Mostrar que a série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é convergente.

Observemos que $\dfrac{1}{n\sqrt{n}}$ é contínua, positiva, e decrescente para $n \ge 1$, logo podemos utilizar o método da integral.

$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{n\sqrt{n}} = \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \left.\left(\dfrac{-2}{\sqrt{n}}\right)\right|_1^b = 2$

Como a integral converge, a série também converge.

Quod Erat Demonstrandum.

Encontrar a soma da série $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{2}{5^n} - \dfrac{1}{2^n}\right)$.

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\dfrac{2}{5^n} - \dfrac{1}{2^n}\right) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{2}{5^n} - \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{2^n} =$

$= \dfrac{2}{1 - \dfrac{1}{5}} - \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{5}{2} - 2 = \fbox{$\dfrac{1}{2}$}$

Uma série para $e$.

A constante $e$ é a base dos logaritmos naturais, é definida por $e = \displaystyle\lim_{x\ \rightarrow \ +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$.

Utilizando a Fórmula de Taylor, sabendo que $\dfrac{d^{(n)}}{dx^{(n)}} e^x = e^x$, tomando $a = 0$,

$\fbox{$e = \displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} \dfrac{1}{i!}$}$.

Encontrando $\pi$ como uma série de potências.

Consideremos a função $f(x) = \arctan x$:

$f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$

$f'(x)$ é uma série conhecida: $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$, que converge para $|x| < 1$.

Integrando $f'(x)$ afim de obter uma série para $f(x)$:

$f(x)\ =\ \int \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\ dx\ =\ [\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \dfrac{x^{2n + 1}}{2n + 1}]\ +\ c$

Como $f(0) = 0$, temos que $c = 0$.

Tomemos agora um valor para $x$ respeitando a limitação de $|x| < 1$ e de tal modo que conheçamos $f(x)$, por exemplo $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ e $f(x) = \dfrac{\pi}{6}$:

$\dfrac{\pi}{6} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{2n + 1} (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2n + 1}$

$\fbox{$\pi = \sum_{n=0}^\infty 6 \cdot \dfrac{(-1)^n}{2n + 1} (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2n + 1}$}$

Exercício: representação de uma função em série.

Encontre a representação em série e o intervalo de convergência de $f(x) = \dfrac{1}{(1 + x)^3}$.

Resolução:

Primeiramente vamos obter uma expressão da série geométrica, com a qual sabemos trabalhar; para isto, vamos integrar $f(x)$ duas vezes:

$\int \int \dfrac{1}{(1 + x)^3}\ dx\ dx\ =\ \int (-\dfrac{1}{2(1 + x)^2} + c_1)\ dx\ =$

$=\ \dfrac{1}{2(1 + x)} + c_1x + c_2\ =\ \dfrac{1}{2}[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n]\ +\ c_1x +\ c_2$, $|x| < 1$

Como houveram duas integrações, vamos derivar duas vezes afim de obter uma expressão para $f(x)$:

$f'(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n n x^{n-1} + c_1$

$f(x) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=2}^\infty (-1)^n n(n - 1) x^{n-2}$

Fazendo uma reindexação:

$\fbox{$\dfrac{1}{(1 + x)^3} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n (n + 2)(n + 1) x^{n}}{2}$, $-1 < x < 1$}$

Exercício: estimativa de erro de uma série convergente.

Obtenha uma estimativa do erro (ou resto) $R_n$ para a enésima soma parcial $S_n$ da série convergente $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{1,1}}$ com relação à soma total $S$.

Resolução:

Não sabemos e não vamos deduzir aqui a expressão para $S_n$, no entanto, mesmo não conhecendo a fórmula, podemos estimar o erro para um dado $n$.

Observemos que se trata de uma p-série, em que $p = 1,1 > 1$, logo converge.

Como os termos são não negativos e decrescentes, podemos estimar o erro $R_n$ através da desigualdade:

$\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx\ \le\ R_n\ \le\ \int_n^{+\infty} \dfrac{1}{x^{1,1}}\ dx$

Logo $\fbox{$\dfrac{10}{(n + 1)^{0,1}} \le R_n \le \dfrac{10}{n^{0,1}}$}$.

Exemplo: para $n = 1000000$, com auxílio de um software ou calculadora, obtemos $S_{1000000} \approx 8,07$ com a margem de erro $\dfrac{10}{1000000^{0,1}} \approx 2,51$ com relação à soma total.

Exercício: mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.

Mostre que a série $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ é convergente.

Resolução:

Observemos que, para $n > 1$, $\dfrac{1}{n!} \le \dfrac{1}{n(n - 1)}$, tendo ambas as séries termos não negativos, assim podemos usar o teste da comparação:

Se $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.

$\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ tendo termos não negativos e não crescentes, podemos usar o teste da integral:

$\int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2 - x} = \int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{(x - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{4}}\ =\ 2\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1}$

Seja $u = 2x - 1$, $du = 2dx$:

$\int_2^{+\infty} \dfrac{2dx}{(2x - 1)^2 - 1} = \int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}$

Seja $u = \sec \theta$, $\theta \in [0, \dfrac{\pi}{2}[$, $du = (\sec \theta)(\tan \theta) d\theta$:

$\int_{3}^{+\infty} \dfrac{du}{u^2 - 1}\ =\ \int_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}} \csc \theta\ d\theta\ =\ \ln |\csc \theta - \cot \theta||_{\arccos \dfrac{1}{3}}^{\dfrac{\pi}{2}}\ =$

$=\ I,\ I \in \mathbb{R}$

Como a integral imprópria converge, $\sum_{n = 2}^\infty \dfrac{1}{n(n - 1)}$ converge, assim $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}$ também converge.

Uma alternativa ao $(-1)^n$ em séries.

$\sum_{n = 0}^N (-1)^n a = \sum_{n = 0}^N \cos(n\pi) a$

$a \in \mathbb{R}$, $N \in \mathbb{N}$.