Teorema: $mmc(a,b,c)=mmc(mmc(a,b),c)$.

$mmc\ (a\ ,\ b\ ,\ c)\ =\ mmc\ (mmc\ (a\ ,\ b)\ ,\ c)$
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Demonstração:
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Lema: Transitividade da divisibilidade:

Se $a$ é divisível por $b$, e $b$ divisível por $c$, então $a$ é divisível por $c$.

Demonstração:

Se $a$ é divisível por $b$, então existe um $k$ inteiro tal que $a\ =\ kb$.

Se $b$ é divisível por $c$, então existe um $p$ inteiro tal que $b\ =\ pc$.

Assim $a\ =\ kpc$.

Como o produto $kp$ também é inteiro, concluímos que $a$ é divisível por $c$.
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Chamemos $m\ =\ mmc\ (a\ ,\ b\ ,\ c)$ de sentença $p$.

Teremos as sentenças:

$q$: $m$ é divisível por $a$.
$r$: $m$ é divisível por $b$.
$s$: $m$ é divisível por $c$.
$t$: $m$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p\ \Rightarrow\ (q\ \wedge\ r\ \wedge\ s)\ \wedge\ t$

Chamemos agora $m_1\ =\ mmc\ (a\ ,\ b)$ de sentença $p_1$.

Teremos as sentenças:

$q_1$: $m_1$ é divisível por $a$.
$r_1$: $m_1$ é divisível por $b$.
$t_1$: $m_1$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p_1\ \Rightarrow\ (q_1\ \wedge\ r_1)\ \wedge\ t_1$

Chamemos agora $m_2\ =\ mmc\ (m_1\ ,\ c)$ de sentença $p_2$.

Teremos as sentenças:

$q_2$: $m_2$ é divisível por $m_1$.
$r_2$: $m_2$ é divisível por $c$.
$t_2$: $m_2$ é mínimo sob suas condições.

Tal que:

$p_2\ \Rightarrow\ (q_2\ \wedge\ r_2)\ \wedge\ t_2$

Notemos que, usando o lema da transitividade da divisibilidade:

$q_2\ \rightarrow\ (a\ |\ m_2)\ \wedge\ (b\ |\ m_2)$ é uma tautologia. Chamemos esta de $T$.

$(T\ \wedge\ r_2)\ \wedge\ t_2\ \Rightarrow\ m_2\ =\ m$

Como queríamos demonstrar.