Quantas intersecções determinam $n$ retas?

Vamos estudar o que ocorre no caso de termos apenas retas coplanares e concorrentes, analisando uma única:



Teremos $p$ intersecções para $p$ retas concorrentes a uma única.

Como globalmente temos $p+1$ retas, o número de intersecções contadas será de $p(p+1)$. Mas como cada ponto foi computado $2$ vezes, teremos um total de $i_{p+1} = \dfrac{p(p+1)}{2}$ intersecções para $p+1$ retas.

Se tivermos paralelas ou reversas em jogo, consideremos $m$ o número de tais. Assim devemos subtrair $m$ pontos de concorrência que foram computados a mais:

$i_{p+1;m}\ =\ \dfrac{p(p+1)}{2}\ -\ m$

Tomando $n\ =\ p+1$:

$i_{n;m} = \dfrac{n(n-1)}{2}\ -\ m$

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Exemplo:



$n = 3$ e $m = 0$.

$i_{3;0}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 0\ =\ 3$

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Exemplo:



$n = 4$ e $m = 3$.

$i_{4;3}\ =\ \dfrac{4\ \cdot\ 3}{2}\ -\ 3\ =\ 3$

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Exemplo :



Neste caso especial, inicialmente excluiremos uma não-concorrente:

$n = 3$ e $m = 2$.

$i_{3;2}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 2\ =\ 2$

E posteriormente excluiremos a outra:

$n = 3$ e $m = 2$.

$i_{3;2}\ =\ \dfrac{3\ \cdot\ 2}{2}\ -\ 2\ =\ 2$

E depois somamos os resultados: $2\ +\ 2\ =\ 4$.

Este é um caso em que devemos tratar cada conjunto de não-concorrentes de forma especial.