Todo número da forma $\sqrt[n]{a}$, com $n$ natural não-nulo e $a$ natural, quando não inteiro, é irracional.
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Demonstração:
Deseja-se mostrar que $\sqrt[n]{a}$ não é da forma $\dfrac{p}{q}$, com $mdc(p , q) = 1$ e $q\ > 1$, ou seja, $\dfrac{p}{q}$ é fração irredutível não inteira.
Vamos considerar o contrário.
$a\ =\ \dfrac{p^n}{q^n}$
Se $\dfrac{p}{q}$ é irredutível, $\dfrac{p^n}{q^n}$ também o será. E se $q\ >\ 1$, também teremos $q^n\ >\ 1$, logo o quociente $\dfrac{p^n}{q^n}$ será também racional não-inteiro. O que é um absurdo. Pois por hipótese $a$ deve ser natural.
Logo a estará no complementar dos racionais não-inteiros com relação aos reais, ou seja, ou será inteiro, ou será irracional.
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