Uma identidade financeira.

$(1\ +\ x)^n\ +\ x(1\ +\ x)^n\ =\ (1\ +\ x)^{n\ +\ 1}$

Estava a estudar juros compostos e li que trata-se da mesma teoria dos juros simples, mas cujo capital sobre o qual incide a taxa é atualizado a cada unidade de tempo, de forma cumulativa, de tal forma que li no livro:

Na primeira unidade de tempo teremos:

$M_1\ =\ C\ +\ iC\ =\ C(1\ +\ i)$

Na segunda unidade de tempo teremos:

$M_2\ =\ C(1\ +\ i)\ + iC(1\ +\ i)\ =\ C(1\ +\ i)^2$

Na terceira unidade de tempo teremos:

$M_3\ =\ C(1\ +\ i)^2\ + iC(1\ +\ i)^2\ =\ C(1\ +\ i)^3$

Estimando que decorridos $t$ unidades de tempo teremos: $M_t\ =\ C(1\ +\ i)^t$, Onde $i$ é a taxa de juros na unidade de tempo adotada.

Para $t\ =\ 2$ é fácil vermos que teremos um quadrado perfeito no desenvolvimento de $M_2$. Mas para $t\ >\ 2$ já achei o raciocínio demais complexo.

Quis então verificar a validade da sentença:

$(1\ +\ x)^n\ +\ x(1\ +\ x)^n\ =\ (1\ +\ x)^{n\ +\ 1}$.
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Demonstração:

Por indução:

Para $n\ =\ 1$:

$1\ +\ x\ +\ x\ +\ x^2\ =\ (1\ +\ x)^2$

Supondo verdadeira a sentença:

$(1\ +\ x)^p\ +\ x(1\ +\ x)^p\ =\ (1\ +\ x)^{p\ +\ 1}$

Multiplicando ambos os membros por $1\ +\ x$:

$(1\ +\ x)^{p\ +\ 1}\ +\ x(1\ +\ x)^{p\ +\ 1}\ =\ (1\ +\ x)^{p\ +\ 2}$

Concluímos assim que a sentença é verdadeira para todo $n \geq\ 1$.