Coordenadas elípticas de Antonio Vandré.

Seja a elipse $\dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$ e um ponto $(x_P, y_P)$ do plano cartesiano.

Chamam-se coordenadas elipticas de Antonio Vandré o par $(\theta_e, \rho_e)$ em que $\theta_e$ é a distância algébrica (positiva, nula ou negativa), do ponto $(a, 0)$ ao ponto $(x_e, y_e)$ pertencente à elipse, intersecção da reta que passa por $(0, 0)$ e $(x_P, y_P)$, ao longo da elipse, ou seja,

${\tiny \theta_e\ =\ \displaystyle\int_0^{\theta_P} \sqrt{\left\{\dfrac{a(\cos u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}} + \dfrac{a\sin u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}}\right\}^2 + \left\{\dfrac{2\cos u}{\sqrt{a^2\sin^2 u + \cos^2 u}} - \dfrac{a(\sin u)[2a^2(\cos u)(\sin u) - 2(\cos u)(\sin u)]}{2\sqrt{(a^2 \sin^2 u + \cos^2 u)^3}}\right\}^2}\ du}$,

com $\sin \theta_P = \dfrac{y_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$ e $\cos \theta_P = \dfrac{x_P}{\sqrt{x_P^2 + y_P^2}}$, e $\rho_e = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}$.