Exercício: barra em equilíbrio.

Na estrutura em equilíbrio mostrada na figura deste problema, a barra AB tem peso desprezível. Determine o módulo da tensão $\overrightarrow{T}$ na corda BD e os módulos $F_x$ e $F_y$ das componentes horizontal e vertical da força que a articulação A exerce sobre a barra:

a) Usando as condições $\sum F_x\ =\ 0$, $\sum F_y\ =\ 0$ e $\sum M\ =\ 0$.

b) Usando apenas a condição $\sum M\ =\ 0$, tomando os momentos sucessivamente em relação a A, B e D para obter, assim, três equações independentes, como em (a).
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Resolução:

Letra a:

De $\sum F_y\ =\ 0$ temos:

$F_y\ +\ T_y\ =\ 50$

De $\sum F_x\ =\ 0$ temos:

$T_x\ =\ F_x$

De $\sum M\ =\ 0$ temos:

$T_y\ \cdot\ 40\ =\ 50\ \cdot\ 30$
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$T_y\ =\ \dfrac{75}{2}\ kgf$

$F_y\ =\ \dfrac{25}{2}\ kgf$

Observemos que o ângulo entre a corda e a barra é tal que sua tangente vale $\dfrac{3}{4}$. Logo:

$T_x\ =\ \dfrac{\dfrac{75}{2}}{\dfrac{3}{4}}\ =\ 50\ kgf\ =\ F_x$

Por Pitágoras:

$T^2\ =\ (\dfrac{75}{2})^2\ +\ {50}^2$

$T\ =\ \dfrac{125}{2}\ kgf$
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Letra b:



Com relação a A:

$T_y\ \cdot\ 40\ =\ 50\ \cdot 30\ \Rightarrow\ T_y\ =\ \dfrac{75}{2}$

Com relação a B:

$50 \cdot\ 40\ =\ F_y\ \cdot 40\ \Rightarrow\ F_y\ =\ \dfrac{25}{2}$

Com relação a D, $\overrightarrow{F_y}$ terá torque nulo por não ter componente perpendicular à reta que passa por D. O mesmo pode-se dizer quanto a $\overrightarrow{T_x}\ +\ \overrightarrow{T_y}\ =\ \overrightarrow{T}$. Atuarão apenas $\overrightarrow{F_x}$ e uma componente de $\overrightarrow{P}$. Iremos primeiro calcular tal componente.

Traçando uma reta pelos pontos D e aplicação de $\overrightarrow{P}$, teremos um triângulo isósceles, tal que os ângulos da base serão $\dfrac{\pi}{4}$. Observemos também que a componente perpendicular à esta reta conterá a projeção de $\overrightarrow{P}$ sobre a perpendicular à mesma. Teremos assim:

$F_x\ \cdot\ 30\ =\ \dfrac{50}{\sqrt{2}}\ \cdot\ 30\sqrt{2}\ \Rightarrow\ F_x\ =\ 50\ kgf$