Seja $u = (u_j)_1^n$ uma solução do sistema linear $AX = B$, seja $\displaystyle\sum_{i=1}^m c_i \left(\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^m c_i b_i$ uma combinação linear de equações de $AX = B$, $u$ é solução da combinação linear.

$\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} u_j = b_i\ \Rightarrow\ \displaystyle\sum_{i=1}^m c_i \left(\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij} u_j\right) = \displaystyle\sum_{i=1}^m c_i b_i$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja o sistema homogêneo $AX = O$ em que $A_{ij} = 0$ para $j = k$, o sistema tem mais de uma solução.

Por ser homogêno, o sistema é consistente.

Sejam $X = (x_i)_0^n$ e $X' = (x'_i)_0^n$ vetores-coluna tais que $x'_j = x_j$ para $j \neq k$ e $x'_j = a,\ a \neq x_j$ para $j = k$, $AX' = O$.

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $u$ uma solução do sistema linear $AX = B$ (*), e $w$ uma solução do sistema homogêneo associado $AX = O$ (**). Se $U$ é o conjunto solução de (*) e $W$ é o conjunto solução de (**), $U = u + W = \{u + w,\ w \in W\}$.

$A(u + w) = Au + \cancelto{O}{Aw} = B$. Logo $u + w \in U\ \Rightarrow\ u + W \subset\ U.\ \large{(I)}$

Seja $v$ uma solução de (*), $v = u + (v - u)$.

$A(v - u) = Av - Au = B - B = O$. Logo $v - u \in W\ \Rightarrow\ v \in u + W\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ U \subset\ u + W\ \large{(II)}$

$\large{(I)}\ \wedge\ \large{(II)}\ \Rightarrow\ U = u + W$

Quod Erat Demonstrandum.

Seja $a$ um complexo, $a = (\sqrt[n]{a})^n,\ n \in \mathbb{N^*}$.

Seja $a\ =\ \rho(\cos \theta\ +\ i\sin \theta),\ \rho \in \mathbb{R},\ \rho \ge 0,\ \theta \in [0, 2\pi[$,

$\sqrt[n]{a}\ =\ \sqrt[n]{\rho}\left[\cos \left(\dfrac{\theta}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}\right)\ +\ i\sin \left(\dfrac{\theta}{n} + \dfrac{2k\pi}{n}\right)\right],\ k \in \mathbb{Z}$

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\ =\ \left(\sqrt[n]{\rho}\right)^n \left[\cos \left(\dfrac{n\theta}{n} + \dfrac{2nk\pi}{n}\right)\ +\ i\sin \left(\dfrac{n\theta}{n} + \dfrac{2nk\pi}{n}\right)\right] = a$.

Quod Erat Demonstrandum.

Calculadora: completar quadrado.

Entre com uma string contendo um polinômio do segundo grau, em "x", de coeficientes reais, a completar:

Exemplo:

Input: "4xx - 8x + 3". Output: $(2x - 2)^2 - 1$.




Quadrado completado:

Lugar geométrico simétrico em relação a uma reta.

Seja a reta $y = mx + n$.

Se a reta é vertical $x = a$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(2a - x_o, y_o)$.

Se a reta é horizontal $y = n$, de imediato o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ é $(x_o, 2n - y_o)$.

Se a reta tem coeficiente angular $m = 1$, $(x_i, y_i) = (y_o - n, x_o + n)$.

Se a reta tem coeficiente angular $m = -1$, $(x_i, y_i) = (-y_o + n, -x_o + n)$.

Se a reta não é vertical, nem horizontal, e se $|m| \neq 1$, $y = \dfrac{-1}{m}(x - x_o) + y_o$ é a reta perpendicular passando por $(x_o, y_o)$.

A intersecção entre as duas retas é $\left(\dfrac{(y_o - n) m}{m^2 + 1}, \dfrac{(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + n\right)$, e o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$, $(x_i, y_i)$ com relação à reta é dado por:

$\fbox{$(x_i, y_i) = \left(\dfrac{2(y_o - n)m}{m^2 + 1} - x_o, \dfrac{2(y_o - n)m^2}{m^2 + 1} + 2n - y_o\right)$}$.

Ou, isolando $x_o$ e $y_o$,

$\fbox{$(x_o, y_o) = \left(\dfrac{\dfrac{2my_i - 4mn}{m^2 - 1} - (m^2 + 1)x_i - mn}{m^2 + 1}, \dfrac{y_i - 2n}{m^2 - 1}\right)$}$.

Exemplo:

Seja a região $y \ge x^2$, o lugar geométrico simétrico com relação à reta $y = \dfrac{x}{2} - 1$ é

$\dfrac{-y - 2}{3/4} \ge \left(\dfrac{\dfrac{-y - 2}{3/4} - \dfrac{5x}{4} + \dfrac{1}{2}}{5/4}\right)^2$.

Lugar geométrico simétrico em relação a um ponto.

Seja $(x_o, y_o)$ um ponto de uma curva ou região, e $(x_i, y_i)$ o ponto simétrico de $(x_o, y_o)$ com relação ao ponto $(a, b)$:

$(x_i, y_i) = (2a - x_o, 2b - y_o)$.

Exemplo:

Seja a circunferência $x^2 + y^2 = 1$, a curva simétrica de tal circunferência em relação a $(2, 2)$ é $(4 - x)^2 + (4 - y)^2 = 1$.

Uma série para $e$.

A constante $e$ é a base dos logaritmos naturais, é definida por $e = \displaystyle\lim_{x\ \rightarrow \ +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$.

Utilizando a Fórmula de Taylor, sabendo que $\dfrac{d^{(n)}}{dx^{(n)}} e^x = e^x$, tomando $a = 0$,

$\fbox{$e = \displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \dfrac{1}{i!}$}$.

Calculadora: Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda parte um número real para a velocidade de deslocamento sob o gráfico da função, a terceira a abscissa do ponto de referência, a quarta a ordenada do ponto de referência, e a quinta o valor para "x":

Exemplo:

Input: "3; -1; 0; 1; -1". Output: aproximadamente "0.5".




Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$ (aproximada):

Calculadora: Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$.

Entre com uma string separada por ponto e vírgula ";", tendo como primeira parte uma função em "x", a segunda a abscissa do ponto de referência, a terceira a ordenada do ponto de referência, e a quarta o valor para "x":

Exemplo:

Input: "2; 0; 1; -1". Output: aproximadamente "1".




Ponto Cego de Antonio Vandré no eixo $Ox$ (aproximado):

Velocidade do Ponto Cego de Antonio Vandré.

Afim de simplificar os cálculos, consideremos $g$ constante igual a $0$.

Seja $v_o$ a velocidade de deslocamento de um ponto sobre o gráfico de $f$, $\dfrac{dx_o}{dt} = \dfrac{v_o}{\sqrt{1 + [f^{'}(x_o)]^2}}$.

 

Isolando $x_i$ em $g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$ e derivando com relação a $t$, chamando de $v_i$ a velocidade da imagem:

$\fbox{$v_i = \dfrac{v_o}{\sqrt{1 + [f^{'}(x_o)]^2}} \cdot \dfrac{[af^{'}(x_o) - b][f(x_o) - b] - f^{'}(x_o) [af(x_o) - bx_o]}{[f(x_o) - b]^2}$}$.

 

Ponto cego no eixo $Ox$, $x_0 \neq a$, $f(x_o) \cdot b > 0\ \wedge\ |f(x_o)| > |b|$.

Ponto Cego de Antonio Vandré.

Sejam os gráficos de duas funções $f(x)$ e $g(x)$, e um ponto $(a, b)$ entre um ponto de $f$ e um ponto de $g$, definimos "Ponto Cego de Antonio Vandré" um ponto de $g$ pertencente à reta definida por um ponto de $f$ e $(a, b)$.

Chamemos de $x_o$ ($x_o \neq a$) a abscissa do ponto objeto, um ponto de $f$, a reta definida por $(a, b)$ e este ponto é $y = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a$.

Chamemos $x_i$ a abscissa do ponto imagem, um ponto de $g$ pertencente à reta.

Se $x_o = a$ e $g$ estiver definida em $x_o$, $x_i = x_o$. Caso contrário:

$\fbox{$g(x_i) = \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot x_i + b - \dfrac{f(x_o) - b}{x_o - a} \cdot a,\ min(x_o, x_i) < a < max(x_o, x_i)$}$.

Exemplo:

Sejam $f(x) = 0$, $g(x) = 2$ e $(a, b) = (0, 1)$, para $x_o = 1$:

$2 = -x_i + 1 + 1 \cdot 0\ \Rightarrow\ x_i = -1$.

Calculadora: comprimento do gráfico de uma função.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula: primeiro: a expressão da função da qual se deseja obter o comprimento, deve ser uma função em "x"; segundo: um número real como valor inferior; terceiro: um número real como valor superior; quarto: a resolução que será utilizada no cálculo.

Exemplo:

Input: "x; 0; 5; 20". Output: aproximadamente "7.071067811865478".

(pode travar o sistema)

Comprimento do gráfico da função no intervalo (aproximado):

Calculadora: estatísticas de um polígono regular.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte o número de lados do polígono; na segunda parte entre com o valor do lado do polígono.

Exemplo:

Input: "4; 2".

Output: aproximadamente

"
Quadrado.

Perímetro: 8.

Apótema: 1.

Raio da circunferência circunscrita: 1.414213562373095.

Área: 4.

Medida dos ângulos internos: 90 graus.

Medida dos ângulos externos: 90 graus.

Área do círculo inscrito: 3.141592653589793.

Área do círculo circunscrito: 6.2831853071795845.

Razão entre as áreas do polígono e do círculo inscrito: 1.2732395447351628.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do polígono 1.5707963267948961.

Razão entre as áreas do círculo circunscrito e do círculo inscrito 2.

".




Estatísticas do polígono regular, aproximadas:

Calculadora: equação da reta tangente.

Entre com uma string dividida em duas partes por ponto e vírgula ";", na primeira parte a expressão da função, deve ser uma função em "x"; na segunda parte entre com um valor do domínio de tal função.

Exemplo:

Input: "sen(x); pi".
Output: aproximadamente "y = -x + 3.141592653589793".




Equação da reta tangente (aproximada):

Calculadora: máximo ou mínimo de uma função.

Entre com uma string separada em quatro partes por barra vertical "|", a primeira com uma função em "x", a segunda com o intervalo de pesquisa, o inferior e o superior separados por ponto e vírgula ";", a terceira "m" se deseja o mínimo ou "M" se deseja o máximo, a quarta a precisão, um inteiro positivo, de busca.

Exemplo:

Input: "x*x | -2; 2 | m | 20".

Output: dentre outros possíveis valores aproximados, "0".

(pode travar o sistema)

Máximo ou mínimo (dependendo do que foi pedido):

Calculadora: gráfico de uma superfície ou região tridimensional por uma relação.

Entre com uma string contendo, separados por ponto e vírgula ";": primeiro: as expressões das relações, separadas por dois pontos ":", das quais se deseja obter os gráficos, devem ser relações em $x$, $y$ e $z$; segundo: um número real como valor inferior para $x$; terceiro: um número real como valor superior para $x$; quarto: um número real como valor inferior para $y$; quinto: um número real como valor superior para $y$; sexto: um número real como valor inferior para $z$; sétimo: um número real como valor superior para $z$; oitavo: a resolução, quanto maior, mais preciso, porém mais demorado e computacionalmente mais exigente.

Log: