Exercício: equação polinomial do 2º grau.

Sendo $\alpha$ e $\beta$ as raízes da equação $x^2\ -5x\ -\ 84\ =\ 0$, obtenha uma equação do 2º grau cujas raízes sejam $(\alpha\ +\ 1)$ e $(\beta\ +\ 1)$.

Resolução:

Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.

Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$

Substituindo os valores, teremos:

$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$

$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$

Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:

$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$

Demonstração: o produto de três inteiros consecutivos é divisível por $3$.

Um número divisível por $3$ é da forma $3k$, onde $k$ é inteiro. Seu sucessor é da forma $3k+1$, o sucessor deste é da forma $3k+2$, e o sucessor deste é da forma $3k+3\ =\ 3(k+1)\ =\ 3\ell$, onde $\ell$ é inteiro, portanto também divisível por $3$.

Tomemos o produto de três inteiros consecutivos $P\ =\ xyz$:

Se $x$ é divisível por $3$, $P$ também o será.

Se $x$ for da forma $3k+1$, $z$, o sucessor do sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.

Se $x$ for da forma $3k+2$, $y$, o sucessor de $x$ será da forma $3\ell$, e portanto $P$ será divisível por $3$.

Verificação de primalidade de um número inteiro.

Números primos são aqueles cujos únicos divisores positivos são $1$ e ele próprio.

O algoritmo mais antigo que se tem conhecimento é o chamado Crivo de Erastótenes, que consiste nos seguintes passos:

1. Marca-se o $2$, o menor primo positivo.

2. Marcam-se todos os múltiplos de $2$ até o número ao qual deseja-se conhecer sua primalidade.

3. Marca-se o próximo número primo logo após o antecessor.

4. Repete-se o processo de marcar todos os seus múltiplos.

E assim sucessivamente até chegarmos ao número dado.

Se todos os números positivos menores que o número dado forem marcados, tal número é primo.

Mas existe um procedimento menos trabalhoso. É baseado no seguinte raciocínio:

Um número é primo se não for divisível por nenhum número natural menor que o maior natural cujo quadrado não seja maior que tal número.

Consideremos como exemplo o número $97$. Observemos que $9^2\ <\ 97\ <\ 10^2$

Logo $9$ é o maior número natural cujo quadrado não supera $97$.

Se $97$ não for primo, ele será igual ao produto de dois fatores $f_1$ e $f_2$. Teremos então $97\ =\ f_1\ \cdot\ f_2$.

Se $f_1 > 9$ e $f_2 > 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 > 97$.

Se $f_1 < 9$ e $f_2 < 9$, $f_1\ \cdot\ f_2 < 97$.

Dessa forma concluímos que o número $97$, não sendo primo, admite, obrigatoriamente um divisor menor ou igual a $9$.

Como $97$ não possui nenhum divisor positivo entre $2$ e $9$, ele é primo.

Este último procedimento diminui bastante o tempo de processo que um computador demandaria para afirmar se um número é primo ou não.

Exercício: navegando contra e a favor da correnteza de um rio.

(ITA-SP) Um barco, com motor em regime constante, desce um trecho de um rio em $2,0$ horas e sobe o mesmo trecho em $4,0$ horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com motor desligado?

Física. Gualter & André. Volume único.

Resolução:

Sejam $v$ a velocidade do barco, $v_c$ a velocidade da correnteza, e $d$ a distância percorrida.

O tempo de viagem requisitado é o quociente $\dfrac{d}{v_c}$.

No primeiro percurso, teremos $\dfrac{d}{v + v_c} = 2$.

No segundo percurso, teremos $\dfrac{d}{v - v_c} = 4$.

Invertendo as duas equações, teremos:

$\dfrac{v + v_c}{d} = \dfrac{v}{d} + \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{v - v_c}{d} = \dfrac{v}{d} - \dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$

Subtraindo a segunda da primeira, teremos:

$ 2\dfrac{v_c}{d} = \dfrac{1}{4}$

Logo o tempo de percurso deixando-se o barco a mercê unicamente da correnteza será:

$\dfrac{d}{v_c} = 8$ horas.

$a^3 + b^3$: um produto não tão notável, mas útil.

Desenvolvendo o binômio $(a+b)^3$, temos:

$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3$

$(a+b)[(a+b)^2 - 3ab] = a^3 + b^3$

Logo:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

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Aplicação:

Racionalizar o denominador:

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1}$

Resolução:

Multiplicando o numerador e o denominador por $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$, teremos:

$\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} + 1} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3} + 1)(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3} = \dfrac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1}{4}$

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Aplicação:

Calcular o determinante:

$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix}$

Usando a regra de Chió, teremos:

$D = \begin{vmatrix}b-a & c-a \\ b^3 - a^3 & c^3 - a^3 \end{vmatrix}$

$D = \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b^2 + ba + a^2) & (c-a)(c^2 + ca + a^2) \end{vmatrix}$

Extraindo os fatores $(b-a)$ da primeira coluna e $(c-a)$ da segunda coluna, teremos:

$D = (b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ (b^2 + ba + a^2) & (c^2 + ca + a^2)\end{vmatrix} =$

$= (b-a)(c-a)[(c-b)(c+b) + a(c-b)]$

Logo:

$D = (b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)$

Quantas intersecções determinam $n$ retas?

Vamos estudar o que ocorre no caso de termos apenas retas coplanares e concorrentes, analisando uma única:



Teremos $p$ intersecções para $p$ retas concorrentes a uma única.

Como globalmente temos $p+1$ retas, o número de intersecções contadas será de $p(p+1)$. Mas como cada ponto foi computado $2$ vezes, teremos um total de $i_{p+1} = \dfrac{p(p+1)}{2}$ intersecções para $p+1$ retas.

Se tivermos paralelas ou reversas em jogo, consideremos $m$ o número de tais. Assim devemos subtrair $m$ pontos de concorrência que foram computados a mais:

$i_{p+1;m}\ =\ \dfrac{p(p+1)}{2}\ -\ m$

Tomando $n\ =\ p+1$:

$i_{n;m} = \dfrac{n(n-1)}{2}\ -\ m$

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Exemplo:



$n = 3$ e $m = 0$.

$i_{3;0}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 0\ =\ 3$

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Exemplo:



$n = 4$ e $m = 3$.

$i_{4;3}\ =\ \dfrac{4\ \cdot\ 3}{2}\ -\ 3\ =\ 3$

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Exemplo :



Neste caso especial, inicialmente excluiremos uma não-concorrente:

$n = 3$ e $m = 2$.

$i_{3;2}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 2\ =\ 2$

E posteriormente excluiremos a outra:

$n = 3$ e $m = 2$.

$i_{3;2}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 2\ =\ 2$

E depois somamos os resultados: $2\ +\ 2\ =\ 4$.

Este é um caso em que devemos tratar cada conjunto de não-concorrentes de forma especial.

A terceira lei de Kepler.

Enunciado:

Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.

De fato:

Considerando as órbitas trajetórias circulares, a força resultante sobre o astro será centrípeta. E usando a gravitação de Newton, teremos:

$\dfrac{mv^2}{R}\ =\ G\dfrac{mM}{R^2}$

Onde $m$ é a massa do planeta, $M$ é a massa do Sol, $R$ é a distância que separa os astros, $v$ é a velocidade do planeta, e $G$ é a constante gravitacional universal.

Dela concluímos:

$\dfrac{v^2}{R}\ =\ G\dfrac{M}{R^2}$

$v\ =\ \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$

Como o comprimento da trajetória é $2\pi R$, e chamando de $T$ o período de translação, teremos:

$T\ =\ \dfrac{2\pi R}{v}\ =\ \dfrac{2\pi R}{\sqrt{\dfrac{GM}{R}}}\ =\ \sqrt{\dfrac{4 \pi^2 R^3}{GM}}$

Donde $T^2\ =\ \dfrac{4 \pi^2 R^3}{GM}$.

Notemos que $\dfrac{4 \pi^2}{GM}$ é constante. Logo:

$T^2\ \propto\ R^3$

Vale destacar mais um fato:

Segundo as observações de Tycho Brahe, tomando $T$ em anos e $R$ em unidades astronômicas, a constante de proporcionalidade é $1$. Logo:

$\dfrac{4 \pi^2}{GM}\ =\ 1 \Rightarrow\ GM\ =\ 4 \pi^2$

Ou seja, se Newton, ao enunciar a lei da gravitação universal, se conhecesse a massa do Sol, poderia determinar a constante $G$ 100 anos antes de Cavendish.

Exercício: cardinalidade de conjuntos.

‎(EPUSP) Depois de $n$ dias de férias, um estudante observa que:
(1) Choveu $7$ vezes, de manhã ou à tarde;
(2) Quando chove de manhã não chove a tarde;
(3) Houve $5$ tardes sem chuva;
(4) Houve $6$ manhãs sem chuva.

Então $n$ é igual a:
a) $7$.
b) $9$.
c) $10$.
d) $11$.
e) n.d.a.

Resoluçao:



Seja $x$ o número de dias onde estritamente choveu durante a manhã, $y$ o número de dias onde estritamente choveu à tarde, $w$ o número de dias onde choveu de manhã e à tarde, e $z$ o número de dias em que não choveu. Teremos:

$n\ =\ x\ +\ y\ +\ z\ +\ w$

Pela sentença (1), temos que $x\ +\ y\ +\ w\ =\ 7$.

Pela sentença (2), temos que $w\ =\ 0$.

Pela sentença (3), temos que $x\ +\ z\ =\ 5$.

Pela sentença (4), temos que $y\ +\ z\ =\ 6$.

Teremos então o sistema:

$x\ +\ y\ =\ 7$
$ x\ +\ z\ =\ 5$
$y\ +\ z\ =\ 6$


Somando todas, teremos:

$2x\ +\ 2y\ +\ 2z\ =\ 18$

Mas $x\ +\ y\ +\ z\ =\ n$

Então:

$2n\ =\ 18\ \Rightarrow\ n\ =\ 9$

Alternativa b.

Reação normal no movimento circular vertical.

Consideremos um objeto descrevendo um movimento circular vertical com velocidade tangencial constante.

Em tais condições a resultante será a força centrípeta $\overrightarrow{F_c}$.

Chamemos de $\overrightarrow{P}$ seu peso e $\overrightarrow{P_c}$ sua componente centrípeta. Chamemos ainda de $\overrightarrow{N}$ a reação de apoio.

Na posição indicada pela gravura, temos:

$P_c\ =\ P \cos\ \phi$

$F_c\ =\ N\ +\ P_c$

$F_c\ =\ N\ +\ P \cos \phi$

Observemos que $\phi$ e $\theta$ são complementares. Logo $\cos\ \phi\ =\ \sin\ \theta$.

Assim:

$N\ =\ F_c\ -\ P \sin\ \theta$ (eq. principal).

Observemos que:

Em A:

$\theta\ =\ 0\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ 0\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c$

Em B:

$\theta\ =\ \dfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ 1\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c\ -\ P$

Em C:

$\theta\ =\ \pi\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ 0\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c$

Em D:

$\theta\ =\ \dfrac{3\pi}{2}\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ -1\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c\ +\ P$

Desenvolvendo (eq. principal), teremos:

$N\ =\ \dfrac{m\ \cdot\ v^2}{R}\ -\ m\ \cdot\ g\ \cdot\ \sin\ \theta$

$N\ =\ (\dfrac{v^2}{R}\ -\ g \sin\ \theta)\ \cdot\ m$

Notemos que para o objeto possa completar a circunferência, devemos ter $N\ \geq\ 0$, donde concluímos que $\dfrac{v^2}{R}\ \geq\ g \sin\ \theta$.

O máximo valor de $\sin\ \theta$ é $1$. Logo devemos ter:

$v\ \geq\ \sqrt{gR}$ para que o ciclo seja possível.

Considerando a instância em que $g\ =\ 10\ \dfrac{m}{s^2}$, $m\ =\ 1\ kg$, $R\ =\ 10\ m$, e $v\ =\ 10\ \dfrac{m}{s}$, temos:

$N\ =\ 10\ -\ 10 \sin\ \theta$

Cujo gráfico é:

Alcance do lançamento oblíquo em um plano oblíquo.

O tempo $t$ necessário para o deslocamento horizontal será o mesmo para o deslocamento vertical.

Tomando por convenção o sinal positivo para o deslocamento para cima, verticalmente o objeto deve atingir o espaço $- A \sin \phi$.

Estudando o movimento vertical:

$- A \sin \phi\ =\ (V_0 \sin \theta)t\ +\ \dfrac{g}{2}t^2$

$t\ =\ \dfrac{- V_0 \sin \theta\ +\ \sqrt{{V_0}^2 \sin^2 \theta\ -\ 2gA \sin \phi}}{g}$

Estudando o movimento horizontal:

$A \cos \phi\ =\ (V_0 \cos \theta)t$

Substituindo $t$ na conclusão vertical:

$\dfrac{A \cos \phi}{V_0 \cos \theta}\ =\ \dfrac{- V_0 \sin \theta\ +\ \sqrt{{V_0}^2 \sin^2 \theta\ -\ 2gA \sin \phi}}{g}$

${V_0}^2 \sin^2 \theta\ -\ 2gA \sin \phi\ =\ \left(g \dfrac{A \cos \phi}{V_0 \cos \theta}\ +\ V_0 \sin \theta\right)^2$

$\left(\dfrac{g^2 \cos^2 \phi}{{V_0}^2 \cos^2 \theta}\right) A^2\ +\ 2g [(\sin \phi)\ +\ (\cos \phi)(\tan \theta)] A\ =\ 0$

$A\ =\ \dfrac{2{V_0}^2 (\cos \phi)(\sin \theta)(\cos \theta)\ +\ 2{V_0}^2 (\cos^2 \theta) (\sin \phi)}{g \cos^2 \phi}\ =$

$=\ \dfrac{2{V_0}^2 (\sin \theta)(\cos \theta)}{g \cos \phi}\ +\ \dfrac{2{V_0}^2 (\cos^2 \theta)(\tan \phi)}{g \cos \phi}\ =$

$=\ \fbox{$\dfrac{2{V_0}^2 \cos \theta}{g \cos \phi} [(\sin \theta)\ +\ (\cos \theta)(\tan \phi)]$}$

Exercício: objetos flutuando no equador.

Esta questão não requer meditações profundas, mas é um tanto cômica.

Imagine que a velocidade de rotação da Terra fosse aumentando gradualmente. Para um determinado valor dessa velocidade, os corpos situados na superfície da Terra, na linha do Equador, estariam flutuando, sem exercer compressão sobre o solo (os pesos aparentes desses corpos seriam nulos) Sendo o raio da Terra $R\ =\ 6400\ km$ e considerando $g\ =\ 10\ \dfrac{m}{s^2}$, calcule qual seria o período de rotação da Terra quando isso acontecesse.

Resolução:



Se por exemplo uma pessoa for o objeto estudado, ela estará acompanhando a rotação da terra e terá resultante centrípeta. Tendo apenas duas forças consideradas:

$\overrightarrow{F_R}\ =\ \overrightarrow{P}\ +\ \overrightarrow{N}$

$F_R\ =\ P\ -\ N$

Mas se o peso aparente é nulo, teremos $\overrightarrow{N}\ = \overrightarrow{0}$.

Sendo $\omega$ a velocidade angular da Terra, teremos:

$m\ \cdot\ \omega^2\ \cdot R\ =\ m\ \cdot\ g$

Donde:

$\omega\ =\ \sqrt{\dfrac{g}{R}}$

Como $\omega\ =\ \dfrac{2\pi}{T}$, sendo $T$ o período, teremos:

$T\ =\ \dfrac{2\pi}{\sqrt{\dfrac{g}{R}}}$

Aplicando os valores, teremos $T\ \approx\ 1h\ 24'$. O dia teria aproximadamente apenas uma hora e meia.

Comprimento do gráfico cartesiano de uma função qualquer.

Consideremos o gráfico de uma função qualquer em $x$ $f(x)$.

Tendo por objetivo calcular seu comprimento, basta calcular a integral da distância $d$ entre dois pontos do gráfico cujas abscissas são os limites:



Por Pitágoras, temos que $d^2\ =\ (x_2\ -\ x_1)^2 + [f(x_2)\ -\ f(x_1)]^2$

Considerando $x_2\ -\ x_1\ =\ \delta$ e $f(x_2)\ -\ f(x_1)\ =\ f(x_1\ +\ \delta)\ -\ f(x_1)$, e para simplificar os cálculos considerar $x_1\ =\ a$, temos:

$C_{f_{a\to b}}\ =$

$=\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_a^{b\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\}\ -$

$-\ \{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\}$

$\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ dá a área do gráfico $d\ \times\ \delta $.

$\int_a^{b\ -\ 1} \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ seria o subtraendo da área para obtermos $d(b)$, mas como podemos ter $b\ -\ a\ \leq\ 1$ devemos subtrair de $b$ um infinitesimal $\epsilon$, mas em contrapartida devemos multiplicar a diferença de áreas por $\dfrac{1}{\epsilon}$ afim de obter uma área restante de $1\ \cdot\ d(b)$ unidades.

O mesmo raciocínio para $\int_{a\ +\ 1}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta$ afim de encontrar $d(a)$.

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Exemplo:

Seja $f(x)\ =\ x$:

Como $a\ =\ 0\ \wedge\ f(0)\ =\ 0$, temos que $d(0)\ =\ 0$, ou seja:

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_a^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta\ -\ \int_{b\ +\ \epsilon}^b \sqrt{\delta^2\ +\ [f(a\ +\ \delta)\ -\ f(a)]^2}\ d\delta}{\epsilon}\ =\ 0$

$C_{f_{0\to 1}}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\int_0^1 \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta\ -\ \int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{\delta^2\ +\ (0 + \delta\ -\ 0)^2}\ d\delta}{\epsilon}$

$\int_0^1 \sqrt{2\delta^2}\ d\delta\ =\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\int_0^{1\ -\ \epsilon} \sqrt{2\delta^2}\ d\delta =\ (1\ -\ \epsilon)^2\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ =\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Usando L'Hôpital:

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\ -\ (1\ -\ 2\epsilon\ +\ \epsilon^2)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\epsilon}\ =\ \lim_{\epsilon \to 0} - (-2\ +\ 2\epsilon)\ \cdot\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ = \sqrt{2}$

Assim:

$C_{f_{0\to 1}}\ =\ \sqrt{2}$

Exercício: equação exponencial #4.

Resolver em $\mathbb{R}$:

$4^x\ -\ 3^{x\ -\ \dfrac{1}{2}}\ =\ 3^{x\ +\ \dfrac{1}{2}}\ -\ 2^{2x\ -\ 1}$

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Resolução:

$2^{2x}\ -\ \dfrac{3^x}{\sqrt{3}}\ =\ \sqrt{3}\ \cdot\ 3^x\ -\ \dfrac{2^{2x}}{2}$

$\dfrac{2^{2x}\ \cdot\ 3}{2}\ =\ \dfrac{2^2\ \cdot\ 3^x}{\sqrt{3}}$

$2^{2x\ -\ 3}\ =\ 3^{x\ -\ \dfrac{3}{2}}$

$2^{2x\ -\ 3}\ =\ 3^{\dfrac{2x\ -\ 3}{2}}$

Tomando $2x\ -\ 3\ \neq\ 0 \Rightarrow\ x\ \neq\ \dfrac{3}{2}$:

$\sqrt[2x\ -\ 3]{2^{2x\ -\ 3}}\ =\ \sqrt[2x\ -\ 3]{3^\dfrac{2x\ -\ 3}{2}}$

Temos:

$2\ =\ \sqrt{3}$

O que é um absurdo.

Tomando então $x\ =\ \dfrac{3}{2}$:

$2^0\ =\ 3^{\dfrac{0}{2}}$

$1\ =\ 1$

Logo $S\ =\ \{\dfrac{3}{2}\}$.

Construção de triângulos pitagóricos.

São aqueles retângulos para os quais vale a relação de Pitágoras $a^2 = b^2 + c^2$, sendo $a$ a hipotenusa, e $b$ e $c$ os catetos, sendo seus módulos números naturais.

Observemos que o primeiro membro da relação deve ser um quadrado perfeito. Vamos pois igualá-lo ao desenvolvimento de $(x\ +\ y)^2$, sendo $x$ e $y$ naturais, buscando uma soma de quadrados perfeitos:

$a^2\ =\ x^2\ +\ 2xy\ +\ y^2\ =\ x^2\ +\ y^2\ + 2xy\ =$

$=\ (x\ -\ y)^2\ +\ 2xy\ +\ 2xy$

$(x\ +\ y)^2\ =\ (x\ -\ y)^2\ + 4xy$

Lembrando que os naturais são fechados com relação à soma e multiplicação, $(x\ +\ y)^2$ e $(x\ -\ y)^2$ (com $x\ >\ y$) são quadrados perfeitos, mas não podemos dizer o mesmo sobre $4xy$.

Mas se tomarmos $p$ e $q$ naturais tais que $p^2\ =\ x$ e $q^2\ =\ y$, teremos:

$(p^2\ +\ q^2)^2\ =\ (p^2\ -\ q^2)^2\ + (2pq)^2$

Assim podemos construir qualquer triângulo pitagórico arbitrando dois naturais quaisquer $p$ e $q$ (com $p\ >\ q$ para $b$ ser natural).

Exemplos:

$(p,q)\ =\ (2,1)\ \Rightarrow\ (a=2^2+1^2=5)\ \wedge\ (b=2^2-1^2=3)\ \wedge$

$\wedge\ (c=2\cdot 2\cdot 1=4)$

$(p,q)\ =\ (3,1)\ \Rightarrow\ (a=3^2+1^2=10)\ \wedge\ (b=3^2-1^2=8)\ \wedge$

$\wedge\ (c=2\cdot 3\cdot 1=6)$

$(p,q)\ =\ (5,2)\ \Rightarrow\ (a=5^2+2^2=29)\ \wedge\ (b=5^2-2^2=21)\ \wedge$

$\wedge\ (c=2\cdot 5\cdot 2=20)$

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Fonte auxiliar: Geometria Métrica. Guelli, Iezzi, Dolce. Editora Moderna.

Exercício: equação exponencial.

Resolver em $\mathbb{R}$:

$3^{x^2\ +\ \dfrac{1}{x^2}}\ =\ \dfrac{81}{3^{x\ +\ \dfrac{1}{x}}}$

Igualando em potências de base $3$, temos:

$3^{x^2\ +\ \dfrac{1}{x^2}}\ =\ 3^{4\ -\ x\ -\ \dfrac{1}{x}}$

Donde:

$x^4\ +\ 1\ +\ x^3 + x =\ 4x^2$

Uma equação do quarto grau não biquadrada, o que requer métodos avançados de resolução.

Mas se observarmos que $x^2\ +\ \dfrac{1}{x^2}\ =\ (x\ +\ \dfrac{1}{x})^2\ -\ 2$, teremos:

$(x\ +\ \dfrac{1}{x})^2\ -\ 2 =\ 4\ -\ (x\ +\ \dfrac{1}{x})$

Tomando $y\ =\ x\ +\ \dfrac{1}{x}$:

$y^2\ -\ 2\ +\ y\ =\ 4$

$y^2\ +\ y\ -\ 6\ =\ 0$

Donde $y\ =\ -3\ \vee\ y\ =\ 2$.

Assim:

$-3\ =\ x\ +\ \dfrac{1}{x}$

$x^2\ +\ 3x\ +\ 1\ =\ 0$

Donde $x\ =\ \dfrac{-3\ +\ \sqrt{5}}{2}\ \vee\ x\ =\ \dfrac{-3\ -\ \sqrt{5}}{2}$.

E também:

$2\ =\ x\ +\ \dfrac{1}{x}$

$x^2\ -\ 2x\ +\ 1\ =\ 0$

Donde $x\ =\ 1$.

Logo $S\ =\ \{\dfrac{-3\ +\ \sqrt{5}}{2}\ ,\ \dfrac{-3\ -\ \sqrt{5}}{2} , 1\}$.

Velocidade de queda com resistência do ar.

Consideremos um corpo em "queda-livre", mas substanciando a resistência do ar.



Teremos agindo sobre ele a força-peso e a força de resistência aérea.

É certo que $\overrightarrow{f_a}$ depende de fatores como formato, tipo de material usado em sua confecção, seção transversal reta, entre outros. Mas de uma forma simplificada consideremos uma função linear da velocidade de queda, válida com aproximação para uma grande gama de casos: $f_a\ =\ kv$.

Sabemos que inicialmente o objeto cairá com velocidade crescente até atingir uma velocidade limite de queda, e a partir daí cairá com movimento uniforme, situação em que a aceleração será nula, por condição da resultante das forças sobre ele aplicadas ser nula.

Analisaremos a velocidade de tal objeto.

Em uma situação ideal, agirá sobre o objeto apenas o peso e a força resistente:

$P\ -\ f_a\ =\ ma$

Onde $m$ é sua massa e $a$ é sua aceleração.

Sendo $v$ sua velocidade de queda, teremos:

$mg\ -\ kv\ =\ m\dfrac{v}{t}$

$gt\ -\ \dfrac{kt}{m}v\ =\ v$

$v\ =\ \dfrac{gt}{\dfrac{kt}{m}\ +\ 1}$

Notemos que:

Quando $t\ =\ 0 $, $ v\ =\ 0$.

A velocidade-limite de queda dá-se quando $P\ =\ f_a$, ou seja:

$mg\ =\ kv\ \Rightarrow\ v\ =\ \dfrac{mg}{k}$

E a partir desta condição o valor de $\overrightarrow{v}$ não se altera.
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Para $m\ =\ 1\ kg$ e $g\ =\ 10\ \dfrac{m}{s^2}$, e $k\ =\ 5\ \dfrac{N\cdot s}{m}$, teremos:



Onde $v\ =\ \dfrac{10t}{\dfrac{5t}{1}\ +\ 1}$ está em vermelho.

E $v\ =\ \dfrac{1\ \cdot\ 10}{5}\ =\ 2$ está em azul.

Função trigonométrica corda.

Consideremos o ciclo trigonométrico:



Nele já temos todas 4 funções notórias do arco $\alpha$: $\sin\ \alpha$, $\cos\ \alpha$, $\tan\ \alpha$, e $\cot\ \alpha$.

$\sec\ \alpha$ e $\csc\ \alpha$ não estão mostrados mas são os comprimentos medidos desde a origem até o eixo das tangentes e cotangentes, respectivamente.

Pensei: também temos o segmento corda quando estudamos Geometria Euclidiana.

Consideremos então uma corda traçada sob o arco $\alpha$:



O segmento destacado seria a função corda do arco $\alpha$.

Facilmente concluiríamos que:

$cord\ 0\ =\ 0$

$cord\ \dfrac{\pi}{2}\ =\ \sqrt{2}$

$cord\ \pi\ =\ 2$

$cord\ \dfrac{3\pi}{2}\ =\ \sqrt{2}$

Relacionando com as demais funções trigonométricas, teríamos:

Usando a lei dos cossenos:

$cord^2\ \alpha\ =\ 1^2\ +\ 1^2\ -\ 2\cos\ \alpha$

$cord\ \alpha\ =\ \sqrt{2(1\ -\ \cos\ \alpha)}$

Donde:

$cord\ \alpha\ =\ \sqrt{2(1\ \pm\ \sqrt{1\ -\ \sin^2\ \alpha})}$

$\cos\ \alpha\ =\ \dfrac{2\ -\ cord^2\ \alpha}{2}$

$\sin\ \alpha\ =\ \pm\ \sqrt{1\ -\ \frac{(2\ -\ cord^2\ \alpha)^2}{4}}$

Uma identidade financeira.

$(1\ +\ x)^n\ +\ x(1\ +\ x)^n\ =\ (1\ +\ x)^{n\ +\ 1}$

Estava a estudar juros compostos e li que trata-se da mesma teoria dos juros simples, mas cujo capital sobre o qual incide a taxa é atualizado a cada unidade de tempo, de forma cumulativa, de tal forma que li no livro:

Na primeira unidade de tempo teremos:

$M_1\ =\ C\ +\ iC\ =\ C(1\ +\ i)$

Na segunda unidade de tempo teremos:

$M_2\ =\ C(1\ +\ i)\ + iC(1\ +\ i)\ =\ C(1\ +\ i)^2$

Na terceira unidade de tempo teremos:

$M_3\ =\ C(1\ +\ i)^2\ + iC(1\ +\ i)^2\ =\ C(1\ +\ i)^3$

Estimando que decorridos $t$ unidades de tempo teremos: $M_t\ =\ C(1\ +\ i)^t$, Onde $i$ é a taxa de juros na unidade de tempo adotada.

Para $t\ =\ 2$ é fácil vermos que teremos um quadrado perfeito no desenvolvimento de $M_2$. Mas para $t\ >\ 2$ já achei o raciocínio demais complexo.

Quis então verificar a validade da sentença:

$(1\ +\ x)^n\ +\ x(1\ +\ x)^n\ =\ (1\ +\ x)^{n\ +\ 1}$.
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Demonstração:

Por indução:

Para $n\ =\ 1$:

$1\ +\ x\ +\ x\ +\ x^2\ =\ (1\ +\ x)^2$

Supondo verdadeira a sentença:

$(1\ +\ x)^p\ +\ x(1\ +\ x)^p\ =\ (1\ +\ x)^{p\ +\ 1}$

Multiplicando ambos os membros por $1\ +\ x$:

$(1\ +\ x)^{p\ +\ 1}\ +\ x(1\ +\ x)^{p\ +\ 1}\ =\ (1\ +\ x)^{p\ +\ 2}$

Concluímos assim que a sentença é verdadeira para todo $n \geq\ 1$.

Inflação brasileira nos anos 80.

Em 2010 a inflação brasileira foi de $5,91 \%$. Tempos de paz considerando seu passado tenebroso.

Houve um período na década de 80 em que a taxa de inflação era de $25\%$ ao mês.

Vamos calcular o quanto era ao ano.

Consideremos que $i_{am}$ seja aplicada sobre um capital $C$ e gere um montante $M$ em 1 ano:

$M\ =\ C(1\ +\ \dfrac{25}{100})^{12}$

$M\ \approx\ C\ \cdot\ 14,55$

O mesmo montante será gerado por uma taxa anual incidida sobre o mesmo capital. Logo:

$C\ \cdot\ 14,55\ \approx\ C\ \cdot\ (1\ +\ i_{aa})^1$

$i_{aa}\ \approx\ 13,55$

$i_{aa}\ \approx\ 1355\ \%$

Uma taxa aproximadamente $\dfrac{1355}{5,91}\ \approx\ 22927\ \%$ maior que a de 2010.

O perigo de quadrar uma equação.

Se $a\ =\ b$ podemos concluir que $a^2\ =\ b^2$. Mas esta última condição adiciona a proposição $a\ =\ -b$ como verdadeira.

Logo, quando quadramos uma equação, devemos ter o cuidado de verificar as raízes na equação original. Pois ao quadrar adicionamos raízes.

Eis um exemplo:

$x\ =\ 2x\ -\ 3$

Para ela temos $S\ =\ \{3\}$

Quadrando teremos:

$x^2\ =\ 4x^2\ -\ 12x\ + 9$

$x^2\ -\ 4x\ +\ 3\ =\ 0$

Donde $x\ =\ 3$ ou $x\ =\ 1$. Onde este último valor não satisfaz $x\ =\ 2x\ -\ 3$.

Teorema: $mmc(a,b,c)=mmc(mmc(a,b),c)$.

$mmc\ (a\ ,\ b\ ,\ c)\ =\ mmc\ (mmc\ (a\ ,\ b)\ ,\ c)$
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Demonstração:
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Lema: Transitividade da divisibilidade:

Se $a$ é divisível por $b$, e $b$ divisível por $c$, então $a$ é divisível por $c$.

Demonstração:

Se $a$ é divisível por $b$, então existe um $k$ inteiro tal que $a\ =\ kb$.

Se $b$ é divisível por $c$, então existe um $p$ inteiro tal que $b\ =\ pc$.

Assim $a\ =\ kpc$.

Como o produto $kp$ também é inteiro, concluímos que $a$ é divisível por $c$.
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Chamemos $m\ =\ mmc\ (a\ ,\ b\ ,\ c)$ de sentença $p$.

Teremos as sentenças:

$q$: $m$ é divisível por $a$.
$r$: $m$ é divisível por $b$.
$s$: $m$ é divisível por $c$.
$t$: $m$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p\ \Rightarrow\ (q\ \wedge\ r\ \wedge\ s)\ \wedge\ t$

Chamemos agora $m_1\ =\ mmc\ (a\ ,\ b)$ de sentença $p_1$.

Teremos as sentenças:

$q_1$: $m_1$ é divisível por $a$.
$r_1$: $m_1$ é divisível por $b$.
$t_1$: $m_1$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p_1\ \Rightarrow\ (q_1\ \wedge\ r_1)\ \wedge\ t_1$

Chamemos agora $m_2\ =\ mmc\ (m_1\ ,\ c)$ de sentença $p_2$.

Teremos as sentenças:

$q_2$: $m_2$ é divisível por $m_1$.
$r_2$: $m_2$ é divisível por $c$.
$t_2$: $m_2$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p_2\ \Rightarrow\ (q_2\ \wedge\ r_2)\ \wedge\ t_2$

Notemos que, usando o lema da transitividade da divisibilidade:

$q_2\ \rightarrow\ (a\ |\ m_2)\ \wedge\ (b\ |\ m_2)$ é uma tautologia. Chamemos esta de $T$.

$(T\ \wedge\ r_2)\ \wedge\ t_2\ \Rightarrow\ m_2\ =\ m$

Como queríamos demonstrar.

Teorema: irracionalidade de $\sqrt[n]{a}$.

Todo número da forma $\sqrt[n]{a}$, com $n$ natural não-nulo e $a$ natural, quando não inteiro, é irracional.
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Demonstração:

Deseja-se mostrar que $\sqrt[n]{a}$ não é da forma $\dfrac{p}{q}$, com $mdc(p , q) = 1$ e $q\ > 1$, ou seja, $\dfrac{p}{q}$ é fração irredutível não inteira.

Vamos considerar o contrário.

$a\ =\ \dfrac{p^n}{q^n}$

Se $\dfrac{p}{q}$ é irredutível, $\dfrac{p^n}{q^n}$ também o será. E se $q\ >\ 1$, também teremos $q^n\ >\ 1$, logo o quociente $\dfrac{p^n}{q^n}$ será também racional não-inteiro. O que é um absurdo. Pois por hipótese $a$ deve ser natural.

Logo a estará no complementar dos racionais não-inteiros com relação aos reais, ou seja, ou será inteiro, ou será irracional.

Exercício: escada apoiada.

1) Uma escada uniforme, de $5,0 m$ de comprimento e peso igual a $40 kgf$, está em equilíbrio com sua parte superior encostada em uma parede vertical sem atrito, tendo sua base apoiada no chão a $3,0 m$ da parede.

a) Faça um diagrama correspondente à situação, mostrando todas as forças que atuam na escada.

b) Determine a reação normal da parece ($N_1$), do chão ($N_2$) e a força de atrito na escada ($f$).

2) Suponha que um homem, pesando $90 kgf$, suba lentamente na escada do problema anterior. Sendo o coeficiente de atrito entre o chão e a escada igual a $0,40$, determine a máxima distância que o homem pode subir ao longo da escada sem que ela escorregue.
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Resolução:

1-a:

1-b:

Verticalmente, só temos o peso da escada e a reação de apoio $\overrightarrow{N_2}$, logo serão iguais em módulo.

$N_2\ =\ 40\ kgf$

Horizontalmente temos apenas a reação de apoio na parede $\overrightarrow{N_1}$ e a força de atrito $\overrightarrow{f}$. Portanto, iguais em módulo.

$N_1\ =\ f$

Mas como $f$ é desconhecido, utilizaremos a ferramenta do equilíbrio de rotação, considerando seu torque.

Tomando como referência o ponto de encontro da escada com a parede, teremos:

$\sum M\ =\ 0$

$M_{N_1}\ +\ M_E\ +\ M_{N_2}\ +\ M_f\ =\ 0$ (eq. 1)

Sendo $\overrightarrow{E}$ o peso da escada.

$M_{N_1}$ será nulo pois $\overrightarrow{N_1}$ está aplicada no ponto de referência.

Notemos que a componente perpendicular à escada de $\overrightarrow{E}$ fará o mesmo ângulo de inclinação da escada com relação ao chão. Ângulo tal que seu cosseno é $\dfrac{3}{5}$. Assim:

$M_E\ =\ -\ 40\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ \dfrac{5}{2}\ =\ -60\ kgf\cdot m$ Onde o torque é negativo por provocar uma rotação horária.

$\overrightarrow{N_2}$ também fará o mesmo tal ângulo com a perpendicular à escada. Assim:

$M_{N_2}\ =\ 40\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ 5\ =\ 120\ kgf\cdot m$

Já a componente perpendicular de $\overrightarrow{f}$ fará o ângulo complementar do ângulo de inclinação da escada. Assim, o cosseno do primeiro será seno do segundo. Chamemos de $\theta$ o ângulo de inclinação.

$\sin^2 \theta\ +\ (\dfrac{3}{5})^2 =\ 1$

$\sin \theta\ =\ \dfrac{4}{5}$

Temos então:

$M_f\ =\ -\ f\ \cdot\ \dfrac{4}{5}\ \cdot\ 5$

Substituindo tudo em (eq. 1):

$-60\ + 120\ -\ 4f\ =\ 0\ \Rightarrow\ f\ =\ 15\ kgf\ = N_1$
__

2:



Se um homem sobe a escada, consideremos $d$ a máxima distância para a qual a força de atrito estático será a máxima.

Seguindo os mesmos raciocínios da questão anterior, teremos $N_2\ =\ 130\ kgf$, e $f_{eM}\ =\ 40\%\ \cdot\ 130\ =\ 52\ kgf$.

Adicionando o novo termo à (eq. 1), e reconsiderando os novos valores para $f\ =\ f_{eM} $ e $ N_2$, teremos:

$-60\ + 130\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ 5\ -\ 4\ \cdot\ 52\ -\ 90\ \cdot\ \dfrac{3}{5}\ \cdot\ (5\ -\ d)\ =\ 0$

Com dois algarismos significativos: $d\ =\ 2,7\ m$.

Exercício: barra em equilíbrio.

Na estrutura em equilíbrio mostrada na figura deste problema, a barra AB tem peso desprezível. Determine o módulo da tensão $\overrightarrow{T}$ na corda BD e os módulos $F_x$ e $F_y$ das componentes horizontal e vertical da força que a articulação A exerce sobre a barra:

a) Usando as condições $\sum F_x\ =\ 0$, $\sum F_y\ =\ 0$ e $\sum M\ =\ 0$.

b) Usando apenas a condição $\sum M\ =\ 0$, tomando os momentos sucessivamente em relação a A, B e D para obter, assim, três equações independentes, como em (a).
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Resolução:

Letra a:

De $\sum F_y\ =\ 0$ temos:

$F_y\ +\ T_y\ =\ 50$

De $\sum F_x\ =\ 0$ temos:

$T_x\ =\ F_x$

De $\sum M\ =\ 0$ temos:

$T_y\ \cdot\ 40\ =\ 50\ \cdot\ 30$
__

$T_y\ =\ \dfrac{75}{2}\ kgf$

$F_y\ =\ \dfrac{25}{2}\ kgf$

Observemos que o ângulo entre a corda e a barra é tal que sua tangente vale $\dfrac{3}{4}$. Logo:

$T_x\ =\ \dfrac{\dfrac{75}{2}}{\dfrac{3}{4}}\ =\ 50\ kgf\ =\ F_x$

Por Pitágoras:

$T^2\ =\ (\dfrac{75}{2})^2\ +\ {50}^2$

$T\ =\ \dfrac{125}{2}\ kgf$
_____

Letra b:



Com relação a A:

$T_y\ \cdot\ 40\ =\ 50\ \cdot 30\ \Rightarrow\ T_y\ =\ \dfrac{75}{2}$

Com relação a B:

$50 \cdot\ 40\ =\ F_y\ \cdot 40\ \Rightarrow\ F_y\ =\ \dfrac{25}{2}$

Com relação a D, $\overrightarrow{F_y}$ terá torque nulo por não ter componente perpendicular à reta que passa por D. O mesmo pode-se dizer quanto a $\overrightarrow{T_x}\ +\ \overrightarrow{T_y}\ =\ \overrightarrow{T}$. Atuarão apenas $\overrightarrow{F_x}$ e uma componente de $\overrightarrow{P}$. Iremos primeiro calcular tal componente.

Traçando uma reta pelos pontos D e aplicação de $\overrightarrow{P}$, teremos um triângulo isósceles, tal que os ângulos da base serão $\dfrac{\pi}{4}$. Observemos também que a componente perpendicular à esta reta conterá a projeção de $\overrightarrow{P}$ sobre a perpendicular à mesma. Teremos assim:

$F_x\ \cdot\ 30\ =\ \dfrac{50}{\sqrt{2}}\ \cdot\ 30\sqrt{2}\ \Rightarrow\ F_x\ =\ 50\ kgf$

A física do exercício anaeróbio rosca direta.

Como podemos observar, temos um aparelho alavanca interpotente. O músculo bíceps exerce a potência, enquanto o peso a ser levantado, a resistência.

Para manter o sistema em equilíbrio ou levantar o peso, o torque do bíceps deve ser igual ou maior ao momento da força peso da resistência.

Supondo $\overrightarrow{F}$ a potência e $\overrightarrow{P}$ a resistência, temos:

$\sum M\ =\ 0$

$M_F\ +\ M_P\ =\ 0$

Em um antebraço médio, o tendão do bíceps localiza-se a $4 cm$ do fulcro, e a mão a $32 cm$. E convencionando-se o sentido anti-horário como positivo, temos:

$4F\ =\ 32P$

$F\ =\ 8P$

Como fisioculturista modelo, usaremos o Ronnie Coleman, o qual é capaz de fazer o exercício com $90 kgf$.

Assim, seus tendões suportam, apenas em equilíbrio na horizontal, uma tensão de $T\ =\ 8\ \cdot\ 45 = 360\ kgf$ em cada tendão.

E fugindo um pouco da área matemática, ele faz 4 séries de 12 repetições com esta carga!

Inclusão à UBM (União dos Blogs de Matemática).

O weblog Mathematical Ramblins foi contemplado com a inclusão à União dos Blogs de Matemática.

Exercício: um objeto atirado horizontalmente do alto de uma escada, em qual degrau irá cair?

Uma bola é lançada do alto de uma escada com uma velocidade horizontal de módulo igual a $4,0 m/s$. Os degraus tem $20 cm$ de altura por $35 cm$ de largura. Qual o degrau que a bola irá atingir? (Considere $g = 10 m/s^2$.)

Curso de Física 1. 4ª edição.
Antônio Máximo. Beatriz Alvarenga.
Cap. 4. Problemas suplementares 27.
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Chamemos de $t$ o tempo de queda da bola. Neste tempo ela percorrerá $S_v$ de espaço vertical e $S_h$ de espaço horizontal. Chamemos também de $d$ o número de degraus que a bola irá percorrer.

$s_v\ =\ 0,20\ \cdot\ d$
$s_h\ =\ 0,35\ \cdot\ d$

$t\ =\ \sqrt{\dfrac{S_v}{5,0}}$
$t\ =\ \dfrac{S_h}{4,0}$

$\dfrac{d}{25}\ =\ d^2\ \cdot\ \dfrac{49}{4,0\ \cdot\ 10^2}\ \cdot\ \dfrac{1}{16}$

$d\ =\ \dfrac{2,5\ \cdot\ 10^2}{49}\ =\ 5,1\ degraus$

O menor inteiro maior que $5,1$ é $6$. Portanto a bola irá atingir o 6º degrau.

Sensação do abreviamento dos dias.

É comum vermos pessoas se queixando que à medida que o tempo passa, mais curtos tornam-se os dias.

Temos esta sensação por, como tudo que medimos, compararmos uma grandeza a outra padrão de mesma natureza.

No caso do tempo, o nosso padrão foi todo o tempo vivido até o momento.

Chamemos de $t$ a medida do tempo psicológico de um dia, e $i$ a nossa idade.

$t\ =\ \dfrac{1}{1+i}$

A medida padrão é variável com o incremento da idade. O gráfico da função é:



Se com o avanço da Medicina tornarmo-nos imortais, um dia tenderá a ser completamente desprezível.

Soma de vetores de mesma direção.

Vamos deduzir a fórmula genérica do módulo da soma de vetores. Observemos a figura:



Seja $\theta$ o ângulo entre os vetores-parcelas.
Utilizando apenas da ferramenta pitagórica, temos:

$v_{1x}\ =\ v_1 \cos\ \theta$

$v_{1y}\ =\ v_1 \sin\ \theta$

$v^2\ =\ (v_2\ +\ v_1 \cos\ \theta)^2\ +\ (v_1 \sin\ \theta)^2$

$v^2\ =\ {v_2}^2\ +\ {v_1}^2 \cos^2\ \theta\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta + {v_1}^2 \sin^2\ \theta$

$v^2\ =\ {v_2}^2\ +\ {v_1}^2 (\cos^2\ \theta\ +\ \sin^2\ \theta)\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta$

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \theta$

Este é um pensamento elementar, mas de uma beleza que tocou-me:

Se $\overrightarrow{v_1}$ e $\overrightarrow{v_2}$ tem a mesma direção, então $\theta\ = 0\ \vee\ \theta\ =\ \pi$. Logo $\cos\ \theta\ =\ 1\ \vee\ \cos\ \theta\ =\ -1$.

Se tem mesmo sentido, teremos:

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ 0$

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2\ =\ (v_2\ +\ v_1)^2$

$v\ =\ v_2 +\ v_1$

Se tem sentidos contrários, teremos:

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ + 2 v_1 v_2 \cos\ \pi$

$v^2\ =\ {v_2}^2 +\ {v_1}^2\ - 2 v_1 v_2\ =\ (v_2\ -\ v_1)^2$

$v\ =\ |v_2 -\ v_1|$

O ganho de massa de um satélite e o efeito orbital.

Imaginemos um astro que orbita outro. Mesmo que irrisório, o ganho de massa existe pela acumulação de poeira cósmica.

Seria interessante percebermos o efeito deste ganho no movimento do astro-satélite.

Supondo que sua velocidade linar não varie e que sua tragetória seja circular, temos:

$F_g\ =\ G \dfrac{Mm}{R^2}\ =\ F_c\ =\ (m+\Delta m) \dfrac{v^2}{R}$

$G \dfrac{Mm}{R^2}\ =\ m \dfrac{v^2}{R}\ +\ \Delta m \dfrac{v^2}{R}$

$G \dfrac{Mm}{R}\ =\ m\ \cdot\ v^2\ +\ \Delta m \cdot\ v^2$

$R\ =\ \dfrac{GMm}{v^2 (m\ +\ \Delta m)}$

Observando o gráfico de uma função análoga $f(x)\ =\ \dfrac{1}{1+x}$, temos:



Uma hipérbole transladada.

Observamos que à medida que o incremento de massa aumenta, o raio orbital diminui.

O Sol em Mercúrio.

Mercúrio tem semi eixo maior de aproximadamente $40% UA$, $\dfrac{2}{5}$ da distância do nosso orbe ao Sol.

Se aqui ao meio-dia achamos quente, lá teríamos uma intensidade $(\dfrac{5}{2})^2$ maior. Aproximadamente $625 \%$ maior.

Brincando com relações.

$(a+b)^n\ =\ \sum_{p=0}^n{n \choose p}a^{n-p}b^p$