Sendo $\alpha$ e $\beta$ as raízes da equação $x^2\ -5x\ -\ 84\ =\ 0$, obtenha uma equação do 2º grau cujas raízes sejam $(\alpha\ +\ 1)$ e $(\beta\ +\ 1)$.
Resolução:
Pelas relações de Girard, temos que $\alpha+\beta\ =\ 5$ e $\alpha \beta\ =\ -84$.
Desenvolvendo a soma e o produto das raízes da equação procurada, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 2$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ \alpha \beta\ +\ \alpha\ +\ \beta\ +\ 1$
Substituindo os valores, teremos:
$(\alpha\ +\ 1)\ +\ (\beta\ +\ 1)\ =\ 5+2\ =\ 7$
$(\alpha\ +\ 1)(\beta\ +\ 1)\ =\ -84+5+1\ =\ -78$
Logo uma equação buscada, assumindo o coeficiente dominante $1$, será:
$x^2\ -\ 7x\ -\ 78\ =\ 0$
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