Reação normal no movimento circular vertical.

Consideremos um objeto descrevendo um movimento circular vertical com velocidade tangencial constante.

Em tais condições a resultante será a força centrípeta $\overrightarrow{F_c}$.

Chamemos de $\overrightarrow{P}$ seu peso e $\overrightarrow{P_c}$ sua componente centrípeta. Chamemos ainda de $\overrightarrow{N}$ a reação de apoio.

Na posição indicada pela gravura, temos:

$P_c\ =\ P \cos\ \phi$

$F_c\ =\ N\ +\ P_c$

$F_c\ =\ N\ +\ P \cos \phi$

Observemos que $\phi$ e $\theta$ são complementares. Logo $\cos\ \phi\ =\ \sin\ \theta$.

Assim:

$N\ =\ F_c\ -\ P \sin\ \theta$ (eq. principal).

Observemos que:

Em A:

$\theta\ =\ 0\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ 0\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c$

Em B:

$\theta\ =\ \dfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ 1\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c\ -\ P$

Em C:

$\theta\ =\ \pi\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ 0\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c$

Em D:

$\theta\ =\ \dfrac{3\pi}{2}\ \Rightarrow\ \sin\ \theta\ =\ -1\ \Rightarrow\ N\ =\ F_c\ +\ P$

Desenvolvendo (eq. principal), teremos:

$N\ =\ \dfrac{m\ \cdot\ v^2}{R}\ -\ m\ \cdot\ g\ \cdot\ \sin\ \theta$

$N\ =\ (\dfrac{v^2}{R}\ -\ g \sin\ \theta)\ \cdot\ m$

Notemos que para o objeto possa completar a circunferência, devemos ter $N\ \geq\ 0$, donde concluímos que $\dfrac{v^2}{R}\ \geq\ g \sin\ \theta$.

O máximo valor de $\sin\ \theta$ é $1$. Logo devemos ter:

$v\ \geq\ \sqrt{gR}$ para que o ciclo seja possível.

Considerando a instância em que $g\ =\ 10\ \dfrac{m}{s^2}$, $m\ =\ 1\ kg$, $R\ =\ 10\ m$, e $v\ =\ 10\ \dfrac{m}{s}$, temos:

$N\ =\ 10\ -\ 10 \sin\ \theta$

Cujo gráfico é: