto:

Calculadora: determinante.

Entre com uma string matriz de números reais; as linhas são separadas por ponto e vírgula ";" e as colunas por vírgula ",":

Exemplo:

Input: "1, 2; 3, 0.5". Output: "-5.5".




Determinante:

Exercício: condição de um número complexo para que seja real.

Qual o valor de $a$, com $a \in \mathbb{R}$ que torna real o quociente $\dfrac{3 - 2ai}{4 - 3i}$?

Resolução:

A parte imaginária deve ser nula.

$\dfrac{3 - 2ai}{4 - 3i} = \dfrac{(3 - 2ai)(4 + 3i)}{(4 - 3i)(4 + 3i)} = \dfrac{(12 + 6a) + (9 - 8a)i}{25}$

$9 - 8a = 0\ \therefore\ \fbox{$a = \dfrac{9}{8}$}$

Calculadora: massa molecular.

Entre com uma fórmula, os elementos químicos são separados por vírgula ",", a multiplicidade de um elemento é dada pelo número natural passado após dois pontos ":" após o símbolo do elemento químico:

Exemplos:

Input: "O:2". Output: "31.9988".
Input: "H:2,S:1,O:4". Output: "98.07948".




Massa molecular:

Calculadora: balanceamento de equações químicas.

Entre com uma string contendo a equação, o primeiro membro é separado do segundo pelo caractere ">", as fórmulas são separadas pelo caractere "+", dentro de uma fórmula, os elementos químicos são separados por vírgula ",", a multiplicidade de um elemento é dada pelo número natural passado após dois pontos ":" após o símbolo do elemento químico:

Exemplos:

Input: "H:2 + O:2 > H:2,O:1". Output: "2 , 1 , 2".
Input: "C:8,H:18 + O:2 > C:1,O:2 + H:2,O:1". Output: "2 , 25 , 16 , 18".




Coeficientes estequiométricos:

Exercício: número complexo como imaginário puro.

Para que valor(es) de $a$, com $a \in \mathbb{R}$, o número complexo $z = a^2 - 1 + (a + 1)i$ é imaginário puro?

Resolução:

Para que seja imaginário puro, a parte real deve ser nula, e a parte imaginária não nula:

$\begin{cases}a^2 - 1 = 0\\ a + 1 \neq 0\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}a = 1\ \vee\ a = -1\\ a \neq -1\end{cases}\ \therefore\ \fbox{$a = 1$}$

Exercício: pirâmide cortada em volumes iguais.

Uma pirâmide regular tem altura $6$ e a medida do lado da base quadrada igual a $4$. Ela deve ser cortada por um plano paralelo à base, a uma distância $d$ dessa base, de forma a determinar dois sólidos de mesmo volume. Qual deve ser a distância $d$?

Resolução:

Como a razão entre os volumes da pirâmide original e a cortada pelo plano é $2$, a razão de semelhança entre as duas deve ser $\sqrt[3]{2}$. Assim:

$\dfrac{6}{6 - d} = \sqrt[3]{2}$

$6 - d = \dfrac{6}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{6\sqrt[3]{4}}{2} = 3\sqrt[3]{4}$

$\fbox{$d = 6 - 3\sqrt[3]{4}$}$

Exercício: uma circunferência determinada por três de seus pontos e a distância do seu centro à origem.

Uma circunferência passa pelos pontos $(2, 0)$, $(2, 4)$ e $(0, 4)$. Qual a distância do centro dessa circunferência à origem?

Resolução:

Chamemos o centro da circunferência de $C(a, b)$.

$C$ equidista dos três pontos dados:

$\sqrt{(a - 2)^2 + b^2}\ \text{(I)}\ =\ \sqrt{(a - 2)^2 + (b - 4)^2}\ \text{(II)}\ =$

$=\ \sqrt{a^2 + (b - 4)^2}\ \text{(III)}$

Igualando (I) e (II):

$b^2 = (b - 4)^2\ \Rightarrow\ b^2 = b^2 - 8b + 16\ \Rightarrow\ b = 2$

Igualando (I) e (III):

$(a - 2)^2 = a^2\ \Rightarrow\ a^2 - 4a + 4 = a^2\ \Rightarrow\ a = 1$

Calculemos agora o comprimento do segmento $\overline{OC}$:

$OC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \fbox{$\sqrt{5}$}$

Exercício: determinar o centro e o raio de uma circunferência dada sua equação geral.

Determine o centro $C$ e o raio $R$ da circunferência representada pela equação $5x^2 + 5y^2 - 10x - 10y + 5 = 0$.

Resolução:

Chamemos tal circunferência de $\lambda$. Primeiramente vamos deixar os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ iguais a $1$:

$\lambda :\ x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$

Agora reunindo os termos em cada variável e, em seguida, completando os quadrados:

$\lambda :\ (x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) + 1 = 0$

$\lambda :\ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + 1 - 1 - 1 = 0$

$\lambda :\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

Que é sua equação reduzida, donde concluímos que:

$\fbox{$C(1, 1)\ \text{e}\ R = 1$}$

Exercício: lugar geométrico simétrico de uma reta com relação a um ponto.

Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais $xOy$, considere a reta $r$ de equação $y = x + 1$ e o ponto $P(2, 1)$. Qual o lugar geométrico dos pontos do plano, simétricos dos pontos de $r$ em relação a $P$?

Resolução:

$P$ será o ponto médio dos pontos de $r$ e dos pontos do lugar geométrico procurado.

Chamemos de $G(k, k + 1)$ um ponto genérico de $r$ e $Q(x, y)$ um ponto também genérico do lugar geométrico.

$\dfrac{x + k}{2} = 2\ \Rightarrow\ x = 4 - k$

$\dfrac{y + (k + 1)}{2} = 1\ \Rightarrow\ y = 1 - k$

Temos então as equações paramétricas do lugar geométrico procurado:

$\begin{cases}x = 4 - k\\ y = 1 - k\end{cases}$

Somando à primeira equação a segunda multiplicada por $-1$, teremos:

$x - y = 3\ \therefore\ \fbox{$x - y - 3 = 0$}$

Uma reta.

Calculadora: escalonar matriz.

Entre com uma string separada por barra vertical "|": primeiro: a matriz de números reais dispostos em linhas e colunas, o separador de linhas é o ponto e vírgula ";" e o separador dos elementos de uma linha é a vírgula ","; segundo: "e" para matriz escalonada ou "r" para matriz escalonada reduzida por linhas:

Exemplo:

Input: "2, 3, 19; 4, 5, 33 | r".

Output:

"
Dividindo a linha 1 por 2:

1 3/2 19/2
4 5 33
_____

Somando à linha 2 a linha 1 multiplicada por -4:

1 3/2 19/2
0 -1 -5
_____

Dividindo a linha 2 por -1:

1 3/2 19/2
0 1 5
_____

Somando à linha 1 a linha 2 multiplicada por -3/2:

1 0 2
0 1 5
"




Matriz escalonada:

Calculadora: conversão entre unidades de medida.

Entre com o valor (número real), a unidade de medida em que está expresso, e a unidade à qual deseja converter, separados por vírgula ",":

Exemplos:

Input: "120, C, F". Output: "248".
Input: "265.2, m, cm". Output: "26520".




Conversão:

Calculadora: mediana estatística.

Entre com os números reais separados por vírgula "," a terem a mediana estatística encontrada:




Mediana estatística:

Calculadora: rol, ou organizar em ordem crescente ou decrescente.

Entre com os números reais a serem organizados separados por vírgula ",", e, depois de um ponto e vírgula ";", o caractere "c" para ordem crescente, ou "d" para ordem decrescente:

Exemplos:

Input: "9, 7.5, 10, 2; c". Output: "2, 7.5, 9, 10".
Input: "9, 7.5, 10, 2; d". Output: "10, 9, 7.5, 2".




Rol:

Exercício: excentricidade de uma hipérbole.

Determine a excentricidade da hipérbole de equação $9x^2 - 4y^2 - 18x + 16y + 29 = 0$.

Resolução:

Primeiramente vamos reorganizar as variáveis de modo que os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ sejam $1$:

$9(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 4y) + 29 = 0$

Agora vamos completar os quadrados:

$9(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 - 4y + 4) + 29 = 9 \cdot 1 - 4 \cdot 4$

$9(x - 1)^2 - 4(y - 2)^2 = - 36$

Temos então a forma reduzida da hipérbole:

$\dfrac{(y - 2)^2}{9} - \dfrac{(x - 1)^2}{4} = 1$

Logo a hipérbole tem centro $(1, 2)$, eixo real paralelo ao eixo das ordenadas, semi-eixo real $a = 3$ e semi-eixo imaginário $b = 2$.

Vamos encontrar a semi-distância focal $c$:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$

Logo sua excentricidade será $e = \dfrac{c}{a} = \fbox{$\dfrac{\sqrt{13}}{3}$}$

Calculadora: sistemas de numeração: conversão de números.

Entre com o número a ser convertido, a base em que está escrito, e a base à qual deseja converter:

Exemplos:

Input: "9, 10, 2". Output: "1001".
Input: "1f, 16, 10". Output: "31".
Input: "1g8h, 25, 53". Output: "9av".




Conversão:

Exercício: equação e gráfico de uma elipse dadas suas equações paramétricas.

Um gráfico cartesiano tem as seguintes equações paramétricas:

$\begin{cases}x = 2\cos t\\ y = 3\sin t\end{cases}$, em que $t \in \mathbb{R}$.

a) Obtenha uma equação desse gráfico, relacionando apenas as variáveis $x$ e $y$.

b) Esboce o gráfico.

Resolução:

a) $\begin{cases}x = 2\cos t\\ y = 3\sin t\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}3x = 6\cos t\\ 2y = 6\sin t\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}9x^2 = 36\cos^2 t\\ 4y^2 = 36\sin^2 t\end{cases}$

Somando as duas equações:

$9x^2 + 4y^2 = 36(\sin^2 t + \cos^2 t)\ \Rightarrow\ 9x^2 + 4y^2 = 36\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \dfrac{9x^2}{36} + \dfrac{4y^2}{36} = 1\ \therefore\ \fbox{$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$}$

b) Trata-se portanto de uma elipse de centro $(0, 0)$, eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas, semi-eixo maior $a = 3$ e semi-eixo menor $b = 2$:

Exercício: equação de uma reta que contém uma corda de uma circunferência.

Sabendo que o ponto $(2, 1)$ é ponto médio de uma corda $\overline{AB}$ da circunferência $(x - 1)^2 + y^2 = 4$, então qual a equação da reta que contém $\overline{AB}$?

Resolução:

Chamemos de $r$ a reta procurada. Ela será perpendicular à reta que contém o centro da circunferência $(1, 0)$ e o ponto $(2, 1)$, esta reta que chamaremos de $s$.

Seja $m_s$ o coeficiente angular da reta $s$, e $m_r$ o coeficiente angular da reta $r$:

$m_r = -\dfrac{1}{m_s}$ (I)

$m_s = \dfrac{1 - 0}{2 - 1} = 1$ (II)

Substituindo (II) em (I):

$m_r = -\dfrac{1}{1} = -1$

Observemos também que a reta $r$ passa por $(2, 1)$, logo:

$r:\ y - 1 = -(x - 2)\ \therefore\ \fbox{$r:\ x + y - 3 = 0$}$

Exercício: equação de uma reta tangente a uma circunferência em um ponto dado.

Determine a equação da reta tangente à circunferência $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ no ponto $(0, -1)$.

Resolução:

Observemos inicialmente que $(0, -1)$ realmente pertence à circunferência:

$(0 - 1)^2 + (-1 + 2)^2 = 1 + 1= 2$

A reta tangente no ponto dado será perpendicular à reta que tem o centro da circunferência $(1, -2)$ e o ponto dado, esta reta cujo coeficiente angular é $m = \dfrac{-1 + 2}{0 - 1} = -1$, logo a reta, que chamaremos de $r$ terá como coeficiente angular o oposto do simétrico de $-1$ que é $1$, logo, sabendo que $r$ passa por $(0, -1)$:

$r:\ (y + 1) = x - 0\ \therefore \fbox{$r:\ x - y - 1 = 0$}$

Exercício: determinar coeficiente de uma reta para que seja tangente a uma circunferência dada.

Quais os valores de $m$ para que a reta $y = mx + 1$ seja tangente à circunferência $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$?

Resolução:

Chamemos de $r$ a reta considerada, sua forma normal é $r:\ mx - y + 1 = 0$.

A distância de $r$ ao centro da circunferência, $C(2, 2)$, deve ser igual ao raio, ou seja $d_{rC} = 1$.

$\dfrac{|2m - 2 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$ (I)

$|2m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}\ \Rightarrow\ (2m - 1)^2 = m^2 + 1\ \Rightarrow\ 4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1\ \Rightarrow\ 3m^2 - 4m = 0\ \Rightarrow\ m = 0\ \vee\ m = \dfrac{4}{3}$

Como houve uma quadração, deve-se fazer uma verificação para cada valor encontrado na sentença original (I):

$\dfrac{|2 \cdot 0 - 2 + 1|}{\sqrt{0^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|-1|}{1} = 1$, $0$ satisfaz.

$\dfrac{|2\ \cdot \dfrac{4}{3} - 2 + 1|}{\sqrt{(\dfrac{4}{3})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{8}{3} - 1|}{\dfrac{16}{9} + 1} = \dfrac{|\dfrac{5}{3}|}{\sqrt{25}{9}} = \dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{3}} = 1$, $\dfrac{4}{3}$ satisfaz.

$\fbox{$m \in \{0, \dfrac{4}{3}\}$}$

Calculadora: desvio padrão.

Entre com os números a terem o desvio padrão calculado, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "5, 2.5".
Output: "1.25".




Desvio padrão:

Calculadora: variância estatística.

Entre com os números a terem a variância estatística calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "5, 2.5".
Output: "1.5625".




Variância estatística:

Calculadora: desvio absoluto médio.

Entre com os números a terem o desvio absoluto médio calculado, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "3.5, 6".
Output: "1.25".




Desvio absoluto médio:

Calculadora: encontrar moda estatística.

Entre com os números a terem a(s) moda(s) encontrada(s), separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "-1, 0, 3, -1, 4.5".
Output: "-1".




Moda(s):

Calculadora: encontrar fração irredutível.

Entre com a fração a reduzir, numerador e denominador números naturais, o denominador não nulo, separados por barra "/".:

Exemplo:

Input: "234 / 52".
Output: "9 / 2".




Fração irredutível:

Calculadora: média aritmética ponderada.

Entre com os pares peso e número a terem a média geométrica calculada, separados por ponto e vírgula ";". Um número é separado do seu peso por vírgula ",", o primeiro elemento do par não nulo. O separador de casas decimais é o ponto ".":

Exemplo: entrando com "5, 3; 10, 1.5", a saída será: "2".




Média aritmética ponderada:

Calculadora: média harmônica.

Entre com os números a terem a média harmônica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, 8.5".
Output: "136 / 25".




Média harmônica:

Calculadora: média geométrica.

Entre com os números a terem a média geométrica calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "1.5, 2, 9".
Output: "3".




Média geométrica:

Calculadora: calcular mdc.

Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mdc:

Exemplo:

Input: "48, 128, 72".
Output: "8".




mdc:

Calculadora: calcular mmc.

Entre com os números naturais positivos, separados por vírgula ",", a ser calculado o mmc:

Exemplo:

Input: "24, 9, 13".
Output: "936".




mmc:

Calculadora: calcular expressão numérica.

Entre com a expressão numérica:



Resultado:


Observações:

Os possíveis termos da expressão estão definidos segundo a biblioteca math.js (https://mathjs.org/docs/expressions/syntax.html).

Observações:

Dependendo das magnitudes dos números, o processo pode ser demorado, deixar seu dispositivo/computador lento, e/ou causar crashes.

Por limitações do JavaScript, operações envolvendo números de modulo muito grande ou muito pequeno podem retornar com erros.

Calculadora: decomposição em fatores primos.

Entre com o número natural a decompor:

Exemplo:

Input: "2388".
Output: "2^2 x 3 x 199".




Decomposição:

Calculadora: média aritmética.

Entre com os números a terem a média aritmética calculada, separados por vírgula "," (o separador de casas decimais é o ponto "."):

Exemplo:

Input: "4, -2, 7.6".
Output: "16 / 5".




Média aritmética:

Calculadora: fatorial.

Número a ser calculado o fatorial:

Exemplo:

Input: "5".
Output: "120".




Fatorial:

Exercício: teorema de D'Alembert.

Qual o valor de $b$ para o qual o polinômio $P(x) = 15x^{16} + bx^{15} + 1$ é divisível por $x - 1$?

Pelo teorema de D'Alembert, $P(1) = 0$:

$15 + b + 1 = 0\ \therefore\ \fbox{$b = -16$}$

Exercício: valor numérico de um polinômio.

A divisão de um polinômio $P(x)$ por $x^2 - x$ resulta no quociente $6x^2 + 5x + 3$ e resto $-7x$. Qual o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$?

$P(x) = (x^2 - x)(6x^2 + 5x + 3) - 7x$

Pelo teorema do resto, o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 1$ é $P(-1)$.

$P(-1) = [(-1)^2 - (-1)][6(-1)^2 + 5(-1) + 3] - 7(-1) =$

$= 2 \cdot 4 + 7 = \fbox{15}$

Exercício: distância de uma intersecção à origem.

Qual a distância entre o ponto de encontro (intersecção) das retas $x + y - 2 = 0$ e $x - y - 4 = 0$ e a origem do sistema de coordenadas, $(0, 0)$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção:

$\begin{cases}x_P + y_P = 2\\ x_P - y_P = 4\end{cases}\ \Rightarrow\ P(3, -1)$

$d_{PO} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \fbox{$\sqrt{10}$}$

Exercício: intersecção de três retas.

As retas representadas pelas equações $y = 2x + 1$, $y = x + 3$ e $y = b - x$ passam por um mesmo ponto. Qual o valor de $b$?

Seja $P(x_P, y_P)$ a intersecção de $y = 2x + 1$ e $y = x + 3$:

$\begin{cases}y_P = 2x_P + 1\\ y_P = x_P + 3\end{cases}\ \Rightarrow\ P(2, 5)$

$P$ pertence a $y = b - x$:

$5 = b - 2\ \therefore\ \fbox{$b = 7$}$

Exercício: ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Qual o valor de $k$ para que o ponto $P = (4k - 1, 2k + 3)$ pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares?

$Q(x_Q, y_Q) \in b_{13}\ \Leftrightarrow\  x_Q = y_Q$

$4k - 1 = 2k + 3\ \therefore\ \fbox{$k = 2$}$

Exercício: determinando a equação de uma reta.

Qual a equação da reta que passa pelo ponto $(3, -2)$, com inclinação de $60^o$?

Seja $r$ a reta em questão, seu coeficiente angular será $\tan 60^o = \sqrt{3}$.

$r:\ y + 2 = \sqrt{3}(x - 3)$

$\fbox{$r:\ \sqrt{3}x - y - 2 - 3\sqrt{3} = 0$}$

Exercício: pontos colineares.

Qual o valor de $x$ para que os pontos $(1, 3)$, $(-2, 4)$ e $(x, 0)$ do plano sejam colineares?

$(x, 0)$ deve pertencer à reta $r$ que contém os pontos $(1, 3)$ e $(-2, 4)$:

$m_r = \dfrac{4 - 3}{-2 - 1} = -\dfrac{1}{3}$

$r:\ y - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$

$0 - 3 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)\ \Rightarrow\ \fbox{$x = 10$}$

Exercício: determinar ponto equidistante a dois outros.

Se um ponto $P$ do eixo das abscissas é equidistante dos pontos $A(1, 4)$ e $B(-6, 3)$, quanto vale a abscissa de $P$?

Seja $P(k, 0)$:

$d_{PA} = d_{PB}$

$\sqrt{(k - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(k + 6)^2 + 3^2}$

$(k - 1)^2 + 4^2 = (k + 6)^2 + 3^2$

$\cancel{k^2} - 2k + 1 + 16 = \cancel{k^2} + 12k + 36 + 9$

$14k = -28\ \therefore\ \fbox{$k = -2$}$

Exercício: razão entre os volumes de um cone e da esfera circunscrita.

Um cone circular reto, cujo raio da base é $3\ cm$, está inscrito em uma esfera de $5\ cm$ de raio, conforme mostra a figura abaixo. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera?

Seja $h$ a altura do cone, $r$ o raio da base do cone, $R$ o raio da esfera, $V_c$ o volume do cone, e $V_e$ o volume da esfera:

$h = R + \sqrt{R^2 - r^2} = 5 + \sqrt{5^2 -3^2} = 5 + 4 = 9$

$V_c = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 9}{3} = 27\pi$

$V_e = \dfrac{4\pi R^3}{3} = \dfrac{4\pi \cdot 5^3}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$

$\dfrac{V_c}{V_e} = \dfrac{27\cancel{\pi}}{\dfrac{500\cancel{\pi}}{3}} = \dfrac{81}{500} = \fbox{$16,2\%$}$

Exercício: área de uma esfera circunscrita a um cubo.

Um cubo de área total $24\ cm^2$ está inscrito em uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.

Seja $a$ a aresta do cubo, $R$ o raio da esfera, e $S$ sua área superficial:

$6a^2 = 24\ \Rightarrow\ a = 2$

O raio da esfera será a metade da diagonal do cubo:

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3}$

$S = 4\pi R^2 = 4(\sqrt{3})^2 = \fbox{$12\pi$}$

Exercício: volume de um cubo circunscrito a uma esfera.

Uma esfera de volume $36\pi\ cm^3$ está inscrita em um cubo. Calcule o volume desse cubo.

Seja $r$ o raio da esfera e $a$ a medida da aresta do cubo:

$36\pi = \dfrac{4\pi r^3}{3}\ \Rightarrow\ r = 3$

$a = 2r = 6$

$V = a^3 = 6^3 = \fbox{$216\ cm^3$}$

Exercício: área de uma secção plana de uma esfera.

Numa esfera de volume ${500\pi \over 3}\ cm^3$ é feita uma secção plana a $3\ cm$ do centro. Determine a área dessa secção.

Seja $R$ o raio da esfera, e $r$ o raio da secção plana, que é uma circunferência de área $A$:

$\dfrac{500\pi}{3} = \dfrac{4\pi R^3}{3}\ \Rightarrow\ R = 5$

$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$

$A = \pi r^2 = \fbox{$A = 16\pi\ cm^2$}$

Exercício: condição para que um número complexo seja real.

Para que valores reais de $k$ o número complexo $(15k - 15) + (k^2 - 9)i$ é real?

A parte imaginária deve  ser nula:

$k^2 - 9 = 0\ \therefore\ \fbox{$k = -3\ \vee\ k = 3$}$

Exercício: área total de um cone.

A superfície lateral planificada de um cone de revolução é um setor circular de raio $9\ dm$ e de ângulo central de $\dfrac{10\pi}{9}$ radianos. Qual a área total do cone?

Chamemos de $g$ a geratriz do cone e $r$ o raio de sua base.

$g = 9$

$\dfrac{10\cancel{\pi}}{\cancel{9}} = \dfrac{2\cancel{\pi} r}{\cancel{g}}\ \Rightarrow\ r = 5$

$A_t = \pi r(r + g) = \fbox{$70\pi\ dm^2$}$

Exercício: volume de um cone.

Se o raio da base de um cone equilátero mede $3\ cm$, então qual a medida do seu volume em $cm^3$?

Por ser um cone equilátero, sua geratriz mede $g = 2r = 6$

Sua altura pela fórmula da altura de um triângulo equilátero de lado $g$:

$h = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{9\pi \cdot \cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}} = \fbox{$9\pi\sqrt{3}$}$

Exercício: soma dos volumes de dois cilindros.

O raio da base de um cilindro é $r$ e sua altura, $2r$. Um outro cilindro tem altura $r$ e raio da base $2r$. Nessas condições, qual a soma de seus volumes?

$S = 2\pi r^3 + 4\pi r^3 = \fbox{$6\pi r^3$}$

Exercício: probabilidade de ter uma certa quantidade de filhos meninos e meninas.

Um casal pretende ter seis filhos. Qual a probabilidade de ter quatro meninos e duas meninas?

Resolução:

Considerando a ordem de chegada dos filhos:

$n(U) = 2^6 = 64$

$n(E) =$ número de permutações de seis elementos em que um repete-se quatro vezes e o outro duas vezes $= \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5\ \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2} = \dfrac{30}{2} = 15$

$P_E = \dfrac{n(E)}{n(U)} = \fbox{$\dfrac{15}{64}$}$

Exercício: número de soluções de uma equação trigonométrica.

No intervalo $[0, \pi]$, qual o número de soluções da equação $\sin (2x) + \sin x = 0$?

Resolução:

$\sin (2x) + \sin x = [2(\sin x)(\cos x)] + \sin x = (\sin x)(2\cos x + 1)$

$(\sin x)(2\cos x + 1) = 0\ \Rightarrow\ \sin x = 0\ \vee\ 2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0\ \Rightarrow\ x = 0\ \vee\ x = \pi$

$2\cos x + 1 = 0\ \Rightarrow\ \cos x = -\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ x = \dfrac{2\pi}{3}$

$\fbox{O número de soluções é $3$}$

Exercício: determinar os coeficientes de um sistema linear sabendo que é possível e indeterminado.

Seja $a$ um parâmetro real não nulo. Se o sistema $\begin{cases}ax + a^2y = 0\\ a^2x + a^4y = 0\end{cases}$ tem uma infinidade de soluções, qual o valor de $a$?

O determinante da matriz dos coeficientes deve ser nulo para que um sistema linear seja impossível ou indeterminado, como o enunciado diz que ele é possível, logo é indeterminado.

$\begin{vmatrix} a & a^2\\ a^2 & a^4\end{vmatrix} = 0\ \Rightarrow a^5 - a^4 = 0\ \therefore\ a = 0\ \vee\ a = 1$

Como $a$ é real não nulo, $\fbox{$a = 1$}$.

Exercício: determinando a máxima velocidade em uma curva sem derrapar.

Considere uma pista contida num plano horizontal. A máxima velocidade com que um carro pode fazer uma curva de raio $80$ metros sem derrapar é de $20\ m/s$. Determine a máxima velocidade que esse carro pode ter, ao fazer uma curva de $20$ metros.

Resolução:

Horizontalmente, a força resultante é a centrípeta, e é composta apenas da força de atrito, logo são iguais.

Considerando constante o coeficiente de atrito $\mu$, na iminência de derrapar: $\cancel{m}g\mu = \cancel{m}\dfrac{v^2}{R}\ \Rightarrow\ \mu = \dfrac{v^2}{gR}$

$\mu = \dfrac{20^2}{80g} = \dfrac{5}{g}$

Fazendo a curva de raio $20$ metros:

$\cancel{m}\cancel{g}\dfrac{5}{\cancel{g}} = \cancel{m}\dfrac{v^2}{20}\ \therefore\ \fbox{$v = 10\ m/s$}$

Exercício: área e volume de um paralelepípedo cujas dimensões são raízes de uma equação polinomial.

As dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto-retângulo são as raízes da equação do $3^{\underline{o}}$ grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$. Calcule a área total e o volume desse paralelepípedo.

Pelas relações de Girard:

$ A = 2(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3) = \fbox{$\dfrac{2c}{a}$}$

$ V = r_1 r_2 r_3 = \fbox{$-\dfrac{d}{a}$}$

Exercício: determinando raízes de um polinômio conhecidas algumas de suas propriedades.

Resolva em $\mathbb{C}$ a equação $x^5 - 6x^4 + 64x^2 - 144x + 96 = 0$ sabendo que três de suas raízes são iguais e as outras duas são opostas entre si.

Resolução:

Chamemos as iguais de $r_1$ e as opostas de $r_2$ e $-r_2$.

Por uma das relações de Girard:

$6 = r_1 + r_1 + r_1 + \cancel{r_2} - \cancel{r_2} = 3r_1\ \therefore\ r_1 = 2$

Por outra das relações de Girard:

$-96 = -r_1^3 r_2^2= -2^3 r_2^2 = -8 r_2^2$

$r_2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$\fbox{$S = \{2, 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}\}$}$

Exercício: determinando uma raiz de uma equação polinomial conhecidas as demais.

Os números $-1$ e $1$ são raízes de $P(x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c$. Qual a terceira raiz?

Utilizando uma das relações de Girard:

$(-1) \cdot 1 \cdot r = -\dfrac{2\cancel{c}}{\cancel{c}}\ \therefore\ \fbox{$r = 2$}$

Exercício: encontrando coeficientes de um polinômio por meio das relações de Girard.

Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da equação $3x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ sabendo que as raízes são $5i$, $-5i$ e $2$.

Utilizando as relações de Girard:

$\cancel{5i} - \cancel{5i} + 2 = - \dfrac{a}{3}\ \therefore\ \fbox{$a = -6$}$

$5i \cdot (-5i) + \cancel{5i \cdot 2} + \cancel{2 \cdot (-5i)} = \dfrac{b}{3}\ \therefore\ \fbox{$b = 75$}$

$5i \cdot (-5i) \cdot 2 = - \dfrac{c}{3}\ \therefore\ \fbox{$c = -150$}$

Exercício: aplicando as relações de Girard.

Sendo $r_1$, $r_2$ e $r_3$ as raízes da equação $2x^3 - 4x^2 + 3x + 1 = 0$, calcular $\dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$.

Chamemos $R = \dfrac{1}{r_1^2} + \dfrac{1}{r_2^2} + \dfrac{1}{r_3^2}$

$R = \dfrac{(r_1 r_2)^2 + (r_1 r_3)^2 + (r_2 r_3)^2}{(r_1 r_2 r_3)^2} = \dfrac{(r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3)^2 - 2 r_1 r_2 r_3 (r_1 + r_2 + r_3)}{(r_1 r_2 r_3)^2}$

Pelas relações de Girard:

$R = \dfrac{(\dfrac{3}{2})^2 - 2 \cdot (-\dfrac{1}{2}) \cdot 2}{(-\dfrac{1}{2})^2} = \fbox{$17$}$

Exercício: determinando operação entre coeficientes de uma equação polinomial.

Sabendo que $1$ é raiz da equação $x^3 + ax^2 - 2x + b = 0$, calcule o valor de $a+b$.

Substituindo $x$ por $1$ e, como $1$ é raiz, igualando a $0$:

$1 + a - 2 + b = 0\ \therefore\ \fbox{$a + b = 1$}$

Exercício: determinando um polinômio e uma imagem sua.

Um polinômio $P(x) \equiv x^3 + ax^2 + bx + c$ satisfaz as seguintes condições: $P(1) = 0$; $P(-x) + P(x) = 0$, qualquer que seja $x$ real. Qual o valor de $P(2)$?

$P(1) = 0\ \Rightarrow\ 1 + a + b + c = 0$

$P(-1) + P(1) = 0\ \Rightarrow\ P(-1) = 0\ \Rightarrow\ -1 + a - b + c = 0$

$P(0) + P(0) = 0\ \Rightarrow\ 2c = 0\ \Rightarrow\ c = 0$

$\begin{cases}a + b = -1\\ a - b = 1\end{cases}\ \Rightarrow\ a = 0\ \wedge\ b = -1$

$P(x) = x^3 - x$

$P(2) = 2^3 - 2 = \fbox{$6$}$

Exercício: raízes comuns a dois polinômios.

Determine as raízes comuns aos polinômios $P(x) \equiv 2x^6 - x^2 + 1$ e $Q(x) \equiv x^6 + 4x^4 - 3$.

Resolução:

Se $x$ é raíz de $P(x)$ e também de $Q(x)$, então $P(x) = 0$ e $Q(x) = 0$, logo, afim de cancelar os termos em $x^6$, podemos tranquilamente escrever:

$2Q(x) - P(x) = 0$

$8x^4 + x^2 - 7 = 0$

$x^2 = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 224}}{16}$

$x^2 = \dfrac{-1 + 15}{16}\ \vee\ x^2 = \dfrac{-1 - 15}{16}$

$x^2 = \dfrac{7}{8}\ \vee\ x^2 = -1$

$x \in \{\sqrt{\dfrac{7}{8}}, -\sqrt{\dfrac{7}{8}}, i, -i\}$

Fazendo uma verificação, destes valores apenas $i$ e $-i$ são raízes de ambos.

Simétricos de $z$ no plano de Argand-Gauss.

Seja $z$ um número complexo no plano de Argand-Gauss, há uma bijeção entre os pontos do plano de $\mathbb{C}$, de tal forma que um ponto do plano chama-se afixo de um elemento $z$ de $\mathbb{C}$.

O plano de Argand-Gauss, ou simplesmente plano complexo, é semelhante a um plano cartesiano, com dois eixos, no caso, o horizontal é chamado de eixo real e, o vertical, de eixo imaginário.

Eis os simétricos de um número complexo genérico $z$:

Simétrico em relação à origem: $-z$.

Simétrico em relação ao eixo real: $\overline{z}$.

Simétrico em relação ao eixo imaginário: $-\overline{z}$

Gráficos: funções $\rho (z)$ e $\theta (z)$.

Um número complexo, em sua forma trigonométrica, possui dois parâmetros: $\rho$ que é seu módulo, e $theta$ que é seu argumento.

Eis aqui dois gráficos, um para $\rho$ e outro para $\theta$ no plano de Argand-Gauss:

Demonstração: lançamento oblíquo a ângulos complementares.

Demonstre que lançamentos oblíquos a ângulos complementares são equidistantes.

$x_{max} = \dfrac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$

$\sin 2\theta\ =\ \sin (\pi - 2\theta) = \sin [2(\dfrac{\pi}{2} - \theta)]$

Exercício: determinando imagens de números complexos.

Determine no plano de Argand-Gauss as imagens dos complexos $z$ tais que $z\overline{z} = |z|$.

Resolução:

Seja $z = a + bi$.

$z\overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, ou seja, é o quadrado do seu módulo.

$|z|$ é o seu módulo.

Chamemos o módulo de $z$ de $\rho$, assim, a equação acima pode ser interpretada como encontrar os complexos de módulo $\rho$, tais que $\rho^2 = \rho$.

$\rho^2 - \rho = 0\ \Rightarrow\ \rho = 0\ \vee\ \rho = 1$

Assim, no plano de Argand-Gauss, os únicos complexos que satisfazem a sentença são o centro $(0, 0)$ e a circunferência de raio $1$.

$\fbox{$S = \{z \in \mathbb{C}\ :\ z = 0\ \vee\ |z| = 1\}$}$

Exercício: volume e razão de semelhança.

Se uma aresta de um poliedro mede $3 u$, e o mesmo tem volume $100 u^3$, $u$ unidade arbitrária de comprimento, qual será seu volume em uma outra unidade arbitrária $v$ tal que a mesma aresta tem comprimento $5 v$?

Resolução:

A razão de semelhança linear é $\dfrac{5}{3}$, logo a razão de semelhança cúbica ou volumétrica será $(\dfrac{5}{3})^3$.

$V\ =\ (\dfrac{5}{3})^3 \cdot 100\ v^3$

$V\ =\ \dfrac{12500}{27}\ v^3\ \approx\ \fbox{$463\ v^3$}$

Exercício: equação matricial.

$A$ é matriz inversível, resolva a equação $A \cdot X = B$.

Resolução:

$A \cdot X = B\ \Rightarrow \ A^{-1}(A \cdot X) = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ (A^{-1}A)X = A^{-1} \cdot B$

$I \cdot X = A^{-1} \cdot B\ \Rightarrow \ \fbox{$X = A^{-1} \cdot B$}$

Exercício: simétrico de um ponto com relação a outro ponto.

Determinar o simétrico do ponto $A(3, 5)$ em relação ao ponto $Q(9, 6)$.

Resolução:

O simétrico de $A$ em relação a $Q$ é o ponto $A'(x_{A'}, y_{A'})$ tal que $Q$ é o ponto médio do segmento $\overline{AA'}$.

$9 = \dfrac{3 + x_{A'}}{2} \Rightarrow x_{A'} = 15$

$6 = \dfrac{5 + y_{A'}}{2} \Rightarrow y_{A'} = 7$

$A'(15, 7)$

Exercício: ponto médio.

Dados $A(5, 1)$ e $B(7, -9)$, determinar o ponto médio $M(x_M, y_M)$ do segmento $\overline{AB}$.

Resolução:

$x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$

$y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} \Rightarrow x_M = \dfrac{1 + (-9)}{2} = -4$

$M(6, -4)$