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Um ônibus faz o percurso entre as cidades A e B a uma velocidade de $72\ km/h$. ao chegar à cidade B, retorna para A com uma velocidade de $48\ km/h$. Qual é a sua velocidade média?
$v_m = \dfrac{\Delta S}{\Delta t} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{48}} = \dfrac{2 \cdot 144}{2 + 3} = \fbox{$57,6\ km/h$}$
A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como $3$ está para $1$. Qual é a idade de cada um, sabendo que a diferença entre elas é de $24$ anos?
Seja $f$ a idade do filho.
$3f - f = 24\ \Rightarrow\ \fbox{$f = 12$}\ \Rightarrow\ \fbox{$3f = 36$}$
Uma impressora laser realiza um serviço em $7$ horas e meia, trabalhando na velocidade de $5000$ páginas por hora. Outra impressora, da mesma marca, mas de modelo diferente, trabalhando na velocidade de $3000$ páginas por hora, em quanto tempo executará o serviço?
A quantidade de páginas impressas pela primeira impressora foi $5000 \cdot 7,5 = 37500$ páginas.
A segunda impressora executará o mesmo serviço em $\dfrac{37500}{3000} = 12,5$ horas, ou $\fbox{$12 \text{ horas e } 30 \text{ minutos}$}$.
Numa escola de apenas $800$ alunos, é sabido que $200$ deles gostam de pagode; $300$ de rock e $130$ de pagode e de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock?
$800 - (200 + 300 - 130) = \fbox{$430$}$
Eduardo possui duas contas bancárias: uma no Banco Alpha e outra no Banco Lótus. O saldo de sua conta no Banco Alpha possui $3$ unidades monetárias a menos do que o seu saldo no Banco Lótus. Além disso, o dobro de seu saldo no Banco Alpha mais o triplo de seu saldo no Banco Lótus é igual a $24$ unidades monetárias. Quais os saldos de Eduardo nos Bancos Alpha e Lótus?
Sejam $a$ o saldo no banco Alpha e $\ell$ o saldo no banco Lótus.
$\begin{array}{l c r}a = \ell - 3 & & 2a + 3\ell = 24\end{array}$
$2(\ell - 3) + 3\ell = 24\ \Rightarrow \fbox{$\ell = 6\ \wedge\ a = 3$}$
Isaura tem o dobro da idade de Juraci, que é um ano mais velha que Benedita. Sabendo que daqui a dois anos a soma das idades de Isaura, Juraci e Benedita será igual a $77$ anos, qual a idade de Benedita daqui a $8$ anos?
Sejam $i$ a idade de Isaura, $j$ a idade de juraci, e $b$ a idade de Benedita.
$\begin{array}{l c c c r}i = 2j & & j = b + 1 & & i + j + b + 6 = 77\end{array}$
$2b + 2 + b + 1 + b = 71\ \Rightarrow\ b + 8 = \fbox{$25$}$
A média aritmética das idades dos candidatos a um concurso público federal é de $36$ anos. Quando separados por sexo, essa média é de $37$ anos para o grupo do sexo masculino e $34$ para o grupo do sexo feminino. Qual a razão entre o número de homens e mulheres?
Sejam $h$ o número de homens, $H$ a soma das idades dos homens, $m$ o número de mulheres, e $M$ a soma das idades das mulheres.
$\begin{array}{l c c c r}\dfrac{H + M}{h + m} = 36 & & \dfrac{H}{h} = 37 & & \dfrac{M}{m} = 34\end{array}$
$\dfrac{37h + 34m}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ 34 + \dfrac{3h}{h + m} = 36\ \Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{h + m}{3h}\ \Rightarrow$
$\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{m}{3h}\ \Rightarrow\ \fbox{$\dfrac{h}{m} = 2$}$
A razão é $0,2$.
$a_5 = 2000 \cdot 0,2^4 = 2000 \cdot 0,0016 = \fbox{$\dfrac{16}{5}$}$
$\dfrac{2x + 1}{5x - 3} = \dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ 6x + 3 = 5x - 3\ \Rightarrow\ x = -6$
Entretanto observemos que $-6$ não pertence aos domínios de $\log_3 (2x + 1)$ e $\log_3 (5x - 3)$, logo $\fbox{$S = \varnothing$}$.
